На этой странице объясняется, что такое иррациональная функция, также называемая радикальной функцией, а также все характеристики этого типа функции. Вы также узнаете, как вычислять область определения радикальных или иррациональных функций, и, кроме того, вы сможете увидеть, как представить их на графике с примерами и попрактиковаться в упражнениях и задачах, решаемых шаг за шагом.
Что такое иррациональная (или радикальная) функция?
Иррациональная функция означает то же самое, что и радикальная функция, и, следовательно, они имеют общее определение:
Иррациональная функция , также называемая радикальной функцией , — это функция, имеющая независимую переменную x под символом корня.
Как мы уже знаем, результат корня может быть положительным или отрицательным. Таким образом, представление иррациональной (или радикальной) функции имеет две возможные кривые:

Но если знак не указан, предполагается, что представлена положительная функция.
С другой стороны, не следует путать иррациональную функцию с рациональной функцией. Хотя у них очень похожие имена, это два совершенно разных типа функций.
Область иррациональной или радикальной функции
Область определения функции с корнями зависит от четности индекса корня, т. е. от того, является ли радикальный индекс четным или нечетным.
Область определения функции с корнем из четного индекса
Как известно, у отрицательного числа не существует корня (даже индекса). Следовательно, радикальная функция с четным индексом будет существовать до тех пор, пока ее содержимое равно или больше 0.
В качестве примера давайте посмотрим, как вычисляется область определения следующей радикальной или иррациональной функции:
Это радикальная индексная функция, поэтому мы должны посмотреть, когда ее содержимое положительное или нулевое :
Решаем неравенство:
Таким образом, функция будет существовать всякий раз, когда x больше или равно 4, и обозначается следующим интервалом:
Область определения функции с корнем из нечетного индекса
Иррациональные функции с нечетным индексом не имеют этой проблемы, поскольку корень нечетного индекса отрицательного числа существует:
Следовательно, радикальные функции нечетного индекса существуют для любого значения x . Или, другими словами, домен состоит только из вещественных чисел .
Например, вычислим область определения следующей радикальной функции с нечетным индексом:
Поскольку это иррациональная функция с нечетным индексом, ее область определения состоит из действительных чисел:
Как представить иррациональную или радикальную функцию
Давайте посмотрим, как представить на графике функцию с корнями на примере.
- Постройте на графике следующую радикальную или иррациональную функцию:
Первое, что нужно сделать, это найти область определения функции. Поскольку это квадратный корень, все, что в нем содержится, должно быть положительным, поскольку из отрицательного числа не существует квадратного корня. Следовательно, радикальная функция будет существовать до тех пор, пока ее содержимое равно или больше 0:
Таким образом, область определения функции состоит из всех чисел, больших или равных -2. Это сказать:
Как только мы узнаем область определения функции, мы создаем таблицу значений. Очевидно, что чем больше точек мы вычислим, тем точнее будет представление функции. Но расчета 3 или 4 точек в интервале домена вполне достаточно:
Теперь представим полученные точки на графике :

И, наконец, мы соединяем точки и расширяем кривую, чтобы указать, что функция продолжает расти:

Решенные упражнения на иррациональные или радикальные функции
Упражнение 1
Найдите область определения следующей радикальной функции:
Упражнение 2
Найдите область определения следующей иррациональной функции:
Упражнение 3
Постройте на графике следующую иррациональную функцию:
Упражнение 4
Изобразите график следующей иррациональной или радикальной функции:
Упражнение 5
Изобразите график следующей иррациональной или радикальной функции:
Упражнение 6
Постройте на графике следующую иррациональную или радикальную функцию:
Упражнение 7
Представим на графике следующую функцию, образованную корнем:
Упражнение 8
Решите следующую задачу, связанную с иррациональными (или радикальными) функциями:
Потребление аккумулятора сотового телефона определяется следующей функцией:
Где потребление выражается в миллиамперах (мА) и
— прошедшее время в минутах.
Определить значение константы
так что через 4 минуты потребление составит 35 мА.