Произведение суммы на разность (замечательное тождество)

На этой странице вы найдете формулу произведения суммы на разность. Кроме того, вы сможете увидеть примеры применения формулы этого замечательного типа идентичности и даже сможете попрактиковаться, выполняя упражнения, решаемые шаг за шагом.

Чему равно произведение суммы и разности?

В математике понятие произведения суммы на разность относится к одному из известных равенств , также называемых заметными тождествами или заметными произведениями.

Точнее, выражение произведения суммы на разность имеет вид (a+b)·(ab) , где (a+b) соответствует сумме двух разных слагаемых, а (ab) — разности из этих же двух терминов.

Формула произведения суммы на разность

Теперь, когда мы знаем математическое определение произведения суммы на разницу, давайте посмотрим, какая формула используется для решения этого замечательного типа тождества:

Следовательно, произведение суммы на разность двух слагаемых равно разности квадратов этих слагаемых . Другими словами, умножение суммы двух разных слагаемых на вычитание этих же двух слагаемых эквивалентно возведению каждого из двух слагаемых в квадрат и их вычитанию.

Это означает, что разности квадратов можно разложить на произведения сумм, умноженных на разности. Хотя сейчас это может показаться вам сложным, на связанной странице мы объясняем трюк, который позволяет вам факторизовать этот тип многочлена в два простых шага. Нажмите и узнайте, как это делается.

Примеры произведения сумм на разности

Как только мы узнаем, какова формула произведения суммы на разность, мы увидим несколько решенных примеров, чтобы вы могли лучше понять, как решается этот замечательный тип равенства.

Пример 1

Вычислите, применив формулу, следующее произведение суммы на разность двух разных слагаемых:

$(x+2)\cdot (x-2)$

Формула произведения суммы на разность выглядит следующим образом:

$(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

Итак, первое, что нам нужно сделать, это определить значения параметров.

$a$

$b$

формулы. В этом случае

$a$

соответствуют переменной

$x$

$b$

соответствуют номеру 2.

$\left. \begin{array}{l} (a+b)\cdot (a-b) \\[2ex] (x+2)\cdot (x-2) \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x \\[2ex] b=2 \end{array}$

И теперь, когда мы знаем, какие значения принимают параметры

$a$

$b,$

Можно применить формулу произведения суммы на разность:

Как видите, произведение суммы на разность всегда даст отрицательный член. Однако не следует путать это с удивительным тождеством квадрата вычитания. Если у вас есть какие-либо сомнения, рекомендуем вам взглянуть, какова формула квадрата разности , где вы также узнаете, в чем заключаются различия между этими двумя замечательными тождествами.

Пример 2

Найдите по формуле следующее произведение суммы на разность двух биномов:

$(3x+5)\cdot (3x-5)$

Формула произведения суммы на разность выглядит следующим образом:

$(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

Поэтому в этом случае

$a=3x$

$b=5$

. Итак, если мы применим формулу суммы по разности, мы получим следующее алгебраическое выражение:

$(3x+5)\cdot (3x-5) = (3x)^2-5^2 = 9x^2-25$

Пример 3

Решите по формуле следующее произведение суммы на разность двух мономов:

$(4x-2y)\cdot (4x+2y)$

Поскольку умножение обладает коммутативным свойством, умножение сначала разности, а затем суммы двух величин эквивалентно умножению тех же скобок в обратном порядке.

$(4x-2y)\cdot (4x+2y) = (4x+2y)\cdot (4x-2y)$

Поэтому, хотя в данном случае произведение переворачивается, то есть до сложения идет вычитание, результат остается таким же, как и формула:

$(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

$(a-b)\cdot (a+b) =a^2-b^2$

Итак, в этой задаче

$a=4x$

$b=2y$

. И когда мы определили значение каждого неизвестного, мы можем использовать формулу для расчета значимого продукта:

$(4x-2y)\cdot (4x+2y)= (4x)^2-(2y)^2 = 16x^2-4y^2$

Демонстрация суммы по разностной формуле

Формулу суммы на разность, которую мы только что изучили, можно легко продемонстрировать.

Если мы начнем с произведения суммы на вычитание любых двух членов:

$(a+b)\cdot (a-b)$

Просто умножьте первую скобку на вторую, используя распределительное свойство:

$\begin{array}{l}(a+b)\cdot (a-b)= \\[2ex] = a\cdot a +a\cdot (-b) +b \cdot a +b\cdot (-b) =\\[2ex] = a^2 -ab+ba-b^2\end{array}$

И, сгруппировав подобные термины вместе, мы приходим к следующему выражению:

$a^2 -ab+ba-b^2=a^2-b^2$

Таким образом, выводится формула заметного произведения суммы на разность:

$(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

Решенные упражнения на произведение суммы на разность

Ниже мы подготовили несколько пошаговых упражнений на сложение разностей, чтобы вы могли попрактиковаться. Упражнения расположены в порядке от наименее сложного к самому сложному, поэтому мы рекомендуем начать с 1, продолжить со 2 и, наконец, выполнить 3, которое является самым сложным.

⬇⬇Также не забывайте, что любые возникающие вопросы вы можете оставлять нам в комментариях!⬇⬇

Упражнение 1

Решите следующие произведения сумм на разности:

$\text{A)} \ (x+5)(x-5)$

$\text{B)} \ (2x+6)(2x-6)$

$\text{C)} \ (x+7)(x-7)$

$\text{D)} \ (x-4y)(x+4y)$

посмотреть решение

$\text{A)} \ \begin{array}{l}(x+5)(x-5) = \\[2ex] =x^2-5^2=\\[2ex] = \bm{x^2-25}\end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}(2x+6)(2x-6) = \\[2ex] =(2x)^2-6^2=\\[2ex] = \bm{4x^2-36}\end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}(x+7)(x-7) = \\[2ex] =x^2-7^2=\\[2ex] = \bm{x^2-49}\end{array}$

$\text{D)} \ \begin{array}{l}(x-4y)(x+4y) = \\[2ex] =(x+4y)(x-4y) =\\[2ex] =x^2-(4y)^2=\\[2ex] = \bm{x^2-16y^2}\end{array}$

Упражнение 2

Выразите следующие умножения как разности квадратов:

$\text{A)} \ \left(x^2+10\right)\left(x^2-10\right)$

$\text{B)} \ \left(4x-5\right)\left(4x+5\right)$

$\text{C)} \ \left(8x^3+y^2\right)\left(8x^3-y^2\right)$

$\text{D)} \ \left(2x^3y+x^4y^2\right)\left(2x^3y-x^4y^2\right)$

посмотреть решение

$\text{A)} \ \begin{array}{l}\left(x^2+10\right)\left(x^2-10\right) = \\[2ex] =\left(x^2\right)^2-10^2=\\[2ex] = \bm{x^4-100}\end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}\left(4x-5\right)\left(4x+5\right) = \\[2ex] =(4x)^2-5^2=\\[2ex] = \bm{16x^2-25}\end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}\left(8x^3+y^2\right)\left(8x^3-y^2\right) = \\[2ex] =\left(8x^3\right)^2-\left(y^2\right)^2=\\[2ex] = \bm{64x^6-y^4}\end{array}$

$\text{D)} \ \begin{array}{l}\left(2x^3y+x^4y^2\right)\left(2x^3y-x^4y^2\right) = \\[2ex] =\left(2x^3y\right)^2-\left(x^4y^2\right)^2 =\\[2ex] = \bm{4x^6y^2-x^8y^4}\end{array}$

Упражнение 3

Решите следующие известные личности:

$\text{A)} \ \left(9x^3+\sqrt{5x}\right)\left(9x^3-\sqrt{5x}\right)$

$\text{B)} \ \displaystyle \left(\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{3}x\right)\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{3}x\right)$

$\text{C)} \ \left(6x^4+x^2+1\right)\left(6x^4-x^2-1\right)$

посмотреть решение

Чтобы решить первое заметное равенство, нужно помнить, что квадратный корень упрощает:

$\text{A)} \ \begin{array}{l}\left(9x^3+\sqrt{5x}\right)\left(9x^3-\sqrt{5x}\right) = \\[2ex] =\left(9x^3\right)^2-\left(\sqrt{5x}\right)^2=\\[2ex] = \bm{81x^6-5x}\end{array}$

2 монома второй суммы по разности имеют дробные коэффициенты, поэтому решать это упражнение надо, используя свойства дробей:

$\text{B)} \ \begin{array}{l}\displaystyle \left(\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{3}x\right)\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{3}x\right) = \\[4ex] \displaystyle =\left(\frac{1}{2}x^2\right)^2-\left(\frac{5}{3}x\right)^2=\\[4ex] \displaystyle =\frac{1^2}{2^2}x^4-\frac{5^2}{3^2}x^2=\\[4ex]\displaystyle = \mathbf{\frac{1}{4}}\bm{x^4-}\mathbf{\frac{25}{9}}\bm{x^2} \end{array}$

Наконец, последнее примечательное равенство является немного особенным, поскольку внутри него содержится еще один примечательный продукт (квадрат суммы):

$\text{C)} \ \begin{array}{l}\left(6x^4+x^2+1\right)\left(6x^4-x^2-1\right) = \\[2ex] = \left(6x^4+\left(x^2+1\right)\right)\left(6x^4-\left(x^2+1\right)\right)=\\[2ex]=\left(6x^4\right)^2-\left(x^2+1\right)^2=\\[2ex] =36x^8 - \left(x^4+2x^2+1\right)=\\[2ex] = \bm{36x^8 - x^4-2x^2-1}\end{array}$

Чему равно произведение суммы и разности?

Формула произведения суммы на разность

Примеры произведения сумм на разности

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Демонстрация суммы по разностной формуле

Решенные упражнения на произведение суммы на разность

Упражнение 1

Упражнение 2

Упражнение 3

Оставьте комментарий Отменить ответ