Дифференцируемость функции

17 сентября, 2023

В этой статье вы узнаете, как изучать дифференцируемость функции, то есть дифференцируема ли функция или нет. Кроме того, мы увидим связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции. И, наконец, изучим дифференцируемость кусочной функции.

Дифференцируемость и непрерывность функции

Непрерывность и дифференцируемость функции в точке связаны следующим образом:

Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.
Если функция не является непрерывной в какой-то точке, она также не дифференцируема в этой точке.

Однако обратное утверждение этой теоремы неверно: то, что функция непрерывна в какой-то точке, не означает, что она всегда дифференцируема в этой точке.

Вы также можете увидеть, дифференцируема ли функция в определенной точке, по ее графическому представлению:

Если это гладкая точка, то функция в этой точке дифференцируема.
Если это угловая точка, функция в этой точке непрерывна, но не дифференцируема.

Точка сглаживания при x=0:
непрерывная и дифференцируемая функция на этом этапе.

Угловая точка при x=2:
функция непрерывна, но не дифференцируема на этом этапе.

Дифференцируемость кусочной функции

Узнав связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции, мы увидим, как изучать дифференцируемость кусочно определенной функции.

Вы можете определить, дифференцируема ли кусочная функция в какой-либо точке, вычислив боковые производные в этой точке:

Если боковые производные в точке не равны, функция не дифференцируема в этой точке:

$f'(x_o^-) \neq f'(x_o^+) \ \longrightarrow$

Это не подлежит вычету в

$x_o$

Если боковые производные в точке совпадают, то функция в этой точке дифференцируема:

$f'(x_o^-) = f'(x_o^+) \ \longrightarrow$

Да, оно дифференцируемо

$x_o$

Примечание. Чтобы функция была дифференцируемой в точке, она должна быть непрерывной в этой точке. Поэтому, прежде чем вычислять боковые производные, нам необходимо убедиться, что функция непрерывна в этой точке. Если вы не знаете, как изучается непрерывность в точке, вы можете посмотреть, как это делается, по следующей ссылке:

➤ См.: непрерывность функции в точке.

Теперь посмотрим на примере, как вычислить производную функции, определенной кусочно в точке:

Изучите непрерывность и дифференцируемость следующей функции, определенной кусочно в точке x=2:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 3x^2-6x & \text{si} & x<2 \\[2ex] 6\ln (x-1) & \text{si} & x\geq 2 \end{array} \right.$

Функции двух частей непрерывны в своих интервалах, однако необходимо проверить, непрерывна ли функция в критической точке x=2. Для этого решим боковые пределы функции в точке:

$\lim\limits_{x\to 2^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^-} \bigl(3x^2-6x\bigr) = 3\cdot2^2-6\cdot2=12-12=\bm{0}$

$\lim\limits_{x\to 2^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^+} 6\ln (x-1) = 6\ln (2-1)=6 \ln 1=6 \cdot 0= \bm{0}$

Боковые пределы в критической точке дали нам тот же результат, поэтому функция непрерывна в точке x=2.

Как только мы узнаем, что функция непрерывна в точке x = 2, мы изучим дифференцируемость функции в этой точке. Для этого вычислим боковые производные функции, определенной в кусках:

$\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 6x-6 & \text{si} & x<2 \\[2ex] \cfrac{6}{x-1} & \text{si} & x\geq 2 \end{array} \right.$

Теперь мы оценим каждую боковую производную в критической точке:

$f'(2^-)=6\cdot2-6=12-6 = \bm{6}$

$f'(2^+)=\cfrac{6}{2-1} = \cfrac{6}{1} = \bm{6}$

Две боковые производные дали нам один и тот же результат, поэтому функция дифференцируема при x = 2, а значение производной равно 6:

$f'(2^-) = f'(2^+) = 6 \ \longrightarrow \ \bm{f'(2) = 6}$

С другой стороны, если бы боковые производные дали нам другой результат, это означало бы, что функция не дифференцируема при x=2. Другими словами, производная в этот момент не существовала бы.

Наконец, просто помните, что эта процедура применима и для изучения дифференцируемости функции абсолютного значения, поскольку функции абсолютного значения также могут быть определены кусочно. Здесь вы можете увидеть, как преобразовать функцию абсолютного значения в фрагменты:

➤ См.: как кусочно определить функцию с абсолютным значением

Решенные упражнения на дифференцируемость функции

Упражнение 1

Изучите непрерывность и дифференцируемость следующей кусочной функции:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} x^3-4x^2 + 5 & \text{si} & x<1 \\[2ex] -x^2+3x & \text{si} & x\geq 1 \end{array} \right.$

Посмотреть решение

Функции двух частей непрерывны, но мы должны проверить, непрерывна ли функция в критической точке x=1. Для этого решим боковые пределы функции в точке:

$\lim\limits_{x\to 1^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 1^-} \bigl(x^3-4x^2 + 5\bigr)=1^3-4\cdot 1^2 + 5=2$

$\lim\limits_{x\to 1^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 1^+} \bigl( -x^2+3x \bigr)=-1^2+3\cdot 1=2$

Два боковых предела в критической точке дают один и тот же результат, поэтому функция непрерывна при x=1.

Как только мы узнаем, что функция непрерывна в критической точке, мы узнаем, дифференцируема ли она в той же точке. Поэтому мы вычисляем боковые производные:

$\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 3x^2-8x & \text{si} & x<1 \\[2ex] -2x+3 & \text{si} & x\geq 1 \end{array} \right.$

И мы оцениваем две боковые производные при x=1;

$f'(1^-)=3\cdot1^2-8\cdot 1=3-8=-5$

$f'(1^+)=-2\cdot 1+3=-2+3 =1$

Боковые производные не совпадают в точке x=1, поэтому функция в этой точке не дифференцируема.

$f'(1^-) \neq f'(1^+) \ \longrightarrow \ \cancel{\exists} \ f'(1)$

Упражнение 2

Проанализируйте дифференцируемость и непрерывность следующей функции, определенной в разделах:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} \sqrt{4x} & \text{si} & x\leq 1 \\[2ex] 2+\ln x & \text{si} & x> 1 \end{array} \right.» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»65″ width=»226″ style=»vertical-align: 0px;»></p> </p> <div class=$

Посмотреть решение

Функции двух участков непрерывны на своих интервалах, но необходимо также знать, непрерывна ли функция в критической точке изменения определения x=1. Поэтому мы определяем боковые пределы функции в этой точке:

$\lim\limits_{x\to 1^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 1^-} \sqrt{4x} = \sqrt{4\cdot 1} = \sqrt{4}=2$

$\lim\limits_{x\to 1^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 1^+} \bigl( 2+\ln x \bigr) = 2 + \ln (1) = 2+0 =2$

Два боковых предела в критической точке дают один и тот же результат, поэтому функция непрерывна при x=1.

А теперь узнаем, дифференцируема ли функция в этой точке, вычислив боковые производные:

$\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} \cfrac{4}{2\sqrt{4x}} & \text{si} & x<1 \\[4ex] \cfrac{1}{x} & \text{si} & x\geq 1 \end{array} \right.$

Мы оцениваем две боковые производные при x=1:

$f'(1^-)=\cfrac{4}{2\sqrt{4\cdot1}}=\cfrac{4}{2\sqrt{4}}=\cfrac{4}{2\cdot 2}=\cfrac{4}{4}=1$

$f'(1^+)=\cfrac{1}{1}=1$

Боковые производные равны, поэтому функция дифференцируема при x = 1, а значение производной равно 1.

$f'(1^-) = f'(1^+) = 1 \ \longrightarrow \ \bm{f'(1) = 1}$

Упражнение 3

Определите, является ли следующая кусочная функция непрерывной и дифференцируемой во всей своей области определения:

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} x^2+2x+1 & \text{si} & x\leq -1 \\[2ex] 2x+2 & \text{ si} & -1<div class="wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF" role="button" tabindex="0" aria- expanded="false" data-otfm-spc="#E6F9EF" style="text-align:center"><div class="otfm-sp__title"> <strong>View solution</strong></div>< /div> The functions of all three parts are continuous, but we still need to check if the function is continuous at critical points. We therefore first check the continuity of the function at the point x=-1 by solving the lateral limits at this point:

*** Error message:
Missing $ inserted.
leading text: \displaystyle
Missing { inserted.
leading text: ...="wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__
Missing { inserted.
leading text: ...ox-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__
Missing { inserted.
leading text: ...m-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__
Missing { inserted.
leading text: ...fm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__
You can't use `macro parameter character #' in math mode.
leading text: ...="0" aria-expanded="false" data-otfm-spc="#
Missing { inserted.
leading text: ...e="text-align:center"><div class="otfm-sp__
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...g></div></div> The functions of the three parts
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...are continuous, but we still need to see

\lim\limits_{x\to -1^-} f(x) = \lim\limits_{x\to -1^-} \bigl(x^2+2x+1\bigr) = (-1)^ 2+2(-1)+1 =0 \lim\limits_{x\to -1^+} f(x) = \lim\limits_{x\to -1^+} \bigl(2x+2\bigr ) = 2(-1)+2=0

$Les deux limites latérales au point x=-1 donnent le même résultat, donc la fonction est continue en x=-1. Nous allons maintenant vérifier si la fonction est continue ou non au point x=2 :$

\lim\limits_{x\to 2^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^-} \bigl(2x+2\bigr) = 2\cdot 2+2=4+2= 6 \lim\limits_{x\to 2^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^+} \bigl( -x^2+8x\bigr) = -2^2+8\ CDOT 2 = -4+16=12

$En revanche, les limites latérales au point x=2 ne donnent pas le même résultat, donc la fonction n'est pas continue en x=2. De plus, comme il n'est pas continu à ce stade, il ne sera pas non plus dérivable à x=2. Une fois que l'on a étudié la continuité de la fonction, on passe à la différentiabilité. On calcule donc les dérivées latérales :$

\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 2x+2 & \text{si} & x\leq -1 \\[2ex] 2 & \text{si} & -1

Мы уже знаем, что функция не дифференцируема при x=2, поэтому нам просто нужно изучить, дифференцируема ли функция при x=-1. Для этого оценим две боковые производные в точке:

$f'(-1^-)=2(-1)+2 = -2+2=0$

$f'(-1^+)=2$

Боковые производные не совпадают в точке x=-1, поэтому функция в этой точке не дифференцируема.

$f'(-1^-) \neq f'(-1^+) \ \longrightarrow \ \cancel{\exists} \ f'(-1)$

Упражнение 4

Вычислите значение параметров a и b так, чтобы следующая кусочная функция была непрерывной и дифференцируемой во всей своей области определения:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 2e^{x-3} + a & \text{si} & x< 3 \\[2ex](x-b)^2 & \text{si} & x\geq 3 \end{array} \right.$

Посмотреть решение

Какими бы ни были значения неизвестных, функция непрерывна и дифференцируема во всех точках, кроме точки x=3, где необходимо проверить ее непрерывность и дифференцируемость.

Чтобы функция была непрерывной в точке, два боковых предела в этой точке должны совпадать. Поэтому оцениваем боковые пределы в критической точке:

$\lim\limits_{x\to 3^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 3^-} \bigl(2e^{x-3}+a\bigr) = 2e^{3-3}+a = 2 \cdot e^0+a =2\cdot 1 +a = 2+a$

$\lim\limits_{x\to 3^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 3^+} (x-b)^2 = (3-b)^2$

Поэтому два значения, полученные из боковых пределов, должны быть равны, чтобы функция была непрерывной:

$2+a = (3-b)^2$

Теперь проанализируем дифференцируемость в точке x=3. Находим боковые производные:

$\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 2e^{x-3} & \text{si} & x< 3 \\[2ex]2(x-b) & \text{si} & x\geq 3 \end{array} \right.$

И мы оцениваем две боковые производные в критической точке:

$f'(3^-)= 2e^{3-3} = 2e^0 = 2\cdot 1 = 2$

$f'(3^+)=2(3-b) = 6 - 2b$

Следовательно, чтобы функция была дифференцируемой при x=3, значения, полученные от боковых производных, должны быть равны:

$2=6-2b$

Решив это уравнение, мы можем найти значение b:

$2b=6-2$

$2b=4$

$b=\cfrac{4}{2} =\bm{2}$

Наконец, как только мы узнаем значение параметра b, мы можем вычислить значение параметра a, решив уравнение, которое мы получили ранее в боковых пределах:

$2+a = (3-b)^2$

$2+a = (3-2)^2$

$2+a =1$

$a =1-2$

$\bm{a =-1}$

Дифференцируемость и непрерывность функции

Дифференцируемость кусочной функции

Решенные упражнения на дифференцируемость функции

Упражнение 1

Упражнение 2

Упражнение 3

Упражнение 4

Оставьте комментарий Отменить ответ