Иррациональная функция или радикальная функция

На этой странице объясняется, что такое иррациональная функция, также называемая радикальной функцией, а также все характеристики этого типа функции. Вы также узнаете, как вычислять область определения радикальных или иррациональных функций, и, кроме того, вы сможете увидеть, как представить их на графике с примерами и попрактиковаться в упражнениях и задачах, решаемых шаг за шагом.

Что такое иррациональная (или радикальная) функция?

Иррациональная функция означает то же самое, что и радикальная функция, и, следовательно, они имеют общее определение:

Иррациональная функция , также называемая радикальной функцией , — это функция, имеющая независимую переменную x под символом корня.

Как мы уже знаем, результат корня может быть положительным или отрицательным. Таким образом, представление иррациональной (или радикальной) функции имеет две возможные кривые:

примеры иррациональных или радикальных функций

Но если знак не указан, предполагается, что представлена положительная функция.

С другой стороны, не следует путать иррациональную функцию с рациональной функцией. Хотя у них очень похожие имена, это два совершенно разных типа функций.

Область иррациональной или радикальной функции

Область определения функции с корнями зависит от четности индекса корня, т. е. от того, является ли радикальный индекс четным или нечетным.

Область определения функции с корнем из четного индекса

Как известно, у отрицательного числа не существует корня (даже индекса). Следовательно, радикальная функция с четным индексом будет существовать до тех пор, пока ее содержимое равно или больше 0.

В качестве примера давайте посмотрим, как вычисляется область определения следующей радикальной или иррациональной функции:

f(x)=\sqrt{x-4}

Это радикальная индексная функция, поэтому мы должны посмотреть, когда ее содержимое положительное или нулевое :

x-4\ge 0

Решаем неравенство:

x\ge 4

Таким образом, функция будет существовать всякий раз, когда x больше или равно 4, и обозначается следующим интервалом:

\text{Dom } f= [4,+\infty)

Область определения функции с корнем из нечетного индекса

Иррациональные функции с нечетным индексом не имеют этой проблемы, поскольку корень нечетного индекса отрицательного числа существует:

\sqrt[3]{-8}=-2

Следовательно, радикальные функции нечетного индекса существуют для любого значения x . Или, другими словами, домен состоит только из вещественных чисел .

Например, вычислим область определения следующей радикальной функции с нечетным индексом:

f(x)=\sqrt[3]{3x-4}

Поскольку это иррациональная функция с нечетным индексом, ее область определения состоит из действительных чисел:

\text{Dom } f= \mathbb{R}

Как представить иррациональную или радикальную функцию

Давайте посмотрим, как представить на графике функцию с корнями на примере.

  • Постройте на графике следующую радикальную или иррациональную функцию:

f(x)=\sqrt{x+2}

Первое, что нужно сделать, это найти область определения функции. Поскольку это квадратный корень, все, что в нем содержится, должно быть положительным, поскольку из отрицательного числа не существует квадратного корня. Следовательно, радикальная функция будет существовать до тех пор, пока ее содержимое равно или больше 0:

x+2\ge 0

x\ge -2

Таким образом, область определения функции состоит из всех чисел, больших или равных -2. Это сказать:

\text{Dom } f = [-2,+\infty)

Как только мы узнаем область определения функции, мы создаем таблицу значений. Очевидно, что чем больше точек мы вычислим, тем точнее будет представление функции. Но расчета 3 или 4 точек в интервале домена вполне достаточно:

  • x= -2 \ \longrightarrow \ f(-2)=\sqrt{-2+2}= 0

  • x= -1 \ \longrightarrow \ f(-1)=\sqrt{-1+2}= 1

  • x= 2 \ \longrightarrow \ f(2)=\sqrt{2+2}= 2

  • x= 7 \ \longrightarrow \ f(7)=\sqrt{7+2}= 3

\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline -2 & 0 \\ -1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 7 & 3 \end{array}

Теперь представим полученные точки на графике :

как представить радикальную или иррациональную функцию

И, наконец, мы соединяем точки и расширяем кривую, чтобы указать, что функция продолжает расти:

пример графического изображения радикальной или иррациональной функции

Решенные упражнения на иррациональные или радикальные функции

Упражнение 1

Найдите область определения следующей радикальной функции:

\sqrt{3x+6}

Упражнение 2

Найдите область определения следующей иррациональной функции:

\sqrt{-x+2}

Упражнение 3

Постройте на графике следующую иррациональную функцию:

f(x)= \sqrt{x-1}

Упражнение 4

Изобразите график следующей иррациональной или радикальной функции:

f(x)= -2\sqrt{x}+3

Упражнение 5

Изобразите график следующей иррациональной или радикальной функции:

f(x)= \sqrt{-x+5}

Упражнение 6

Постройте на графике следующую иррациональную или радикальную функцию:

f(x)= \sqrt{x^2-5x+4}

Упражнение 7

Представим на графике следующую функцию, образованную корнем:

f(x)= \sqrt[3]{x}

Упражнение 8

Решите следующую задачу, связанную с иррациональными (или радикальными) функциями:

Потребление аккумулятора сотового телефона определяется следующей функцией:

f(t)=\sqrt{x-K \vphantom{(-K)}}

Где потребление выражается в миллиамперах (мА) и

t

— прошедшее время в минутах.

Определить значение константы

K

так что через 4 минуты потребление составит 35 мА.

Оставьте комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *