Экспоненциальная функция

На этой странице вы узнаете, что такое показательная функция, а также как представить показательную функцию на графике. Кроме того, вы увидите все его характеристики и несколько примеров, чтобы полностью понять его. Наконец, вы сможете попрактиковаться с упражнениями и задачами, шаг за шагом решаемыми на показательных функциях.

Что такое показательная функция?

Определение показательной функции выглядит следующим образом:

Примеры показательных функций

Следующие функции являются примерами показательных функций:

Характеристики показательных функций

Экспоненциальные функции обладают следующими свойствами:

• Область определения показательной функции состоит из действительных чисел, или, другими словами, показательная функция существует для любого значения x .

• Однако функция принимает только положительные значения, поэтому диапазон экспоненциальной функции состоит из положительных действительных чисел.

• Любая показательная функция является одновременно непрерывной и инъективной функцией.

• Если функция не транслируется, любая показательная функция проходит через точку (0,1). Потому что функция, оцененная как ноль, всегда дает единицу.

• Аналогично, значение показательной функции при x=1 равно основанию.

• Если энергетическая база

  

  больше 1, показательная функция возрастает. С другой стороны, если коэффициент

  

  находится в интервале между 0 и 1, показательная функция убывает.

• В общем случае ось X представляет собой горизонтальную асимптоту показательной функции.

• Обратная показательная функция – это логарифмическая функция. Следовательно, графики показательной функции и логарифмической функции симметричны относительно прямой y=x, если обе имеют одинаковое основание.

Как построить график экспоненциальной функции

Экспоненциальные функции очень просто представить. Итак, давайте посмотрим, как построить показательную функцию на графике на примере.

• Постройте следующую показательную функцию на графике:

В показательных функциях нет необходимости вычислять область определения, поскольку все они всегда будут действительными числами:

Поэтому достаточно составить таблицу значений. Поскольку эти типы функций сильно меняются от одной точки к другой, мы будем рассчитывать 5 точек. Но чем больше точек мы посчитаем, тем точнее будет представление функции.

Для поиска точек в таблице значений рекомендуем воспользоваться калькулятором, так как их сложно посчитать вручную.

Теперь представим точки на графике :

И, наконец, соединяем точки и расширяем функцию:

Обратите внимание, что функция справа продолжает расти до бесконечности.

Напротив, функция слева уменьшается, но никогда не достигает 0. Хотя она и приближается к нему очень близко, она никогда его не касается. Это означает, что линия y=0 (ось X) является горизонтальной асимптотой.

Решенные упражнения на показательные функции

Упражнение 1

Постройте график следующей показательной функции:

Это показательная функция, поэтому для ее представления необходимо создать таблицу значений, дающую значения переменной x:

Получив таблицу значений, мы наносим полученные точки на график и строим функцию:

Обратите внимание, что функция справа продолжает расти до бесконечности. С другой стороны, слева функция убывает, но никогда не превышает 1. Действительно, справа функция имеет горизонтальную асимптоту y=1.

В этом случае горизонтальная асимптота находится в точке y=1 вместо оси OX, поскольку в сторону функции был сделан вертикальный сдвиг на одну единицу вверх.

Упражнение 2

Постройте следующую показательную функцию на графике:

Это показательная функция, поэтому для ее графического представления необходимо построить таблицу значений, задающих значения переменной x:

Получив таблицу значений, наносим рассчитанные точки на график и рисуем функцию:

Обратите внимание, что функция слева продолжает расти до бесконечности. С другой стороны, справа функция убывает, но никогда не превышает 0. Действительно, функция имеет горизонтальную асимптоту при y=0 (ось X).

Упражнение 3

Постройте следующую показательную функцию на графике:

Это показательная функция, поэтому для ее рисования необходимо создать таблицу значений, оценивающую функцию в нескольких точках:

Наконец, представим полученные точки на графике и построим функцию:

Обратите внимание, что функция слева неограниченно возрастает до бесконечности. С другой стороны, справа функция убывает, но никогда не превышает 3. Действительно, функция имеет горизонтальную асимптоту при y=3.

В этом случае горизонтальная асимптота находится на уровне y=3 вместо оси X, поскольку функция была перемещена по вертикали на три единицы вверх.

Упражнение 4

Решите следующую задачу, касающуюся показательных функций.

• Определить стоимость

  

  так что следующая показательная функция проходит через точку (2.8).

Функция должна проходить через точку (2,8), поэтому мы можем подставить значения x и f(x) точки в функцию, чтобы найти значение константы k:

И теперь решаем полученное уравнение:

Упражнение 5

Решите следующую задачу, касающуюся показательных функций.

Популяция термитов размножается по следующей функции:

Золото

количество термитов и

время прошло в месяцах.

Сколько термитов будет через 1 год?

Чтобы подсчитать количество термитов через год, просто подставьте в функцию прошедшее время (1 год). Но поскольку функция t — это количество прошедших месяцев, а не лет, мы должны положить t = 12, поскольку в году 12 месяцев:

Решаем с помощью калькулятора:

Значит, через год будет 1 594 323 термита.