Сумма кубов

На этой странице вы найдете формулу суммы кубов и объяснение того, как разлагаются суммы кубов. Кроме того, вы сможете увидеть несколько примеров и решенных упражнений на сумму кубов.

Какова сумма кубиков?

Сумма кубов представляет собой бином (многочлен только с двумя мономами), два члена которого положительны и, более того, их кубические корни точны. Следовательно, алгебраическим выражением суммы кубов является a ³ +b ³ .

Кроме того, сумма идеальных кубов соответствует замечательному произведению (или замечательному тождеству), а это означает, что существует формула, позволяющая решить ее напрямую, без выполнения большого количества вычислений. Дальше мы посмотрим, как это делается.

Формула суммы кубов

Разобравшись с математическим определением суммы кубов, давайте теперь посмотрим, какова формула суммы кубов:

Таким образом, сумма двух кубических слагаемых равна сумме этих двух слагаемых, умноженной на квадрат первого слагаемого минус произведение двух величин плюс квадрат второго слагаемого.

Следовательно, когда мы применяем формулу суммы идеальных кубов, мы фактически факторизуем многочлен, поскольку преобразуем выражение для многочлена в произведение двух множителей. Если вы все еще не уверены, что значит факторизовать полином, мы рекомендуем вам узнать, как факторизовать полиномы, прежде чем продолжить.

Примеры факторизации сумм кубов

Чтобы завершить понимание концепции суммы идеальных кубов, мы увидим несколько примеров факторизации сумм кубов по формуле:

Пример 1

• Разложите следующую сумму кубов по формуле:

Действительно, это сумма кубов, поскольку кубический корень монома

является точным (не дает десятичное число), и число 8 тоже:

Следовательно, мы можем применить формулу суммы кубов, чтобы преобразовать кубическое выражение в произведение бинома и трехчлена:

И, наконец, нам осталось решить умножение и возведение в степень:

Если внимательно присмотреться к полученному выражению, то благодаря формуле суммы кубов мы легко найдем корень многочлена . В этом случае один из корней многочлена будет

Однако, чтобы найти все корни (или нули) многочлена, вам придется выполнить более сложную процедуру, узнайте, как это сделать, на странице по ссылке.

Пример 2

• Факторьте следующий бином, применив формулу суммы идеальных кубов.

Полином в этом примере также состоит из суммы кубов, поскольку кубический корень монома

от независимого члена 1 точны:

Поэтому мы можем использовать формулу суммы идеальных кубов, чтобы упростить выражение:

Наконец, просто посчитаем полученные операции:

Теперь, когда вы узнали, как найти сумму кубов, возможно, вам захочется узнать, как факторизовать разницу кубов . Потому что хоть формула разности кубов и похожа, но в ней есть небольшое изменение, позволяющее различать сумму и разность кубов. Оставляем вам эту ссылку, чтобы вы могли увидеть, в чем состоит это существенное изменение и как рассчитывается вычитание кубов.

Решенные задачи о суммах кубов

Упражнение 1

Умножьте следующее сложение кубов по формуле:

Выражение соответствует сумме кубов, поскольку кубические корни двух элементов многочлена точны:

Следовательно, мы можем использовать формулу суммы идеальных кубов, чтобы разложить кубическое выражение на произведение бинома и трехчлена:

С помощью которого мы решаем все операции по нахождению факторизованного полинома:

Упражнение 2

Выразите каждое произведение в виде суммы кубов:

Выражения трех упражнений соответствуют формуле суммы кубов, поэтому достаточно решить умножение многочленов:

Если вас больше интересуют известные личности, знайте, что есть одна, которую многие забывают (и она часто используется). Но важно помнить формулу этого замечательного тождества, называемого трехчленом в квадрате . Именно поэтому мы оставляем вам эту ссылку, где вы сможете увидеть, что это такое и как применяется эта формула.