Собственные значения (или собственные значения) и собственные векторы (или собственные векторы) матрицы

На этой странице мы объясняем, что такое собственные значения и собственные векторы, также называемые собственными значениями и собственными векторами соответственно. Вы также найдете примеры их расчета, а также пошаговые решения упражнений для практики.

Что такое собственное значение и собственный вектор?

Хотя понятие собственного значения и собственного вектора трудно понять, его определение следующее:

Собственные векторы или собственные векторы — это ненулевые векторы линейного отображения, которые при преобразовании им порождают скалярное кратное им число (они не меняют направления). Этот скаляр является собственным значением или собственным значением .

$Av = \lambda v$

Золото

$A$

— матрица линейного отображения,

$v$

является собственным вектором и

$\lambda$

собственная ценность.

Собственное значение также известно как характеристическое значение. И есть даже математики, которые используют немецкий корень «eigen» для обозначения собственных значений и собственных векторов: собственные значения для собственных значений и собственные векторы для собственных векторов.

Как вычислить собственные значения (или собственные значения) и собственные векторы (или собственные векторы) матрицы?

Чтобы найти собственные значения и собственные векторы матрицы, вам придется выполнить целую процедуру:

Характеристическое уравнение матрицы вычисляется путем решения следующего определителя:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)$

Находим корни характеристического многочлена, полученного на шаге 1. Эти корни являются собственными значениями матрицы.

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)=0 \ \longrightarrow \ \lambda$

Вычисляется собственный вектор каждого собственного значения. Для этого для каждого собственного значения решается следующая система уравнений:

$\displaystyle (A-\lambda I)v=0$

Это метод нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы, но здесь мы также даем вам несколько советов: 😉

Советы : мы можем воспользоваться свойствами собственных значений и собственных векторов, чтобы упростить их вычисление:

✓ След матрицы (сумма ее главной диагонали) равен сумме всех собственных значений.

$\displaystyle tr(A)=\sum_{i=1}^n \lambda_i$

✓ Произведение всех собственных значений равно определителю матрицы.

$\displaystyle det(A)=\prod_{i=1}^n \lambda_i$

✓ При наличии линейной комбинации между строками или столбцами хотя бы одно собственное значение матрицы равно 0.

Давайте посмотрим на примере, как вычисляются собственные векторы и собственные значения матрицы, чтобы лучше понять метод:

Пример расчета собственных значений и собственных векторов матрицы:

Найдите собственные значения и собственные векторы следующей матрицы:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}1&0\\[1.1ex] 5&2\end{pmatrix}$

Сначала нам нужно найти характеристическое уравнение матрицы. А для этого необходимо разрешить следующий определитель:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}1- \lambda &0\\[1.1ex] 5&2-\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2-3\lambda +2$

Теперь вычислим корни характеристического многочлена, поэтому приравняем полученный результат к 0 и решим уравнение:

$\displaystyle \lambda^2-3\lambda +2 = 0$

$\lambda= \cfrac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 1 \cdot 2}}{2\cdot 1} = \cfrac{+3\pm 1}{2}=\begin{cases} \lambda = 1 \\[2ex] \lambda = 2 \end{cases}$

Решения уравнения являются собственными значениями матрицы.

Получив собственные значения, мы вычисляем собственные векторы. Для этого нам нужно решить следующую систему для каждого собственного значения:

$\displaystyle (A-\lambda I)v=0$

Сначала мы вычислим собственный вектор, связанный с собственным значением 1:

$\displaystyle (A-\lambda I)v=0$

$\displaystyle (A-1 I)\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{pmatrix}0&0\\[1.1ex] 5&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 0x+0y = 0 \\[2ex] 5x+y = 0\end{array}\right\}$

Из этих уравнений получаем следующее подпространство:

$\displaystyle y=-5x$

Подпространства собственных векторов также называются собственными пространствами.

Теперь нам нужно найти основу этого чистого пространства, поэтому мы присваиваем, например, значение 1 переменной.

$x$

и мы получаем следующий собственный вектор:

$\displaystyle x = 1 \ \longrightarrow \ y=-5\cdot 1 = -5$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -5\end{pmatrix}$

Наконец, как только собственный вектор, связанный с собственным значением 1, найден, мы повторяем процесс вычисления собственного вектора для собственного значения 2:

$\displaystyle (A-\lambda I)v=0$

$\displaystyle (A-2I)\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{pmatrix}-1&0\\[1.1ex] 5&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -x+0y = 0 \\[2ex] 5x+0y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ x=0$

В этом случае только первый компонент вектора должен быть равен 0, поэтому мы можем присвоить любое значение

$y$

. Но для удобства лучше поставить 1:

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 1 \end{pmatrix}$

В заключение собственные значения и собственные векторы матрицы:

$\displaystyle \lambda = 1 \qquad v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -5 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 2 \qquad v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 1 \end{pmatrix}$

Когда вы узнаете, как найти собственные значения и собственные векторы матрицы, вы можете задаться вопросом… а для чего они нужны? Что ж, оказывается, они очень полезны для диагонализации матриц , собственно это и есть их основное применение. Чтобы узнать больше, рекомендуем ознакомиться с тем, как диагонализировать матрицу, по ссылке, где процедура объясняется шаг за шагом, а также есть примеры и решенные упражнения для практики.

Решенные упражнения на собственные значения и собственные векторы (собственные значения и собственные векторы)

Упражнение 1

Вычислите собственные значения и собственные векторы следующей квадратной матрицы второго порядка:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}3&1\\[1.1ex] 2&4\end{pmatrix}$

посмотреть решение

Сначала вычислим определитель матрицы минус λ на ее главной диагонали:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}3- \lambda &1\\[1.1ex] 2&4-\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2-7\lambda +10$

Теперь вычислим корни характеристического многочлена:

$\displaystyle \lambda^2-7\lambda +10=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda = 2 \\[2ex] \lambda = 5 \end{cases}$

Вычисляем собственный вектор, связанный с собственным значением 2:

$\displaystyle (A- 2I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix}1&1\\[1.1ex] 2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} x+y = 0 \\[2ex] 2x+2y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ x=-y$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -1 \end{pmatrix}$

А затем вычисляем собственный вектор, связанный с собственным значением 5:

$\displaystyle (A-5I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix}-2&1\\[1.1ex] 2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -2x+y = 0 \\[2ex] 2x-y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ y=2x$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 2 \end{pmatrix}$

Следовательно, собственные значения и собственные векторы матрицы А равны:

$\displaystyle \lambda = 2 \qquad v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 5 \qquad v = \begin{pmatrix}1\\[1.1ex] 2 \end{pmatrix}$

Упражнение 2

Определите собственные значения и собственные векторы следующей квадратной матрицы 2х2:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}2&1\\[1.1ex] 3&0\end{pmatrix}$

посмотреть решение

Сначала вычислим определитель матрицы минус λ на ее главной диагонали, чтобы получить характеристическое уравнение:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}2- \lambda &1\\[1.1ex] 3&-\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2-2\lambda -3$

Теперь вычислим корни характеристического многочлена:

$\displaystyle \lambda^2-2\lambda -3=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda = -1 \\[2ex] \lambda = 3 \end{cases}$

Вычисляем собственный вектор, связанный с собственным значением -1:

$\displaystyle (A-(-1)I)v=0$

$\displaystyle (A+1I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3&1\\[1.1ex] 3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 3x+1y = 0 \\[2ex] 3x+1y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ y=-3x$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -3 \end{pmatrix}$

А затем вычисляем собственный вектор, связанный с собственным значением 3:

$\displaystyle (A-3I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix}-1&1\\[1.1ex] 3&-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -1x+1y = 0 \\[2ex] 3x-3y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ y=x$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 1 \end{pmatrix}$

Следовательно, собственные значения и собственные векторы матрицы А равны:

$\displaystyle \lambda = -1 \qquad v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -3 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 3 \qquad v = \begin{pmatrix}1\\[1.1ex] 1 \end{pmatrix}$

Упражнение 3

Определим собственные значения и собственные векторы следующей матрицы 3-го порядка:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}1&2&0\\[1.1ex] 2&1&0\\[1.1ex] 0&1&2\end{pmatrix}$

посмотреть решение

Сначала мы должны решить определитель матрицы A минус единичную матрицу, умноженную на лямбда, чтобы получить характеристическое уравнение:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}1-\lambda&2&0\\[1.1ex] 2&1-\lambda&0\\[1.1ex] 0&1&2-\lambda\end{vmatrix}$

В данном случае последний столбец определителя имеет два нуля, поэтому мы воспользуемся этим для вычисления определителя по сомножителям (или дополнениям) через этот столбец:

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix}1-\lambda&2&0\\[1.1ex] 2&1-\lambda&0\\[1.1ex] 0&1&2-\lambda\end{vmatrix}& = (2-\lambda)\cdot \begin{vmatrix}1-\lambda&2\\[1.1ex] 2&1-\lambda \end{vmatrix} \\[3ex] & = (2-\lambda)[\lambda^2 -2\lambda -3] \end{aligned}$

Теперь нам нужно вычислить корни характеристического многочлена. Круглые скобки лучше не умножать, потому что тогда мы получим полином третьей степени, с другой стороны, если два фактора решаются отдельно, легче получить собственные значения:

$\displaystyle (2-\lambda)[\lambda^2 -2\lambda -3]=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} 2-\lambda=0 \ \longrightarrow \ \lambda = 2 \\[2ex] \lambda^2 -2\lambda -3=0 \ \longrightarrow \begin{cases}\lambda = -1 \\[2ex] \lambda = 3 \end{cases} \end{cases}$

Вычисляем собственный вектор, связанный с собственным значением 2:

$\displaystyle (A-2I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} -1&2&0\\[1.1ex] 2&-1&0\\[1.1ex] 0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -x+2y = 0 \\[2ex] 2x-y = 0\\[2ex] y=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} y=0 \\[2ex] x=y=0 \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Вычисляем собственный вектор, связанный с собственным значением -1:

$\displaystyle (A+I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2&2&0\\[1.1ex] 2&2&0\\[1.1ex] 0&1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 2x+2y = 0 \\[2ex] 2x+2y = 0\\[2ex] y+3z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=-y \\[2ex] y=-3z \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}3 \\[1.1ex] -3 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Вычисляем собственный вектор, связанный с собственным значением 3:

$\displaystyle (A-3I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} -2&2&0\\[1.1ex] 2&-2&0\\[1.1ex] 0&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -2x+2y = 0 \\[2ex] 2x-2y = 0\\[2ex] y-z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=y \\[2ex] y=z \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Следовательно, собственные значения и собственные векторы матрицы А равны:

$\displaystyle \lambda = 2 \qquad v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = -1 \qquad v = \begin{pmatrix}3 \\[1.1ex] -3 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 3 \qquad v = \begin{pmatrix}1\\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Упражнение 4

Вычислите собственные значения и собственные векторы следующей квадратной матрицы 3х3:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}2&1&3\\[1.1ex]-1&1&1\\[1.1ex] 1&2&4\end{pmatrix}$

посмотреть решение

Сначала решаем определитель матрицы минус λ на ее главной диагонали, чтобы получить характеристическое уравнение:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}2-\lambda&1&3\\[1.1ex]-1&1-\lambda&1\\[1.1ex] 1&2&4-\lambda\end{vmatrix}=-\lambda^3+7\lambda^2-10\lambda$

Мы извлекаем общий множитель из характеристического многочлена и находим λ из каждого уравнения:

$\displaystyle \lambda(-\lambda^2+7\lambda-10)=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda=0\\[2ex] -\lambda^2+7\lambda-10=0 \ \longrightarrow \begin{cases}\lambda = 2 \\[2ex] \lambda = 5 \end{cases} \end{cases}$

Вычисляем собственный вектор, связанный с собственным значением 0:

$\displaystyle (A-0I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2&1&3\\[1.1ex]-1&1&1\\[1.1ex] 1&2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 2x+y+3z= 0 \\[2ex] -x+y+z= 0\\[2ex] x+2y+4z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=-\cfrac{2z}{3} \\[4ex] y=-\cfrac{5z}{3} \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}-2 \\[1.1ex] -5\\[1.1ex] 3\end{pmatrix}$

Вычисляем собственный вектор, связанный с собственным значением 2:

$\displaystyle (A-2I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0&1&3\\[1.1ex]-1&-1&1\\[1.1ex] 1&2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} y+3z = 0 \\[2ex] -x-y+z= 0\\[2ex] x+2y+2z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} y=-3z \\[2ex] x=4z \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}4\\[1.1ex] -3 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Вычисляем собственный вектор, связанный с собственным значением 5:

$\displaystyle (A-5I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} -3&1&3\\[1.1ex]-1&-4&1\\[1.1ex] 1&2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -3x+y+3z = 0 \\[2ex] -x-4y+z = 0\\[2ex] x+2y-z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=z \\[2ex] y=0 \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Следовательно, собственные значения и собственные векторы матрицы А равны:

$\displaystyle \lambda = 0 \qquad v = \begin{pmatrix}-2 \\[1.1ex] -5 \\[1.1ex] 3\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 2 \qquad v = \begin{pmatrix}4 \\[1.1ex] -3 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 5 \qquad v = \begin{pmatrix}1\\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Упражнение 5

Вычислите собственные значения и собственные векторы следующей матрицы 3х3:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}2&2&2\\[1.1ex] 1&2&0\\[1.1ex] 0&1&3\end{pmatrix}$

посмотреть решение

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}2-\lambda&2&2\\[1.1ex] 1&2-\lambda&0\\[1.1ex] 0&1&3-\lambda\end{vmatrix}=-\lambda^3+7\lambda^2-14\lambda+8$

Находим корень характеристического многочлена или минимального многочлена, используя правило Руффини:

$\displaystyle \begin{array}{r|rrrr} & -1&7&-14&8 \\[2ex] 1 & & -1&6&-8 \\ \hline &-1\vphantom{\Bigl)}&6&-8&0 \end{array}$

А затем находим корни полученного многочлена:

$\displaystyle -\lambda^2+6\lambda -8=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda =2 \\[2ex] \lambda = 4 \end{cases}$

Итак, собственные значения матрицы:

$\lambda=1 \qquad \lambda =2 \qquad \lambda = 4$

Вычисляем собственный вектор, связанный с собственным значением 1:

$\displaystyle (A-1I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1&2&2\\[1.1ex] 1&1&0\\[1.1ex] 0&1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} x+2y+2z= 0 \\[2ex] x+y= 0\\[2ex] y+2z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=-y \\[2ex] y=-2z \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}2 \\[1.1ex] -2\\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Вычисляем собственный вектор, связанный с собственным значением 2:

$\displaystyle (A-2I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0&2&2\\[1.1ex] 1&0&0\\[1.1ex] 0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 2y+2z = 0 \\[2ex] x= 0\\[2ex] y+z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} y=-z \\[2ex] x=0\end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}0\\[1.1ex] -1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Вычисляем собственный вектор, связанный с собственным значением 4:

$\displaystyle (A-4I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} -2&2&2\\[1.1ex] 1&-2&0\\[1.1ex] 0&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -2x+2y+2z = 0 \\[2ex] x-2y = 0\\[2ex] y-z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=2y \\[2ex] y=z \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}2 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Следовательно, собственные значения и собственные векторы матрицы А равны:

$\displaystyle \lambda = 1 \qquad v = \begin{pmatrix}2\\[1.1ex] -2 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 2 \qquad v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] -1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 4 \qquad v = \begin{pmatrix}2 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Упражнение 6

Найдите собственные значения и собственные векторы следующей матрицы 4×4:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\[1.1ex] 2&-1&-3&0\\[1.1ex] -2&0&2&0\\[1.1ex] 0&0&0&3\end{pmatrix}$

посмотреть решение

Сначала мы должны решить определитель матрицы минус λ на ее главной диагонали, чтобы получить характеристическое уравнение:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}1-\lambda&0&-1&0\\[1.1ex] 2&-1-\lambda&-3&0\\[1.1ex] -2&0&2-\lambda&0\\[1.1ex] 0&0&0&3-\lambda\end{vmatrix}$

В этом случае последний столбец определителя содержит только нули, кроме одного элемента, поэтому мы воспользуемся этим для вычисления определителя по сомножителям через этот столбец:

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix}1-\lambda&0&-1&0\\[1.1ex] 2&-1-\lambda&-3&0\\[1.1ex] -2&0&2-\lambda&0\\[1.1ex] 0&0&0&3-\lambda\end{vmatrix}& = (3-\lambda)\cdot \begin{vmatrix}1-\lambda&0&-1\\[1.1ex] 2&-1-\lambda&-3\\[1.1ex] -2&0&2-\lambda\end{vmatrix} \\[3ex] & = (3-\lambda)[-\lambda^3 +2\lambda^2 +3\lambda] \end{aligned}$

Теперь нам нужно вычислить корни характеристического многочлена. Скобки лучше не умножать, потому что тогда мы получим многочлен четвертой степени, с другой стороны, если два фактора решать отдельно, легче вычислить собственные значения:

$\displaystyle (3-\lambda)[-\lambda^3 +2\lambda^2 +3\lambda]=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} 3-\lambda=0 \ \longrightarrow \ \lambda = 3 \\[2ex] -\lambda^3 +2\lambda^2 +3\lambda =0 \ \longrightarrow \ \lambda(-\lambda^2 +2\lambda +3) =0 \end{cases}$

$\displaystyle \lambda(-\lambda^2 +2\lambda +3)=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda=0 \\[2ex] -\lambda^2 +2\lambda +3=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda=-1 \\[2ex] \lambda = 3 \end{cases}\end{cases}$

Вычисляем собственный вектор, связанный с собственным значением 0:

$\displaystyle (A-0I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1&0&-1&0\\[1.1ex] 2&-1&-3&0\\[1.1ex] -2&0&2&0\\[1.1ex] 0&0&0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w \\[1.1ex] x \\[1.1ex] y\\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} w-y = 0 \\[2ex] 2w-x-3y = 0\\[2ex] -2w+2y=0 \\[2ex] 3z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} w=y \\[2ex] x=-w \\[2ex]z=0 \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -1 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex]0 \end{pmatrix}$

Вычисляем собственный вектор, связанный с собственным значением -1:

$\displaystyle (A+1I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2&0&-1&0\\[1.1ex] 2&0&-3&0\\[1.1ex] -2&0&3&0\\[1.1ex] 0&0&0&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w \\[1.1ex] x \\[1.1ex] y\\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 2w-y = 0 \\[2ex] 2w-3y = 0\\[2ex] -2w+3y=0 \\[2ex] 4z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} y=w=0 \\[2ex]z=0 \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex]0 \end{pmatrix}$

Вычисляем собственный вектор, связанный с собственным значением 3:

$\displaystyle (A-3I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} -2&0&-1&0\\[1.1ex] 2&-4&-3&0\\[1.1ex] -2&0&-1&0\\[1.1ex] 0&0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w \\[1.1ex] x \\[1.1ex] y\\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -2w-y = 0 \\[2ex] 2w-4x-3y = 0\\[2ex] -2w-y=0 \\[2ex] 0=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} y=-2w \\[2ex] x=2w \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 2 \\[1.1ex] -2 \\[1.1ex]0 \end{pmatrix}$

Собственное значение 3 имеет кратность, равную 2, поскольку оно повторяется дважды. Поэтому мы должны найти другой собственный вектор, который удовлетворяет тем же уравнениям:

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex]1 \end{pmatrix}$

Следовательно, собственные значения и собственные векторы матрицы А равны:

$\displaystyle \lambda = 0 \qquad v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -1 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex]0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = -1 \qquad v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex]0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 3 \qquad v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 2 \\[1.1ex] -2 \\[1.1ex]0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 3 \qquad v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex]1\end{pmatrix}$

Что такое собственное значение и собственный вектор?

Как вычислить собственные значения (или собственные значения) и собственные векторы (или собственные векторы) матрицы?

Пример расчета собственных значений и собственных векторов матрицы:

Решенные упражнения на собственные значения и собственные векторы (собственные значения и собственные векторы)

Упражнение 1

Упражнение 2

Упражнение 3

Упражнение 4

Упражнение 5

Упражнение 6

Оставьте комментарий Отменить ответ