Расстояние между точкой и линией

Здесь вы найдете формулу, используемую для расчета расстояния между точкой и линией. Кроме того, вы сможете увидеть несколько примеров и решенных упражнений на расстояние между точками и прямыми и даже приложения, которые имеет эта операция (например, нахождение расстояния между параллельными прямыми).

Формула расстояния между точкой и прямой

Расстояние между точкой и линией — это кратчайшее расстояние между этой точкой и линией. Математически это минимальное расстояние эквивалентно длине отрезка, проведенного от точки до линии и перпендикулярного этой линии.

Разобравшись с геометрической концепцией расстояния между точкой и линией, давайте посмотрим, какая формула используется для расчета указанного расстояния:

Учитывая неявное (или общее) уравнение прямой и координаты любой точки на плоскости:

$r: \ Ax+By+C=0 \qquad \qquad P(p_x,p_y)$

Формула расстояния между точкой и линией :

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Важно: Обратите внимание, что уравнение линии в формуле имеет форму неявного (или общего) уравнения, поэтому, если у нас есть линия, выраженная в уравнении другого типа, нам нужно сначала передать ее неявному уравнению, а затем мы можем применить формулу.

Пример расчета расстояния между точкой и линией

Ниже вы можете увидеть пример расчета расстояния между точкой и линией:

Найдите расстояние между точками
$P$

и закон

$r:$

$P(2,-1) \qquad \qquad r: \ 3x+4y-5=0$

Чтобы рассчитать расстояние между точкой и линией, просто примените ее формулу:

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Теперь мы заменим каждый термин его значением:

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 3\cdot 2 + 4\cdot (-1)-5\rvert}{\sqrt{3^2+4^2}}$

И наконец вычисляем расстояние:

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 6 -4-5\rvert}{\sqrt{9+16}} =\cfrac{\lvert -3 \rvert}{\sqrt{25}} = \mathbf{\cfrac{3}{5}}$

Расстояние между двумя параллельными линиями

Одним из применений вычисления расстояния между линией и точкой является поиск расстояния между параллельными линиями.

Очевидно, что чтобы понять концепцию, которую мы объясним ниже, вы должны знать , что такое параллельные линии , поэтому, если вы не знаете точно их определения, мы оставляем вам ссылку, где мы подробно объясняем это, и вы также сможете увидеть примеры. параллельных линий.

Чтобы найти расстояние между двумя параллельными линиями, просто возьмите точку на одной из двух линий и вычислите расстояние от этой точки до другой линии.

Итак, для определения расстояния между двумя параллельными прямыми также используется формула расстояния между прямой и точкой.

С другой стороны, если при использовании формулы мы получим расстояние 0 единиц, это означает, что линии в какой-то точке касаются друг друга и, следовательно, линии не параллельны, а пересекаются, совпадают или перпендикулярны. При желании вы можете проверить отличия этого типа линий на нашем сайте.

Итак, давайте посмотрим, как решить проблему расстояния между двумя параллельными линиями на примере:

Найдите расстояние между следующими двумя параллельными прямыми:

$r: \ 2x-4y-6=0 \qquad \qquad s: \ -x+2y+4=0$

Первое, что нам нужно сделать, это поставить точку на одной из линий (той, которая вам нужна). В данном случае мы рассчитаем точку на линии

$s.$

Для этого необходимо присвоить значение одной из переменных, например мы сделаем

$x=0:$

$-x+2y+4 =0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ -0+2y+4=0$

И теперь мы очищаем другую переменную (

$y$

) полученного уравнения, чтобы узнать, сколько оно стоит в данный момент:

$2y=-4$

$y= \cfrac{-4}{2}$

$y= -2$

Следовательно, точка, полученная из прямой

$s$

Восток:

$P(0,-2)$

И как только у нас уже есть точка на линии, мы вычисляем расстояние от этой точки до другой линии по формуле:

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 2\cdot 0 + (-4)\cdot (-2) +(-6)\rvert}{\sqrt{2^2+(-4)^2}}= \cfrac{2}{\sqrt{20}}=\bm{0,45}$

Решены задачи о расстоянии между точкой и линией.

Упражнение 1

Рассчитать расстояние между точками

$P$

и закон

$r:$

$P(4,2) \qquad \qquad r: \ 5x-3y+6=0$

посмотреть решение

Чтобы найти расстояние между точкой и линией, просто примените ее формулу:

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Заменяем каждый член его значением и вычисляем расстояние:

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 5\cdot 4 + (-3)\cdot 2+6\rvert}{\sqrt{5^2+(-3)^2}}=\cfrac{20}{\sqrt{34}}= \bm{3,43}$

Упражнение 2

Каково расстояние между точкой

$P$

и закон

$r$

$P(-3,-1) \qquad \qquad r: \ y=-3x+5$

посмотреть решение

В этом случае уравнение линии имеет неявный (или общий) вид. Вместо этого, чтобы использовать формулу расстояния от точки до линии, линия должна быть выражена в виде неявного уравнения. Поэтому мы должны сначала преобразовать линию и передать ее неявному уравнению (просто передать все члены с одной стороны уравнения):

$r: \ 3x+y-5=0$

И как только линия уже имеет явный вид, мы можем теперь использовать формулу для расстояния между точкой и линией:

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Поэтому мы заменяем каждый член его значением и вычисляем расстояние:

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 3\cdot (-3) + 1\cdot (-1)-5\rvert}{\sqrt{3^2+1^2}}=\cfrac{\lvert -9-1-5\rvert}{\sqrt{9+1}}=\cfrac{15}{\sqrt{10}}= \bm{4,74}$

Упражнение 3

Каково расстояние между следующими двумя линиями?

$r: \ x+3y-4=0 \qquad \qquad s: \ 2x+6y+6=0$

посмотреть решение

Сначала проверим, что это две параллельные прямые. Для этого коэффициенты при переменных

$x$

$y$

должны быть пропорциональны друг другу, но не независимым членам:

$\cfrac{1}{2} = \cfrac{3}{6}\neq \cfrac{-4}{6} \ \longrightarrow \ \text{Paralelas}$

Действительно, линии параллельны, поэтому мы можем применить эту процедуру.

Теперь нам нужно получить точку от одной из линий (той, которую вы хотите). В данном случае мы рассчитаем точку на линии

$s.$

Для этого необходимо присвоить значение одной из переменных, например мы сделаем

$x=0:$

$2x+6y+6=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ 2\cdot 0+6y+6=0$

И теперь мы очищаем другую переменную (

$y$

) полученного уравнения, чтобы узнать его значение в этой точке:

$6y=-6$

$y= \cfrac{-6}{6}$

$y= -1$

Так что точка, полученная из прямой

$s$

Восток:

$P(0,-1)$

Как только мы узнаем точку на линии, мы вычисляем расстояние от этой точки до другой линии по формуле:

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 1\cdot 0 + 3\cdot (-1) +(-4)\rvert}{\sqrt{1^2+3^2}}= \cfrac{7}{\sqrt{10}}=\bm{2,21}$

Упражнение 4

Вычислить значение неизвестного

$k$

так что расстояние между точками

$P$

и закон

$r$

то есть 5 единиц.

$P(-2,5) \qquad \qquad r: \ 12x-5y+k=0$

посмотреть решение

Сначала мы должны применить формулу расстояния между точкой и линией:

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Теперь заменим каждое слагаемое его значением и упростим выражение:

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 12\cdot (-2) + (-5)\cdot 5+k\rvert}{\sqrt{12^2+(-5)^2}}= \cfrac{\lvert -24-25+k\rvert}{\sqrt{169}}=\cfrac{\lvert -49+k\rvert}{13}$

В постановке задачи нам сказано, что расстояние между точкой и прямой должно быть равно 5, поэтому приравниваем предыдущее выражение к 5:

$\cfrac{\lvert -49+k\rvert}{13}=5$

И решаем полученное уравнение. В числителе дроби стоит абсолютная величина, поэтому надо разбирать отдельно, когда абсолютная величина положительная, а когда отрицательная:

$\cfrac{+(-49+k)}{13}=5$