Тригонометрические отношения угла — это отношения, полученные из трех сторон прямоугольного треугольника. Другими словами, это значения, которые получаются в результате сравнения трех его сторон с помощью частных (делений). Хотя следует отметить, что эти причины существуют только в прямоугольных треугольниках (треугольниках, имеющих угол 90°).
Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике
Шесть наиболее важных тригонометрических отношений: синус, косинус, тангенс, косеканс, секанс и котангенс. Далее мы подробно объясним, как определяется каждая из этих причин, и поговорим о формуле, которая их характеризует. Чтобы понять следующие объяснения, мы примем во внимание следующий прямоугольный треугольник:
Грудь
Синус угла (sin или sin) равен частному противоположного катета (a) между гипотенузой (c), следовательно, формула синуса имеет вид: sin(α) = a/c . Очень важно знать это определение синуса, потому что оно является основой всей тригонометрии, наряду с другими причинами, которые мы рассмотрим в этом разделе.
Трэв Именно из теоремы синусов мы можем вычислить любую сторону треугольника , мы можем сделать это, соединив частное определенного угла между его соответствующей стороной. Например, если мы хотим вычислить сторону А и у нас есть значения сторон по углам А и В, мы можем сделать это по формуле: a/sin(A) = b/sin(B) . Решая это простое уравнение, мы получаем значение, соответствующее переменной, которую мы хотим вычислить.
Косинус
Косинус угла (cos) равен частному прилежащего катета (b) между гипотенузой (c), следовательно, формула косинуса: cos (α) = b/c . В этом случае формула состоит из двух сторон треугольника, которые соприкасаются с углом, который мы хотим изучить, в данном примере это угол A или α.
С помощью косинуса у нас также есть способ вычислить стороны треугольника , который основан на теореме косинусов. Это позволяет нам соединить стороны с углами и дает нам следующие три выражения:
a² = b² + c² – 2bc cos (A)
b² = a² + c² – 2ac cos (B)
c² = a² + b² – 2ab cos (C)
Касательная
Третья по значимости причина, которой мы закроем множество первопричин, — это касательная (tan или tg). Это рассчитывается путем деления противоположного катета (a) и соседнего катета (b), поэтому формула тангенса имеет вид: tan (α) = a/b . Вы можете увидеть это графически ниже:
Касательная также имеет свою собственную теорему, называемую теоремой о касательной. Это позволяет связать длины двух сторон треугольника с касательными углов . Утверждение таково: «частное суммы двух сторон между их вычитанием равно частному между тангенсом среднего значения двух углов, противоположных этим сторонам, и тангенсом половины разности этих сторон».
Производные тригонометрические отношения
Из трех тригонометрических отношений, которые мы только что обсудили, мы можем получить другие производные тригонометрические отношения. Они получаются путем взятия обратного отношения по отношению к синусу, косинусу и тангенсу.
- Косеканс: является обратным отношением синуса и рассчитывается по формулам: cosec (α) = c/a и cosec (α) = 1/sin (α).
- Секанс: является обратным отношением косинуса и рассчитывается по формулам: sec(α) = c/b и sec(α) = 1/cos(α).
- Котангенс: является обратным отношением тангенса и рассчитывается по формулам: cotg (α) = b/a и cotg (α) = 1/tan (α).
Таблица тригонометрических отношений
Ниже вы можете увидеть таблицу, в которой суммированы все причины, объясненные до сих пор. С помощью этой таблицы вы сможете эффективно запомнить все формулы, поскольку она позволяет легко различать различия между каждым математическим выражением.
Тригонометрические соотношения в круге
Другой способ изучения тригонометрии — через гониометрическую окружность или единичный круг , радиус этой окружности равен 1, а ее начало — точка (0, 0). Рисунок состоит из круга и прямоугольного треугольника, изображенных внутри круга, точнее, угол, который мы собираемся изучать, должен касаться исходной точки.
Когда у нас есть это изображение, мы знаем, что радиус равен гипотенузе, которая равна 1. Поэтому, если мы хотим вычислить синус и косинус, мы будем использовать значение радиуса и значение других сторон треугольник. Чтобы вычислить синус, мы проделаем следующий расчет: sin (A) = CD/AC = CD/radius = CD/1 = CD , поэтому синус A равен a. С другой стороны, чтобы вычислить косинус, мы проведем расчет: cos (A) = AD/AC = AD/radius = AD/1 = AD , следовательно, косинус A равен c1.
Очень важно помнить о двух вещах. Во-первых, использование этого круга при изучении тригонометрических отношений обусловлено необходимостью иметь дело с углами, большими , чем те, которые можно изучать с помощью треугольника. Например, угол 150° невозможно изучить через простой треугольник, потому что он слишком велик. И второе, что нужно иметь в виду, это то, что синус и косинус никогда не могут принимать значения больше 1 и меньше -1.
Знак тригонометрических отношений
Как мы уже говорили ранее, чтобы иметь дело с углами, большими, чем позволяет нам иметь дело треугольник, мы используем гониометрическую окружность. Для этого мы изображаем треугольник внутри круга точно в одном из четырех квадрантов , разделяющих окружность. На следующем изображении вы можете увидеть представленные четыре квадранта.
Итак, чтобы отличить угол 30 от угла 210, которые становятся одинаковыми относительно распределения внутри треугольника , мы будем использовать распределение знаков по квадранту, в котором находится треугольник. Ниже вы можете увидеть знаки, соответствующие каждому квадранту, и нарисованный пример.
Например, углы 30° и 210° имеют одно и то же числовое значение , но их синус и косинус имеют противоположные знаки. Итак: sin(30) = 1/2 и cos(30) = √3/2, тогда как sin(210) = -1/2 и cos(210) = -√3/2. Чтобы добиться этого результата, мы изображаем два угла на окружности (изображение ниже) и следуем указаниям знаков.
Наконец, как возможно иметь углы больше 360° , хотя может показаться, что это не так, потому что длина окружности всего 360°. Но если мы хотим найти угол 750°, мы можем уменьшить его до угла от 0° до 360°. Просто делим 750 на 360 и остаток — оставшийся угол, в случае 750° получаем угол 30°.
Виды углов в зависимости от квадранта
Между разными углами существуют соотношения, которые позволяют рассчитать соотношения тригонометрические значения всех углов, принадлежащих окружности. Давайте узнаем эти причины редукции в первый квадрант . Это означает, что мы делаем упрощение от определенного угла до первого квадранта и затем применяем соответствующие знаки. Ниже вы найдете объяснение различных процедур (в зависимости от квадранта):
первый квадрант
В этом первом квадранте (0° – 90°) нам нужно только решить тригонометрическое соотношение с данным нам углом. И если мы посмотрим на картинку, которую мы объяснили ранее о символах, синус и косинус будут иметь положительный знак перед ними (на полученный результат не повлияет знак).
Сокращение из второго квадранта в первый
Во втором квадранте (90° – 180°) мы имеем дело с дополнительными углами, то есть сумма двух углов составляет 180°. Следовательно, нам нужно сделать приведение из второго квадранта к первому и мы делаем это по формуле 180 – α = β , где α – угол первого квадранта, а β – исходный угол.
Например, если нам дан угол 135° (который принадлежит второму квадранту), нам нужно найти угол из первого квадранта, который связан с этим первым. В этом примере искомый угол (α) равен 45°, поскольку 180 – 45 = 135. Итак, это будет верно: sin (135) = sin (180 – 45) = sin (45), cos (135) ) = cos (180 – 45) = -cos (45) и tan (135) = tan (180 – 45) = -tan (45).
Редукция третьего квадранта в первый
В третьем квадранте (180° – 270°) мы имеем дело с углами, отличающимися на 80°, то есть углы отстоят друг от друга на 180°. Итак, если мы хотим уменьшить третий квадрант до первого, нам нужно использовать формулу 180 + α = β , где α — угол первого квадранта, а β — исходный угол.
Например, если нам дан угол 225° (который принадлежит третьему квадранту), нам нужно найти соответствующий ему угол первого квадранта. В случае 225° искомый угол (α) снова равен 45°, поскольку 180+45=225. Итак, sin(225) = sin(180+45) = -sin(45), cos(225) = cos (180 + 45) = -cos (45) и tan (225) = tan (180 + 45) = tan (45) будут удовлетворены. ).
Редукция четвертого квадранта в первый
В четвёртом квадранте (270° – 360°) мы имеем дело с противоположными углами, что означает, что углы численно равны, но противоположных знаков , например 30° и -30° (эквивалентно 330°, поскольку 360° – 30° = 330°) . Важно помнить, что противоположные углы могут быть записаны как положительный угол и отрицательный угол или как два положительных угла (в примере, который мы только что обсудили, мы объяснили разницу).
Итак, если мы хотим выполнить приведение из четвертого квадранта к первому, нам нужно использовать формулу 360 – α = β , где α – угол первого квадранта, а β – исходный угол.
Например, если нам дан угол 315° (который принадлежит четвертому квадранту), нам нужно найти угол первого квадранта, который связан с этим первым. В случае искомого нами угла (α) он по-прежнему равен 45°, поскольку 360 – 45 = 315. Итак, sin (315) = sin (360 – 45) = -sin (45), cos ( 315 ) = cos (360 – 45) = cos (45) и tan (315) = tan (360 – 45) = -tan (45). В заключение мы увидели углы, полученные из 45° всех квадрантов.
Тригонометрические соотношения важнейших углов
Существует ряд углов, называемых заметными углами , которые наиболее распространены в тригонометрии. Настоятельно рекомендуется знать наизусть тригонометрические соотношения. Поэтому ниже мы создали таблицу, содержащую тригонометрические отношения этих углов и их производных (те же углы, но с разницей в 90, 180 или 270 градусов):
| Угол (°) | Угол (рад) | Грудь | Косинус | Касательная |
| 0° | 0 рад | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/6 πрад | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45° | 1/4 πрад | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | 1/3 πрад | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | 1/2πрад | 1 | 0 | ∞ |
| 120° | 5/8πрад | √3/2 | -1/2 | -√3 |
| 135° | 3/4 πрад | √2/2 | -√2/2 | -1 |
| 150° | 5/8πрад | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 |
| 180° | πрад | 0 | -1 | 0 |
| 225° | 5/4 πрад | -√2/2 | -√2/2 | 1 |
| 270° | 3/2πрад | -1 | 0 | ∞ |
| 315° | 7/4 πрад | -√2/2 | √2/2 | -1 |
Связь между тригонометрическими отношениями
Есть несколько способов связать различные тригонометрические отношения. Из этих соотношений мы получаем своего рода равенства между различными тригонометрическими функциями, которые мы называем тригонометрическими тождествами. Благодаря этому типу тождеств мы можем рассчитать соотношение на основе любого другого. Следует отметить, что существует множество различных типов тригонометрических тождеств, которые классифицируются на основе типа отношений, поддерживающих само выражение.
Решаемые задачи о тригонометрических соотношениях
Далее мы предлагаем вам серию упражнений, с помощью которых вы сможете применить на практике всю теорию, изложенную в этой статье. Помните, что если в какой-то момент вы застряли или у вас возникнут вопросы, вы можете перечитать статью и наверняка, прочитав повторно , вы все поймете гораздо лучше. Тем не менее, вы можете начать практиковать:
Упражнение 1
Вычислите шесть тригонометрических отношений угла 225°:
Начнем с расчета угла (α), который равен: 180 + α = 225º, следовательно α = 45º.
грех(225) = грех(180 + 45) = -sin(45) = -√2/2
cos(225) = cos(180 + 45) = -cos(45) = -√2/2
загар(225) = загар(180 + 45) = загар(45) = 1
Упражнение 2
Вычислите шесть тригонометрических отношений угла 120°:
Начнем с расчета угла (α), который равен: 180 – α = 120º, следовательно α = 60º.
грех(120) = грех(180 – 60) = грех(60) = √3/2
cos(120) = cos(180 – 60) = -cos(60) = -1/2
загар(120) = загар(180 – 60) = -загар(60) = -√3
Упражнение 3
Вычислите шесть тригонометрических отношений угла 510°:
Перед началом необходимо сделать уменьшение угла: 510/360 = 1 оборот и оставшийся угол 150. Далее вычисляем угол (α), который равен: 180 – α = 150, следовательно α = 30º.
грех(150) = грех(180 – 30) = грех(30) = 1/2
cos(150) = cos(180 – 30) = -cos(30) = -√3/2
загар(150) = загар(180 – 30) = -загар(30) = -√3/3