Как вычислить угол между двумя векторами

На этой странице вы узнаете, как рассчитать угол между двумя векторами. Кроме того, вы также увидите примеры и сможете попрактиковаться, выполняя упражнения и задачи, решаемые шаг за шагом.

Формула угла между двумя векторами

угол между двумя векторами скалярного произведения

Если мы вспомним определение скалярного произведения , его можно рассчитать по следующему уравнению:

\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha )

Из этого равенства можно получить формулу, которая поможет нам непосредственно найти угол, образованный двумя векторами:

Косинус угла, образованного двумя векторами, равен скалярному произведению двух векторов, деленному на произведение модулей двух векторов.

Другими словами, формула определения угла, образованного двумя векторами, выглядит следующим образом:

формула угла между двумя векторами

Поэтому, чтобы найти угол, образованный двумя векторами, важно знать, как вычислить величину вектора . По этой ссылке вы найдете формулы, примеры и решенные упражнения для модуля вектора, поэтому, если вы еще не освоили эту операцию с вектором, рекомендуем посмотреть.

Эта формула работает как для плоскости (в R2), так и для пространства (в R3). То есть мы можем использовать его взаимозаменяемо для двух- или трехкомпонентных векторов.

Однако иногда нет необходимости применять эту формулу, поскольку угол между векторами можно определить:

  • Угол между двумя перпендикулярными векторами (имеющими одинаковое направление) равен 0°.
  • Угол между двумя ортогональными (или перпендикулярными) векторами равен 90°.

Пример того, как найти угол между двумя векторами

В качестве примера вычислим угол, образованный следующими двумя векторами:

\vv{\text{u}} = (4,-1) \qquad \vv{\text{v}} = (2,5)

Сначала мы должны вычислить модуль каждого вектора:

\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{4^2+(-1)^2}= \sqrt{17}

\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{2^2+5^2}= \sqrt{29}

Теперь мы используем формулу для расчета косинуса угла между двумя векторами:

\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 4\cdot 2 + (-1)\cdot 5}{\sqrt{17}\cdot \sqrt{29}} = \cfrac{3}{\sqrt{493}} = 0,14

И, наконец, находим соответствующий угол, выполнив обратный косинус с помощью калькулятора:

\displaystyle \cos^{-1}(0,14) = \bm{81,95º}

Таким образом, два вектора образуют угол 81,95°.

Решенные упражнения на углы между векторами

Упражнение 1

Вычислите угол между следующими двумя векторами:

\displaystyle \vv{\text{u}}=(5,3) \qquad  \vv{\text{v}} =(1,2)

Прежде всего, мы должны вычислить модуль двух векторов:

\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{5^2+3^2}= \sqrt{34}

\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ 1^2+2^2}= \sqrt{5}

Используем формулу для расчета косинуса угла, образованного векторами:

\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 5\cdot 1 + 3\cdot 2}{\sqrt{34}\cdot \sqrt{5}} = \cfrac{11}{\sqrt{170}} = 0,84

Наконец, мы находим соответствующий угол, выполнив обратный косинус с помощью калькулятора:

\displaystyle \cos^{-1}(0,84) = \bm{32,47º}

Упражнение 2

Определите угол, который существует между следующими двумя векторами:

\displaystyle \vv{\text{u}}=(-2,-7) \qquad  \vv{\text{v}} =(-1,5)

Прежде всего нам нужно найти модули векторов:

\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ (-2)^2+(-7)^2}= \sqrt{53}

\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ (-1)^2+5^2}= \sqrt{26}

Мы используем формулу, чтобы получить косинус угла, который имеют векторы:

\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ (-2)\cdot (-1) + (-7)\cdot 5}{\sqrt{53}\cdot \sqrt{26}} = \cfrac{-33}{\sqrt{1378}} = -0,89

И, наконец, находим соответствующий угол, выполнив на калькуляторе обратный косинус:

\displaystyle \cos^{-1}(-0,89) = \bm{152,74º}

Упражнение 3

Рассчитайте стоимость

k

так что следующие векторы перпендикулярны:

\displaystyle \vv{\text{u}}=(6,3) \qquad  \vv{\text{v}} =(-4,k)

Два перпендикулярных вектора образуют угол 90°. Еще:

\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}

\displaystyle 0=\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}

Знаменатель дроби делит всю правую часть уравнения, поэтому мы можем умножить ее на другую часть:

\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert  =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}

\displaystyle 0  =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}

Теперь решаем скалярное произведение:

\displaystyle 0 =(6,3) \cdot (-4,k)

\displaystyle 0 =6 \cdot (-4) + 3\cdot k

\displaystyle 0 =-24 +3k

И наконец, мы проясняем тайну:

\displaystyle -3k =-24

\displaystyle k =\cfrac{-24}{-3}

\displaystyle \bm{k =8}

Упражнение 4

Найдите значение, которое должны иметь константы

a

И

b

так что следующие векторы перпендикулярны и, кроме того, верно

\lvert \vv{\text{u}} \rvert =10.

\displaystyle \vv{\text{u}}=(-6,a) \qquad  \vv{\text{v}} =(b,3)

Сначала мы воспользуемся условием модуля, чтобы найти значение

a:

\lvert \vv{\text{u}} \rvert =10

\sqrt{(-6)^2+a^2}=10

\sqrt{36+a^2}=10

Поднимем обе части уравнения, чтобы удалить квадратный корень:

\left(\sqrt{36+a^2}\right)^2=10^2

36+a^2=100

И мы проясняем тайну:

a^2=100 -36

a^2=64

a=\sqrt{64}

\bm{a=8}

Как только мы узнаем ценность

a

, найдите значение

b

применив формулу угла двух векторов, поскольку в этом утверждении говорится, что они должны быть перпендикулярны или, что эквивалентно, они должны составлять 90°.

\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}

\displaystyle 0=\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}

Знаменатель дроби делит всю правую часть уравнения, поэтому мы можем умножить ее на другую часть:

\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert  =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}

\displaystyle 0  =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}

Теперь попробуем решить скалярное произведение:

\displaystyle 0 =(-6,8) \cdot (b,3)

\displaystyle 0 =-6 \cdot b +8\cdot 3

\displaystyle 0 =-6b +24

И наконец, мы проясняем тайну:

\displaystyle 6b =24

\displaystyle b =\cfrac{24}{6}

\displaystyle \bm{b =4}

Упражнение 5

Рассчитать углы

\alpha , \beta

И

\gamma

которые образуют стороны следующего треугольника:

упражнения и задачи, решаемые шаг за шагом скалярного произведения двух векторов

Вершинами, составляющими треугольник, являются следующие точки:

A(2,1) \qquad B(4,4) \qquad C(6,2)

Чтобы вычислить внутренние углы треугольника, мы можем вычислить векторы каждой из его сторон, а затем найти угол, который они образуют, используя формулу скалярного произведения.

Например, чтобы найти угол

\alpha

Вычисляем векторы его сторон:

\vv{AB} = B - A = (4,4)-(2,1)= (2,3)

\vv{AC} = C - A = (6,2)-(2,1)= (4,1)

И мы находим угол, образованный двумя векторами, используя формулу скалярного произведения:

\lvert \vv{AB} \rvert = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13}

\lvert \vv{AC} \rvert = \sqrt{4^2+1^2} = \sqrt{17}

\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{AC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{AC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 4 + 3\cdot 1}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{17}} = \cfrac{11}{\sqrt{221}} =0,74

\bm{\alpha = 42,27º}

Теперь повторяем ту же процедуру для определения угла

\beta:

\vv{BC} = C - B = (6,2)-(4,4)= (2,-2)

\lvert \vv{BC} \rvert = \sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{8}

\displaystyle \cos(\beta) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{BC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{BC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 2 + 3\cdot (-2)}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{8}} = \cfrac{-2}{\sqrt{104}} =-0,20

\bm{\beta = 101,31º}

Наконец, чтобы найти последний угол, мы можем повторить ту же процедуру. Однако сумма всех углов треугольника должна составлять 180 градусов, поэтому:

\gamma = 180 -42,27-101,31 = \bm{36,42º}

Оставьте комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Прокрутить вверх