Собственные значения (или собственные значения) и собственные векторы (или собственные векторы) матрицы

На этой странице мы объясняем, что такое собственные значения и собственные векторы, также называемые собственными значениями и собственными векторами соответственно. Вы также найдете примеры их расчета, а также пошаговые решения упражнений для практики.

Что такое собственное значение и собственный вектор?

Хотя понятие собственного значения и собственного вектора трудно понять, его определение следующее:

Собственные векторы или собственные векторы — это ненулевые векторы линейного отображения, которые при преобразовании им порождают скалярное кратное им число (они не меняют направления). Этот скаляр является собственным значением или собственным значением .

Av = \lambda v

Золото

A

— матрица линейного отображения,

v

является собственным вектором и

\lambda

собственная ценность.

Собственное значение также известно как характеристическое значение. И есть даже математики, которые используют немецкий корень «eigen» для обозначения собственных значений и собственных векторов: собственные значения для собственных значений и собственные векторы для собственных векторов.

Как вычислить собственные значения (или собственные значения) и собственные векторы (или собственные векторы) матрицы?

Чтобы найти собственные значения и собственные векторы матрицы, вам придется выполнить целую процедуру:

  1. Характеристическое уравнение матрицы вычисляется путем решения следующего определителя:
  2. \displaystyle \text{det}(A-\lambda I)

  3. Находим корни характеристического многочлена, полученного на шаге 1. Эти корни являются собственными значениями матрицы.
  4. \displaystyle \text{det}(A-\lambda I)=0 \ \longrightarrow \ \lambda

  5. Вычисляется собственный вектор каждого собственного значения. Для этого для каждого собственного значения решается следующая система уравнений:
  6. \displaystyle (A-\lambda I)v=0

Это метод нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы, но здесь мы также даем вам несколько советов: 😉

Советы : мы можем воспользоваться свойствами собственных значений и собственных векторов, чтобы упростить их вычисление:

След матрицы (сумма ее главной диагонали) равен сумме всех собственных значений.

\displaystyle tr(A)=\sum_{i=1}^n \lambda_i

Произведение всех собственных значений равно определителю матрицы.

\displaystyle det(A)=\prod_{i=1}^n \lambda_i

При наличии линейной комбинации между строками или столбцами хотя бы одно собственное значение матрицы равно 0.

Давайте посмотрим на примере, как вычисляются собственные векторы и собственные значения матрицы, чтобы лучше понять метод:

Пример расчета собственных значений и собственных векторов матрицы:

  • Найдите собственные значения и собственные векторы следующей матрицы:

\displaystyle A= \begin{pmatrix}1&0\\[1.1ex] 5&2\end{pmatrix}

Сначала нам нужно найти характеристическое уравнение матрицы. А для этого необходимо разрешить следующий определитель:

\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}1- \lambda &0\\[1.1ex] 5&2-\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2-3\lambda +2

Теперь вычислим корни характеристического многочлена, поэтому приравняем полученный результат к 0 и решим уравнение:

\displaystyle \lambda^2-3\lambda +2 = 0

\lambda= \cfrac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 1 \cdot 2}}{2\cdot 1} = \cfrac{+3\pm 1}{2}=\begin{cases} \lambda = 1 \\[2ex] \lambda = 2 \end{cases}

Решения уравнения являются собственными значениями матрицы.

Получив собственные значения, мы вычисляем собственные векторы. Для этого нам нужно решить следующую систему для каждого собственного значения:

\displaystyle (A-\lambda I)v=0

Сначала мы вычислим собственный вектор, связанный с собственным значением 1:

\displaystyle (A-\lambda I)v=0

\displaystyle (A-1 I)\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}

\displaystyle \begin{pmatrix}0&0\\[1.1ex] 5&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}

\displaystyle \left.\begin{array}{l} 0x+0y = 0 \\[2ex] 5x+y = 0\end{array}\right\}

Из этих уравнений получаем следующее подпространство:

\displaystyle y=-5x

Подпространства собственных векторов также называются собственными пространствами.

Теперь нам нужно найти основу этого чистого пространства, поэтому мы присваиваем, например, значение 1 переменной.

x

и мы получаем следующий собственный вектор:

\displaystyle x = 1 \ \longrightarrow \ y=-5\cdot 1 = -5

\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -5\end{pmatrix}

Наконец, как только собственный вектор, связанный с собственным значением 1, найден, мы повторяем процесс вычисления собственного вектора для собственного значения 2:

\displaystyle (A-\lambda I)v=0

\displaystyle (A-2I)\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}

\displaystyle \begin{pmatrix}-1&0\\[1.1ex] 5&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}

\displaystyle \left.\begin{array}{l} -x+0y = 0 \\[2ex] 5x+0y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ x=0

В этом случае только первый компонент вектора должен быть равен 0, поэтому мы можем присвоить любое значение

y

. Но для удобства лучше поставить 1:

\displaystyle v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 1 \end{pmatrix}

В заключение собственные значения и собственные векторы матрицы:

\displaystyle \lambda = 1 \qquad v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -5 \end{pmatrix}

\displaystyle \lambda = 2 \qquad v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 1 \end{pmatrix}

Когда вы узнаете, как найти собственные значения и собственные векторы матрицы, вы можете задаться вопросом… а для чего они нужны? Что ж, оказывается, они очень полезны для диагонализации матриц , собственно это и есть их основное применение. Чтобы узнать больше, рекомендуем ознакомиться с тем, как диагонализировать матрицу, по ссылке, где процедура объясняется шаг за шагом, а также есть примеры и решенные упражнения для практики.

Решенные упражнения на собственные значения и собственные векторы (собственные значения и собственные векторы)

Упражнение 1

Вычислите собственные значения и собственные векторы следующей квадратной матрицы второго порядка:

\displaystyle A= \begin{pmatrix}3&1\\[1.1ex] 2&4\end{pmatrix}

Упражнение 2

Определите собственные значения и собственные векторы следующей квадратной матрицы 2х2:

\displaystyle A= \begin{pmatrix}2&1\\[1.1ex] 3&0\end{pmatrix}

Упражнение 3

Определим собственные значения и собственные векторы следующей матрицы 3-го порядка:

\displaystyle A= \begin{pmatrix}1&2&0\\[1.1ex] 2&1&0\\[1.1ex] 0&1&2\end{pmatrix}

Упражнение 4

Вычислите собственные значения и собственные векторы следующей квадратной матрицы 3х3:

\displaystyle A= \begin{pmatrix}2&1&3\\[1.1ex]-1&1&1\\[1.1ex] 1&2&4\end{pmatrix}

Упражнение 5

Вычислите собственные значения и собственные векторы следующей матрицы 3х3:

\displaystyle A= \begin{pmatrix}2&2&2\\[1.1ex] 1&2&0\\[1.1ex] 0&1&3\end{pmatrix}

Упражнение 6

Найдите собственные значения и собственные векторы следующей матрицы 4×4:

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\[1.1ex] 2&-1&-3&0\\[1.1ex] -2&0&2&0\\[1.1ex] 0&0&0&3\end{pmatrix}

Оставьте комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *