Тригонометрические тождества — это равенства между различными тригонометрическими функциями. Благодаря этим тригонометрическим эквивалентностям мы можем вывести определенное тригонометрическое соотношение на основе любого другого. Поэтому необходимо знать формулы этих отношений, чтобы понимать формулы тригонометрических тождеств. Если вы их не знаете в своем случае, рекомендуем посетить последнюю ссылку.
Таблица тригонометрических тождеств
Основные тригонометрические тождества
Существует ряд основных тригонометрических тождеств, которые считаются наиболее важными, поскольку они обеспечивают теоретическую основу для остальных. Их наиболее часто можно найти и, вероятно, легче всего запомнить, поскольку они интуитивно понятны. Помните, что все формулы будут основаны на следующем изображении:
Фундаментальное тригонометрическое тождество
Первое тождество из всех — это то, что известно как фундаментальное тригонометрическое тождество , также известное как соотношение между синусом и косинусом. Ниже приводится его математическое доказательство: sin² (α) + cos² (α) = 1.
На последнем этапе мы в основном применяем теорему Пифагора, поскольку c² = a² + b², тогда у нас остается c² / c², которое равно 1. В заключение мы можем заявить, что: sin² (α) + cos² (α) = 1.
Связь между секущей и касательной (секущая в квадрате)
Во-вторых, мы имеем тригонометрическое тождество, связывающее секущую с тангенсом, его выражение таково: sec² (α) = 1 + tan² (α) . На следующем изображении вы можете увидеть некоторые формулы напоминания, составляющие это тождество, а также процедуру, которой необходимо следовать, чтобы получить окончательную формулу:
В этом случае мы используем формулы тригонометрических отношений, чтобы найти другие отношения. В заключение можно сказать, что: sec²(α) = 1 + tan²(α).
Связь между косекансом и котангенсом (косеканс в квадрате)
Из определения косеканса и котангенса мы можем найти связь в формуле тангенса, именно благодаря этому мы можем вывести еще одно тригонометрическое тождество: cosec²(α) = 1 + cotg²(α) .
С помощью этой демонстрации мы можем убедиться, что: cosec² (α) = 1 + cotg² (α). Кроме того, мы видим, что это соотношение имеет некоторое сходство с предыдущим, что обусловлено сходством тангенса и котангенса.
Тригонометрические соотношения угла суммы и угла вычитания
Коэффициенты суммы углов или коэффициенты вычитания углов — это разновидность тождеств, получаемых путем вычисления тригонометрических отношений сложения или вычитания двух углов. Например, если мы хотим вычислить синус 90 + 60, существует ряд формул, которые упрощают этот расчет. Ниже приведен список всех формул тригонометрических тождеств этого стиля:
Синус суммы углов: sin (α + β ) = sin (α) cos ( β ) + cos ( α ) sin ( β )
Синус вычитания угла: sin (α – β ) = sin (α) cos ( β ) – cos ( α ) sin ( β )
Косинус суммы углов: соз (α + β ) = соз (α) соз ( β ) – грех ( α ) грех ( β )
Вычитание углового косинуса: cos (α – β ) = cos (α) cos ( β ) + sin ( α ) sin ( β )
Тангенс суммы углов: tan (α + β ) = (tan (α) + tan ( β )) ÷ (1 – tan (α) tan ( β ))
Вычитание углового тангенса: tan(α – β ) = (tan(α) + tan( β )) ÷ (1 + tan(α)tan( β ))
Очевидно, что вычислить синус 150° проще, чем использовать формулы, которые мы только что объяснили, для расчета синуса (90° + 60°). Так почему же эти формулы важны? Что ж, ответ в том, что эти тождества позволяют нам вычислять тригонометрические отношения сложных углов из более простых углов. Следовательно, если мы запомним отношения примечательных (наиболее важных) углов, нам не нужно будет использовать калькулятор для расчета отношений более сложных углов, таких как 150°.
Тригонометрические соотношения двойных углов
Когда мы хотим вычислить тригонометрические отношения двойного угла (2α) , мы можем сделать это с помощью ряда тождеств. Точнее, мы можем сделать это с помощью формул, очень похожих на те, которые мы только что обсуждали в предыдущем разделе. Поскольку, если мы заменим β на α, в предыдущих выражениях у нас останется (α + α), что эквивалентно (2α). Учитывая это, мы можем вывести следующие тождества:
Вы можете увидеть демо ниже:
Синус двойного угла: sin(2α) = sin(α) cos(α) + cos(α) sin(α) = 2 sin(α) cos (α)
Косинус двойного угла: cos (α + α ) = cos (α) cos ( α ) – sin ( α ) sin ( α ) = cos² (α) – sin² (α)
Двойной касательный угол: tan (2α) = 2 tan (α) ÷ (1 – tan² (α))
Тригонометрические отношения половин угла
Также существуют тождества, позволяющие вычислить тригонометрические отношения половинного угла (α/2) :
Среди следующих уже известных формул:
1 = грех²( β ) + cos²( β )
cos( 2β ) = cos²( β ) – sin²( β )
Если мы сделаем β = α/2, то мы сможем доказать эти тождества, вычитая два выражения в случае синуса, складывая их в случае косинуса и разделяя две полученные формулы (синуса и косинуса) в случае касательной. Однако осталось выделить то соотношение , которое мы хотим посчитать, в формулах, которые мы получим ниже:
Угол полусинуса: 1 – cos (α) = 2 sin² (α/2); sin² (α/2) = (1 – cos (α)) ÷ 2
Полууголовой косинус: 1 + cos (α) = 2 cos² (α/2); cos² (α/2) = (1 + cos (α)) ÷ 2
Тригонометрические соотношения тройного угла
В случае тройного угла (3α) мы также можем использовать определенные тождества для расчета их тригонометрических отношений. Эти тождества происходят из следующих уже объясненных формул: тождества двойного угла, тождества суммы углов и фундаментального тождества тригонометрии.
Для доказательства этих тождеств необходимо воспользоваться формулами суммы углов:
Синус суммы углов: sin(3α) = sin(α+2α) = sin(α) cos (2α) + sin(2α) cos (α)
Косинус суммы углов: cos (3α) = cos (α + 2α) = cos (α) cos (2α) – sin (α) sin (2α)
Итак, если мы применим формулы двойного угла в выражениях, о которых мы только что говорили, и применим фундаментальное тождество тригонометрии, мы сможем доказать тождества. Стоит отметить, что использование фундаментального тригонометрического тождества позволяет преобразовать все соотношения в выражении в одно. Вот почему формула синуса тройного угла состоит только из синусов, а формула косинуса — только из косинусов. Ниже вы можете увидеть полную процедуру:
Синус тройного угла: грех (3α) = грех (α + 2α) = грех (α) cos (2α) + грех (2α) cos (α) =
= грех (α) (cos² (α) – sin² (α)) + 2 грех (α) cos (α) cos (α) =
= грех (α) cos² (α) – грех³ (α) + 2 грех (α) cos² (α) =
= грех (α) · (1 – грех² (α)) – грех³ (α) + 2 грех (α) · (1 – грех² (α)) =
= грех (α) – грех³ (α) – грех³ (α) + 2 грех (α) – 2 грех³ (α) =
= 3 греха (α) – 4 греха³ (α)
Косинус тройного угла: cos (3α) = cos (α + 2α) = cos (α) cos (2α) – sin (α) sin (2α) =
= cos (α) (cos² (α) – sin² (α)) – sin (α) 2 sin (α) cos (α) =
= cos³ (α) – cos (α) sin² (α) – 2 cos (α) sin² (α) =
= cos³ (α) – 3 cos (α) sin² (α) =
= cos³ (α) – 3 cos (α) · (1 – cos² (α)) =
= cos³ (α) – 3 cos (α) + 3 cos³ (α) =
= 4 соз³ (α) – 3 соз (α)
Наконец, тангенс тройного угла можно вычислить двумя способами: первым путем деления формулы синуса на формулу косинуса и вторым путем подстановки выражения для тангенса двойного угла в следующую формулу для тангенса тангенса суммарный угол: tan (α + 2α) = (tan (α) + tan (2α)) ÷ (1 – tan (α) tan (2α)).
Тригонометрические тождества по типу угла
Важно прокомментировать ряд формул, которые в некотором смысле являются правилами, позволяющими прямо и быстро вычислять тригонометрические отношения. Фактически их также можно считать тригонометрическими тождествами, поскольку они обладают теми же характеристиками, что и все выражения, о которых мы только что говорили. Точнее, эти формулы позволяют определить тригонометрические отношения угла по отношению, которое он имеет с другим углом.
дополнительные углы
Дополнительные углы (α и β ) — это те, сумма которых равна 90°, поэтому, сложив их, мы получим прямой угол. Чтобы определить, что α является дополнительным углом к β , мы должны решить очень простое уравнение: α = 90 – β , если результат этой эквивалентности согласуется, то мы можем утверждать, что они дополняют друг друга. Благодаря этим тождествам мы можем вывести тригонометрические отношения одного угла из отношений другого.
Синус дополнительного угла: sin (90° – α) = cos (α)
Косинус дополнительного угла: cos (90° – α) = sin (α)
Тангенс дополнительного угла: tan (90º – α) = котан (α)
Косеканс дополнительного угла: cosec (90° – α) = sec (α)
Секанс дополнительного угла: сек (90° – α) = cosec (α)
Котангенс дополнительного угла: котан (90° – α) = tan (α)
дополнительные углы
Дополнительные углы (α и β ) — это те, сумма которых равна 180° или π радиан, поэтому мы можем вывести формулу α + β = 180°. Или, другими словами, если дополнительный угол α равен β , то должно выполняться следующее выражение β = 180 – α . Затем вы можете увидеть список личностей, которые мы можем вывести с этих точек зрения:
Синус дополнительного угла: sin (180° – α) = sin (α)
Косинус дополнительного угла: cos (180° – α) = -cos (α)
Тангенс дополнительного угла: tan (180° – α) = -tan (α)
Косеканс дополнительного угла: cosec (180° – α) = cosec (α)
Секанс дополнительного угла: сек (180° – α) = -сек (α)
Котангенс дополнительного угла: котан (180° – α) = -котан (α)
сопряженные углы
Сопряженные углы (α и β ) — это те, сумма которых равна 360° или 2π радиан, поэтому мы можем вывести формулу α + β = 360°. И из этой первой формулы мы можем выразить один из углов через другой следующим образом: α = 360° – β или β = 360° – α. Теперь мы покажем вам равенства сопряженных углов:
Синус сопряженного угла: sin (360º – α) = – sin (α)
Косинус сопряженного угла: cos (360° – α) = cos (α)
Тангенс сопряженного угла: tan (360º – α) = – tan (α)
Косеканс сопряженного угла: косек (360° – α) = – косек (α)
Секанс сопряженного угла: сек (360° – α) = сек (α)
Котангенс сопряженного угла: котан (360º – α) = – котан (α)
противоположные углы
Противоположные углы или отрицательные углы (α и β ) — это те, которые имеют одинаковое числовое значение, но разные знаки, примером угла такого типа являются 30° и -30°. Следует помнить, что отрицательный знак указывает на вращение по часовой стрелке, а положительный угол – против часовой стрелки.
Синус противоположного угла: sin(-α) = – sin(α)
Косинус противоположного угла: cos (-α) = cos (α)
Тангенс противоположного угла: tan (-α) = – tan (α)
Косеканс противоположного угла: cosec (-α) = – cosec (α)
Секанс противоположного угла: сек (-α) = сек (α)
Котангенс противоположного угла: котан (-α) = – котан (α)
Углы, отличные от 90°, или углы плюс/минус π/2.
Углы, которые отличаются на 90° , или углы плюс/минус π/2 (α и β ) — это углы, разница которых составляет 90°. Следовательно, их можно выразить как β – α = 90°, где β на 90° больше, чем α . Для этих углов также есть ряд формул, связывающих тригонометрические отношения двух углов.
Синус угла, отличного от 90°: sin (90° + α) = cos (α)
Косинус угла, отличного от 90°: cos (90° + α) = -sin (α)
Тангенс угла, отличного от 90°: tan (90° + α) = – котан (α)
Косеканс угла, отличного от 90°: косек (90° + α) = сек (α)
Секанс угла, отличного от 90°: сек (90° + α) = -cosec (α)
Котангенс угла, отличного от 90°: котан (90° + α) = -котан (α)
Углы, отличные от 180°, или углы плюс/минус π
Углы плюс/минус π (α и β ) эквивалентны углам, отличающимся на 180°. Поэтому их можно выразить по следующей формуле: β – α = 180°, где β 180° больше, чем α . Далее мы покажем вам тригонометрические тождества, связывающие тригонометрические отношения этих углов:
Синус угла, отличного от 180°: sin (180° + α ) = -sin ( α )
Косинус угла, отличного от 180°: cos (180° + α ) = -cos ( α )
Тангенс угла, отличного от 180°: tan (180° + α ) = tan ( α )
Косеканс угла, отличного от 180°: cosec (180° + α ) = -cosec ( α )
Секанс угла, отличного от 180°: сек (180° + α ) = -сек ( α )
Котангенс угла, отличного от 180°: котан (180° + α ) = котан ( α )
Преобразования тригонометрических отношений
Наконец, существуют тригонометрические тождества, позволяющие выразить определенное тригонометрическое отношение посредством других операций . Итак, если у нас есть сумма отношений и мы хотим выразить ее как произведение, мы можем прибегнуть к этим формулам. Хотя, к сожалению, не существует выражения для каждой арифметической операции, перейти можно только от сложения или вычитания к произведению и наоборот .
Преобразовать сложение или вычитание в произведение
Следующие четыре формулы помогут нам рассчитать сложение и вычитание тригонометрических функций:
Преобразуйте произведение в сложение или вычитание.
Следующие четыре формулы помогают нам вычислить произведения тригонометрических функций:
