Определение матрицы и типы матриц

В этой статье мы объясним, что такое матрицы и как определяется размерность матрицы. Кроме того, вы увидите образцы матриц. И, наконец, вы узнаете, какие типы матриц являются наиболее важными.

Что такое матрица?

матрица команд

$m \times n$

представляет собой набор чисел, расположенных в

$m$

ряды и

$n$

Столбцы:

$\displaystyle A =\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\[1.1ex] a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\[1.1ex] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[1.1ex] a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)$

примеры матриц

Вот несколько примеров различных матриц:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 8 & 7 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 9 & 2 \\[1.1ex] 5 & 6 \end{pmatrix} \qquad C = \begin{pmatrix} 5 & 2 & -3 \\[1.1ex] 2 & 1 & 8 \end{pmatrix}$

Размеры стола

Размерность массива

$\bm{m \times n}$

. Золото

$m$

соответствует количеству строк матрицы, а

$n$

по количеству столбцов.

Примеры:

матрица размерностей

$2 \times 3:$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\[1.1ex] -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

матрица размерностей

$2 \times 1 :$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 5 \\[1.1ex] 2 \end{pmatrix}$

Виды матриц

Ниже мы объясним характеристики наиболее важных типов матриц.

матрица строк

Именно эта матрица имеет всего одну строку:

$\displaystyle\begin{pmatrix} 3 & 6 & -2 \end{pmatrix}$

матрица столбцов

Именно эта матрица имеет только один столбец:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 \\[1.1ex] 4 \end{pmatrix}$

транспонированная матрица

Матрица транспонирования или транспонирования — это матрица, полученная путем замены строк на столбцы . И это представлено буквой «t» в правом верхнем углу матрицы.

$\left(A^t \right) .$

Примеры:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] -1 & 5 \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ A^t= \begin{pmatrix} 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5 \end{pmatrix}$

$\displaystyle B= \begin{pmatrix} 1 & 5 & 4 \\[1.1ex] 3 & 0 & 2 \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ B^t= \begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 5 & 0 \\[1.1ex] 4 & 2 \end{pmatrix}$

Квадратная матрица

Квадратная матрица – это матрица, имеющая такое же количество строк, что и столбцов.

$(m=n ) .$

Например, квадратная матрица третьего порядка будет такой:

$\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} 1 & 6 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0 \\[1.1ex] 5 & -1 & 2 \end{array} \right)$

Главная диагональ квадратной матрицы состоит из элементов, идущих из левого верхнего угла в правый нижний угол:

Вторичная диагональ квадратной матрицы соответствует элементам, идущим из левого нижнего угла в правый верхний угол:

Мы рекомендуем вам ознакомиться со всеми свойствами квадратных матриц , поскольку они, вероятно, являются наиболее используемым типом матриц и, следовательно, очень важны для линейной алгебры.

треугольная матрица

Треугольная матрица — это матрица, в которой все элементы выше или ниже главной диагонали равны 0.

Треугольные матрицы делятся на два типа: верхние треугольные матрицы , элементы которых ниже главной диагонали равны нулю, и нижние треугольные матрицы , элементы которых выше главной диагонали равны нулю. Чтобы полностью понять различия между ними, вы можете ознакомиться с другими примерами треугольных матриц .

Верхняя треугольная матрица:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 1 & 7 \\[1.1ex] 0 & 2 & 5 \\[1.1ex] 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

Нижняя треугольная матрица:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 2 & 3 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$

диагональная матрица

Диагональная матрица — это квадратная матрица, в которой все элементы, не находящиеся на главной диагонали, являются нулями. Свойства и другие примеры диагональных матриц вы можете посмотреть по этой ссылке.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}$

Хотя эти матрицы кажутся очень простыми, поскольку содержат много нулей, на самом деле они очень важны для математики. На самом деле существует целая процедура диагонализации матрицы, поэтому диагонализуемые матрицы имеют большое значение.

скалярная матрица

Скалярная матрица – это диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны. Если хотите, вы можете увидеть другие примеры скалярных матриц здесь.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 4 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$

Матрица идентичности или единица измерения

Единичная матрица — это диагональная матрица, в которой все элементы главной диагонали равны 1.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Как и любая диагональная матрица, она выглядит как матрица очень простого типа. Но пусть вас не вводит в заблуждение ее внешний вид: это широко используемая матрица благодаря своим свойствам, например, она используется для инвертирования матрицы. Мы рекомендуем вам просмотреть свойства единичной матрицы , чтобы понять ее полезность.

нулевая матрица

Нулевая матрица – это матрица, в которой все ее элементы равны 0:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Как видите, эта матрица совсем не сложная. Но даже если это может показаться не так, у этого есть свое применение. Вы можете увидеть их применение на странице свойств нулевой матрицы .

симметричная матрица

Симметричная матрица — это матрица, главная диагональ которой является осью симметрии.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5 & 9 \\[1.1ex] -1 & 9 & 1 \end{pmatrix}$

Благодаря свойствам симметричных матриц результатом транспонирования симметричной матрицы является сама матрица.

антисимметричная матрица

Антисимметричная матрица — это матрица, у которой главная диагональ заполнена нулями и при этом является осью антисимметрии.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 4 & 2 \\[1.1ex] -4 & 0 & -3 \\[1.1ex] -2 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

По следующей ссылке вы можете увидеть все свойства и дополнительные примеры антисимметричных матриц .

Теперь, когда вы познакомились с типами таблиц, вы, вероятно, задаетесь вопросом… какой во всем этом смысл? Ну и одно из основных применений — матричные операции, самой важной из которых является умножение, как это делается, вы также можете увидеть на странице матрицы умножения .