▷ Как рассчитывается угол между двумя векторами? (формула) ✅

На этой странице вы узнаете, как рассчитать угол между двумя векторами. Кроме того, вы также увидите примеры и сможете попрактиковаться, выполняя упражнения и задачи, решаемые шаг за шагом.

Формула угла между двумя векторами

угол между двумя векторами скалярного произведения

Если мы вспомним определение скалярного произведения , его можно рассчитать по следующему уравнению:

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha )$

Из этого равенства можно получить формулу, которая поможет нам непосредственно найти угол, образованный двумя векторами:

Косинус угла, образованного двумя векторами, равен скалярному произведению двух векторов, деленному на произведение модулей двух векторов.

Другими словами, формула определения угла, образованного двумя векторами, выглядит следующим образом:

Поэтому, чтобы найти угол, образованный двумя векторами, важно знать, как вычислить величину вектора . По этой ссылке вы найдете формулы, примеры и решенные упражнения для модуля вектора, поэтому, если вы еще не освоили эту операцию с вектором, рекомендуем посмотреть.

Эта формула работает как для плоскости (в R2), так и для пространства (в R3). То есть мы можем использовать его взаимозаменяемо для двух- или трехкомпонентных векторов.

Однако иногда нет необходимости применять эту формулу, поскольку угол между векторами можно определить:

Угол между двумя перпендикулярными векторами (имеющими одинаковое направление) равен 0°.
Угол между двумя ортогональными (или перпендикулярными) векторами равен 90°.

Пример того, как найти угол между двумя векторами

В качестве примера вычислим угол, образованный следующими двумя векторами:

$\vv{\text{u}} = (4,-1) \qquad \vv{\text{v}} = (2,5)$

Сначала мы должны вычислить модуль каждого вектора:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{4^2+(-1)^2}= \sqrt{17}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{2^2+5^2}= \sqrt{29}$

Теперь мы используем формулу для расчета косинуса угла между двумя векторами:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 4\cdot 2 + (-1)\cdot 5}{\sqrt{17}\cdot \sqrt{29}} = \cfrac{3}{\sqrt{493}} = 0,14$

И, наконец, находим соответствующий угол, выполнив обратный косинус с помощью калькулятора:

$\displaystyle \cos^{-1}(0,14) = \bm{81,95º}$

Таким образом, два вектора образуют угол 81,95°.

Решенные упражнения на углы между векторами

Упражнение 1

Вычислите угол между следующими двумя векторами:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(5,3) \qquad \vv{\text{v}} =(1,2)$

Посмотреть решение

Прежде всего, мы должны вычислить модуль двух векторов:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{5^2+3^2}= \sqrt{34}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ 1^2+2^2}= \sqrt{5}$

Используем формулу для расчета косинуса угла, образованного векторами:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 5\cdot 1 + 3\cdot 2}{\sqrt{34}\cdot \sqrt{5}} = \cfrac{11}{\sqrt{170}} = 0,84$

Наконец, мы находим соответствующий угол, выполнив обратный косинус с помощью калькулятора:

$\displaystyle \cos^{-1}(0,84) = \bm{32,47º}$

Упражнение 2

Определите угол, который существует между следующими двумя векторами:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-2,-7) \qquad \vv{\text{v}} =(-1,5)$

Посмотреть решение

Прежде всего нам нужно найти модули векторов:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ (-2)^2+(-7)^2}= \sqrt{53}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ (-1)^2+5^2}= \sqrt{26}$

Мы используем формулу, чтобы получить косинус угла, который имеют векторы:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ (-2)\cdot (-1) + (-7)\cdot 5}{\sqrt{53}\cdot \sqrt{26}} = \cfrac{-33}{\sqrt{1378}} = -0,89$

И, наконец, находим соответствующий угол, выполнив на калькуляторе обратный косинус:

$\displaystyle \cos^{-1}(-0,89) = \bm{152,74º}$

Упражнение 3

Рассчитайте стоимость

$k$

так что следующие векторы перпендикулярны:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(6,3) \qquad \vv{\text{v}} =(-4,k)$

Посмотреть решение

Два перпендикулярных вектора образуют угол 90°. Еще:

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

$\displaystyle 0=\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

Знаменатель дроби делит всю правую часть уравнения, поэтому мы можем умножить ее на другую часть:

$\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

$\displaystyle 0 =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

Теперь решаем скалярное произведение:

$\displaystyle 0 =(6,3) \cdot (-4,k)$

$\displaystyle 0 =6 \cdot (-4) + 3\cdot k$

$\displaystyle 0 =-24 +3k$

И наконец, мы проясняем тайну:

$\displaystyle -3k =-24$

$\displaystyle k =\cfrac{-24}{-3}$

$\displaystyle \bm{k =8}$

Упражнение 4

Найдите значение, которое должны иметь константы

$a$

$b$

так что следующие векторы перпендикулярны и, кроме того, верно

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert =10.$

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-6,a) \qquad \vv{\text{v}} =(b,3)$

Посмотреть решение

Сначала мы воспользуемся условием модуля, чтобы найти значение

$a:$

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert =10$

$\sqrt{(-6)^2+a^2}=10$

$\sqrt{36+a^2}=10$

Поднимем обе части уравнения, чтобы удалить квадратный корень:

$\left(\sqrt{36+a^2}\right)^2=10^2$

$36+a^2=100$

И мы проясняем тайну:

$a^2=100 -36$

$a^2=64$

$a=\sqrt{64}$

$\bm{a=8}$

Как только мы узнаем ценность

$a$

, найдите значение

$b$

применив формулу угла двух векторов, поскольку в этом утверждении говорится, что они должны быть перпендикулярны или, что эквивалентно, они должны составлять 90°.

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

$\displaystyle 0=\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

Знаменатель дроби делит всю правую часть уравнения, поэтому мы можем умножить ее на другую часть:

$\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

$\displaystyle 0 =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

Теперь попробуем решить скалярное произведение:

$\displaystyle 0 =(-6,8) \cdot (b,3)$

$\displaystyle 0 =-6 \cdot b +8\cdot 3$

$\displaystyle 0 =-6b +24$

И наконец, мы проясняем тайну:

$\displaystyle 6b =24$

$\displaystyle b =\cfrac{24}{6}$

$\displaystyle \bm{b =4}$

Упражнение 5

Рассчитать углы

$\alpha , \beta$

$\gamma$

которые образуют стороны следующего треугольника:

упражнения и задачи, решаемые шаг за шагом скалярного произведения двух векторов

Посмотреть решение

Вершинами, составляющими треугольник, являются следующие точки:

$A(2,1) \qquad B(4,4) \qquad C(6,2)$

Чтобы вычислить внутренние углы треугольника, мы можем вычислить векторы каждой из его сторон, а затем найти угол, который они образуют, используя формулу скалярного произведения.

Например, чтобы найти угол

$\alpha$

Вычисляем векторы его сторон:

$\vv{AB} = B - A = (4,4)-(2,1)= (2,3)$

$\vv{AC} = C - A = (6,2)-(2,1)= (4,1)$

И мы находим угол, образованный двумя векторами, используя формулу скалярного произведения:

$\lvert \vv{AB} \rvert = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13}$

$\lvert \vv{AC} \rvert = \sqrt{4^2+1^2} = \sqrt{17}$

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{AC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{AC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 4 + 3\cdot 1}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{17}} = \cfrac{11}{\sqrt{221}} =0,74$

$\bm{\alpha = 42,27º}$

Теперь повторяем ту же процедуру для определения угла

$\beta:$

$\vv{BC} = C - B = (6,2)-(4,4)= (2,-2)$

$\lvert \vv{BC} \rvert = \sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{8}$

$\displaystyle \cos(\beta) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{BC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{BC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 2 + 3\cdot (-2)}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{8}} = \cfrac{-2}{\sqrt{104}} =-0,20$

$\bm{\beta = 101,31º}$

Наконец, чтобы найти последний угол, мы можем повторить ту же процедуру. Однако сумма всех углов треугольника должна составлять 180 градусов, поэтому:

$\gamma = 180 -42,27-101,31 = \bm{36,42º}$

Как вычислить угол между двумя векторами

Формула угла между двумя векторами

Пример того, как найти угол между двумя векторами

Решенные упражнения на углы между векторами

Упражнение 1

Упражнение 2

Упражнение 3

Упражнение 4

Упражнение 5

Оставьте комментарий Отменить ответ