На этой странице мы объясняем, что такое собственные значения и собственные векторы, также называемые собственными значениями и собственными векторами соответственно. Вы также найдете примеры их расчета, а также пошаговые решения упражнений для практики.
Что такое собственное значение и собственный вектор?
Хотя понятие собственного значения и собственного вектора трудно понять, его определение следующее:
Собственные векторы или собственные векторы — это ненулевые векторы линейного отображения, которые при преобразовании им порождают скалярное кратное им число (они не меняют направления). Этот скаляр является собственным значением или собственным значением .
Золото
— матрица линейного отображения,
является собственным вектором и
собственная ценность.
Собственное значение также известно как характеристическое значение. И есть даже математики, которые используют немецкий корень «eigen» для обозначения собственных значений и собственных векторов: собственные значения для собственных значений и собственные векторы для собственных векторов.
Как вычислить собственные значения (или собственные значения) и собственные векторы (или собственные векторы) матрицы?
Чтобы найти собственные значения и собственные векторы матрицы, вам придется выполнить целую процедуру:
- Характеристическое уравнение матрицы вычисляется путем решения следующего определителя:
- Находим корни характеристического многочлена, полученного на шаге 1. Эти корни являются собственными значениями матрицы.
- Вычисляется собственный вектор каждого собственного значения. Для этого для каждого собственного значения решается следующая система уравнений:
Это метод нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы, но здесь мы также даем вам несколько советов:
Советы : мы можем воспользоваться свойствами собственных значений и собственных векторов, чтобы упростить их вычисление:
✓ След матрицы (сумма ее главной диагонали) равен сумме всех собственных значений.
✓ Произведение всех собственных значений равно определителю матрицы.
✓ При наличии линейной комбинации между строками или столбцами хотя бы одно собственное значение матрицы равно 0.
Давайте посмотрим на примере, как вычисляются собственные векторы и собственные значения матрицы, чтобы лучше понять метод:
Пример расчета собственных значений и собственных векторов матрицы:
- Найдите собственные значения и собственные векторы следующей матрицы:
Сначала нам нужно найти характеристическое уравнение матрицы. А для этого необходимо разрешить следующий определитель:
Теперь вычислим корни характеристического многочлена, поэтому приравняем полученный результат к 0 и решим уравнение:
Решения уравнения являются собственными значениями матрицы.
Получив собственные значения, мы вычисляем собственные векторы. Для этого нам нужно решить следующую систему для каждого собственного значения:
Сначала мы вычислим собственный вектор, связанный с собственным значением 1:
Из этих уравнений получаем следующее подпространство:
Подпространства собственных векторов также называются собственными пространствами.
Теперь нам нужно найти основу этого чистого пространства, поэтому мы присваиваем, например, значение 1 переменной.
и мы получаем следующий собственный вектор:
Наконец, как только собственный вектор, связанный с собственным значением 1, найден, мы повторяем процесс вычисления собственного вектора для собственного значения 2:
В этом случае только первый компонент вектора должен быть равен 0, поэтому мы можем присвоить любое значение
. Но для удобства лучше поставить 1:
В заключение собственные значения и собственные векторы матрицы:
Когда вы узнаете, как найти собственные значения и собственные векторы матрицы, вы можете задаться вопросом… а для чего они нужны? Что ж, оказывается, они очень полезны для диагонализации матриц , собственно это и есть их основное применение. Чтобы узнать больше, рекомендуем ознакомиться с тем, как диагонализировать матрицу, по ссылке, где процедура объясняется шаг за шагом, а также есть примеры и решенные упражнения для практики.
Решенные упражнения на собственные значения и собственные векторы (собственные значения и собственные векторы)
Упражнение 1
Вычислите собственные значения и собственные векторы следующей квадратной матрицы второго порядка:
Упражнение 2
Определите собственные значения и собственные векторы следующей квадратной матрицы 2х2:
Упражнение 3
Определим собственные значения и собственные векторы следующей матрицы 3-го порядка:
Упражнение 4
Вычислите собственные значения и собственные векторы следующей квадратной матрицы 3х3:
Упражнение 5
Вычислите собственные значения и собственные векторы следующей матрицы 3х3:
Упражнение 6
Найдите собственные значения и собственные векторы следующей матрицы 4×4: