Функция гиперболического тангенса

На этой странице вы найдете все о гиперболическом тангенсе: какова его формула, графическое изображение, все его характеристики…

Формула гиперболического тангенса

Функция гиперболического тангенса является одной из основных гиперболических функций и обозначается символом tanh(x) . Математически гиперболический тангенс равен гиперболическому синусу, разделенному на гиперболический косинус.

$\text{tanh}(x)=\cfrac{\text{senh}(x)}{\text{cosh}(x)}$

Из формулы гиперболического синуса и формулы гиперболического косинуса можно прийти к следующему выражению:

$\text{tanh}(x)=\cfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

Следовательно, функция гиперболического тангенса связана с показательной функцией. По следующей ссылке вы можете увидеть все характеристики этих типов функций:

➤ См.: характеристики показательных функций.

Графическое изображение гиперболического тангенса

Из его формулы мы можем графически представить функцию гиперболического тангенса:

Как видно из графика, функция гиперболического тангенса имеет две горизонтальные асимптоты при x=+1 и x=-1, поскольку предел функции при приближении x к плюс бесконечности дает x=+1, а предел к минус бесконечности. дает х=-1.

С другой стороны, график гиперболического тангенса не имеет ничего общего с графиком тангенса (тригонометрической функции), который является периодической функцией. Графическое представление тангенса и его отличие от гиперболического тангенса вы можете увидеть по следующей ссылке:

➤ См.: графическое представление функции тангенса.

Характеристики гиперболического тангенса

Функция гиперболического тангенса обладает следующими свойствами:

Областью определения функции гиперболического тангенса являются все действительные числа.

$\text{Dom } f = \mathbb{R}$

Напротив, путь или диапазон функции гиперболического тангенса ограничен значениями от -1 до +1 (не включительно).

$\text{Im } f= (-1,1)$

Гиперболический тангенс — непрерывная, биективная и нечетная функция (симметричная относительно начала координат).

$\displaystyle \text{tanh}(-x) =- \text{tanh}(x)$

Функция пересекает оси X и оси Y в начале координат.

$(0,0)$

Пределы плюс/минус бесконечности функции гиперболического тангенса дают +1/-1. Следовательно, функция имеет горизонтальную асимптоту при x=+1 и еще одну горизонтальную асимптоту при x=-1.

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\text{tanh}(x)=+1$

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\text{tanh}(x)=-1$

Гиперболический тангенс строго возрастает во всей своей области, поэтому он не имеет относительных экстремумов (ни максимума, ни минимума).

Однако в точке x = 0 функция меняется с выпуклой на вогнутую, поэтому x = 0 является точкой перегиба функции.

Обратная функция гиперболического тангенса называется аргументом гиперболического тангенса (или гиперболического арктангенса), и его формула выглядит следующим образом:

$\displaystyle\text{tanh}^{-1}(x)=\text{arg tanh}(x)=\cfrac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$

Производная функции гиперболического тангенса равна 1, деленной на квадрат гиперболического косинуса:

$f(x)=\text{tanh}(x) \ \longrightarrow \ f'(x)=\cfrac{1}{\text{cosh}^2(x)}=1-\text{tanh}^2(x)$

Интеграл от функции гиперболического тангенса представляет собой натуральный логарифм гиперболического косинуса:

$\displaystyle\int\text{tanh}(x) \ dx= \ln\Bigl(\text{cosh}(x)\Bigr)+C$

Гиперболический тангенс суммы двух разных чисел можно вычислить, применив следующее уравнение:

$\text{tanh}(x+y)=\cfrac{\text{tanh}(x)+\text{tanh}(y)}{1+\text{tanh}(x)\cdot \text{tanh}(y)}$

Полином Тейлора или гиперболический касательный ряд имеет радиус сходимости
$\left|x\right|<\cfrac{\pi}{2}$

и соответствует следующему выражению:

$\displaystyle\text{tanh}(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\cdots =\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}$

Золото

$B_n$

это число Бернулли .

Формула гиперболического тангенса

Графическое изображение гиперболического тангенса

Характеристики гиперболического тангенса

Оставьте комментарий Отменить ответ