Точка уравнения – наклон линии

На этой странице вы найдете формулу уравнения точки-наклона линии, а также различные способы ее расчета. Кроме того, вы сможете увидеть несколько примеров и попрактиковаться в упражнениях, решаемых шаг за шагом.

Формула уравнения точки-наклона линии

Уравнение наклона точки линии — это способ математического выражения линии. В частности, вам нужны только наклон и координаты точки на линии, чтобы найти уравнение наклона точки на линии.

Формула уравнения точки-наклона линии выглядит следующим образом:

$y-y_0=m(x-x_0)$

Золото

$m$

это наклон линии и

$x_0, y_0$

это координаты точки на прямой

$P(x_0,y_0).$

Давайте посмотрим , как рассчитывается уравнение точки-наклона линии на примере:

Напишите уравнение угла наклона прямой, проходящей через точку.
$P(2,-1)$

и уклон m=3.

Формула уравнения точки-наклона линии выглядит следующим образом:

$y-y_0=m(x-x_0)$

В этом случае утверждение сообщает нам, что наклон линии равен m=3, поэтому уравнение линии будет следующим:

$y-y_0=3(x-x_0)$

Кроме того, мы также знаем, что прямая проходит через точку

$P(2,-1)$

, поэтому мы должны подставить координаты этой точки в уравнение:

$P(2,-1)$

$y-y_0=3(x-x_0) \ \xrightarrow{x_0=2 \ ; \ y_0=-1} \ y-(-1)=3(x-2)$

Таким образом, уравнение наклона точки линии имеет вид:

$\bm{y+1=3(x-2)}$

Имейте в виду, что помимо уравнения точки-наклона, существуют и другие способы аналитического выражения линии: векторное уравнение, параметрические уравнения, непрерывное уравнение, неявное уравнение (или общее) и явное уравнение линии. Если вас больше интересует, вы можете проверить, что представляет собой каждый из них, на нашем сайте.

Что означает наклон линии?

Как мы видели в определении уравнения точки-наклона линии, параметр

$m$

это наклон линии. Но на самом деле… что означает наклон линии? Давайте посмотрим на это на графическом представлении линии:

Что такое уравнение наклона точки прямой?

Наклон линии указывает на ее крутизну. Как видно из линии графика,

$m$

равно 2, так как линия поднимается на 2 единицы по вертикали за 1 единицу по горизонтали.

Очевидно, что если наклон положителен, функция возрастает (уходит вверх), а если наклон отрицательный, функция убывает (уменьшается).

Как рассчитать наклон линии

Кроме того, существует три различных способа численного определения наклона линии:

Даны две разные точки на прямой
$P_1(x_1,y_1)$

И

$P_2(x_2,y_2),$

Наклон линии равен:

$m = \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Ага
$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2)$

– вектор направления линии, ее наклон:

$m = \cfrac{\text{v}_2}{\text{v}_1}$

Ага
$\alpha$

— угол, образованный линией с осью абсцисс (ось X), наклон линии эквивалентен тангенсу указанного угла:

$m = \text{tg}(\alpha )$

Относительное положение линий

Наконец, наклон линии также используется для определения взаимосвязи между несколькими линиями. Поскольку две параллельные линии имеют одинаковый наклон и, с другой стороны, если наклон одной линии является отрицательной величиной, обратной наклону другой линии, это означает, что эти две линии перпендикулярны .

параллельные прямые с одинаковым наклоном

Вычислите уравнение наклона точки линии, проходящей через две точки.

Очень распространенной проблемой является определение уравнения наклона точки по двум точкам, принадлежащим прямой. Давайте посмотрим, как она решается на примере:

Найдите уравнение наклона точки линии, проходящей через следующие две точки:

$P_1(5,2) \qquad P_2(3,6)$

Чтобы найти уравнение наклона точки линии, нам нужно определить, каков наклон линии. Итак, мы вычисляем наклон линии, используя формулу двоеточия:

$m =\cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \cfrac{6-2}{3-5} = \cfrac{4}{-2}= -2$

Таким образом, уравнение наклона точки линии будет следующим:

$y-y_0=m(x-x_0)$

$y-y_0=-2(x-x_0)$

Поэтому нам нужно лишь подставить в уравнение декартовы координаты точки на прямой:

$P_1(5,2)$

$y-y_0=-2(x-x_0) \ \xrightarrow{x_0=5 \ ; \ y_0=2} \ y-2=-2(x-5)$

$\bm{y-2=-2(x-5)}$

Также хорошо, если мы поместим другую точку утверждения в уравнение линии:

$P_1(3,6)$

$y-6=-2(x-3)$

Найдите уравнение наклона точки линии по графику

Как мы видели в разделах выше, существует несколько способов численного нахождения уравнения наклона точки линии. Однако его можно найти и графически. Давайте посмотрим, как это делается, на примере:

Определите уравнение наклона точки для линии, показанной на следующем графике:

Чтобы определить уравнение наклона точки для нарисованной линии, нам необходимо найти ее наклон и точку на линии.

В данном случае наклон линии равен 3, поскольку линия поднимается на 3 вертикальные единицы на каждую горизонтальную единицу.

$m = 3$

Далее нам нужна точка на линии. Для этого мы можем выбрать любую точку на графике, через которую проходит линия, например точку (1,1).

$P(1,1)$

Следовательно, теперь мы можем найти уравнение наклона точки линии, применив его формулу:

$y-y_0=m(x-x_0)$

$y-1=3(x-1)$

графически определить наклон точки уравнения прямой

Решенные задачи уравнения точки-наклона

Упражнение 1

Напишите уравнение угла наклона прямой, проходящей через точку.

$P(1,4)$

и его наклон

$m=-2.$

посмотреть решение

Формула уравнения точки-наклона линии:

$y-y_0=m(x-x_0)$

В этом случае утверждение сообщает нам, что наклон линии равен m=-2, поэтому уравнение линии будет следующим:

$y-y_0=-2(x-x_0)$

Кроме того, из утверждения мы также знаем, что прямая проходит через точку

$P(1,4)$

, поэтому достаточно подставить координаты точки в уравнение прямой:

$P(1,4)$

$\bm{y-4=-2(x-1)}$

Упражнение 2

Каково уравнение угла наклона линии, проходящей через следующие две точки?

$P_1(1,6) \qquad P_2(4,0)$

посмотреть решение

Чтобы найти уравнение наклона точки линии, нам нужно определить, каков наклон линии. Поэтому мы рассчитываем наклон линии по ее формуле:

$m =\cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \cfrac{0-6}{4-1} = \cfrac{-6}{3}= -2$

Таким образом, уравнение наклона точки линии будет следующим:

$y-y_0=m(x-x_0)$

$y-y_0=-2(x-x_0)$

Поэтому нам нужно лишь подставить в уравнение координаты точки на прямой:

$P_1(1,6)$

$\bm{y-6=-2(x-1)}$

Было бы также правильно включить в уравнение и другую точку утверждения:

$y=-2(x-4)$

Упражнение 3

Найдите уравнение наклона точки линии, проходящей через следующие две точки:

$P_1(1,-2) \qquad P_2(2,3)$

посмотреть решение

Чтобы найти уравнение наклона точки линии, необходимо сначала вычислить ее наклон:

$m =\cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \cfrac{3-(-2)}{2-1} = \cfrac{3+2}{1}=\cfrac{5}{1}= 5$

Таким образом, уравнение наклона точки линии будет следующим:

$y-y_0=m(x-x_0)$

$y-y_0=5(x-x_0)$

Поэтому нам нужно лишь подставить в уравнение координаты точки на прямой:

$P_1(1,-2)$

$y-(-2)=5(x-1)$

$\bm{y+2=5(x-1)}$

Также правильно поставить другую точку в утверждении в уравнение прямой:

$y-3=5(x-2)$

Упражнение 4

Рассчитайте уравнение наклона точки для линии, которая образует угол 45° с осью X и проходит через начало координат.

посмотреть решение

Если линия составляет угол 45 градусов с осью OX, ее наклон составит:

$m = \text{tg}(45º) = 1$

$y-y_0=1(x-x_0)$

$y-y_0=x-x_0$

И как только мы узнаем наклон линии, мы сможем найти уравнение наклона точки, подставив в уравнение точку на линии. Кроме того, оператор сообщает нам, что линия проходит через начало координат, а это значит, что она проходит через точку (0,0). Еще:

$P(0,0)$