Расстояние между двумя параллельными прямыми

На этой странице вы узнаете, как определить расстояние между двумя параллельными прямыми. Кроме того, вы сможете увидеть примеры и попрактиковаться в решенных упражнениях на расстояние между параллельными линиями.

Что такое две параллельные прямые?

Прежде чем увидеть, как рассчитывается расстояние между двумя параллельными прямыми, давайте очень кратко напомним понятие параллельности между двумя прямыми:

Параллельные линии — это линии, которые никогда не пересекаются, то есть, даже если их траектории простираются до бесконечности, они никогда не касаются друг друга. Следовательно, точки двух параллельных прямых всегда находятся на одинаковом расстоянии друг от друга и, более того, две параллельные прямые не имеют общих точек.

Например, следующие две линии параллельны:

Обычно мы указываем, что две линии параллельны двум вертикальным полосам || между линиями

С другой стороны, несмотря на то, что две параллельные прямые никогда не пересекаются, в аналитической геометрии мы говорим, что они образуют угол 0°, поскольку имеют одно и то же направление.

Как рассчитать расстояние между двумя параллельными прямыми на плоскости

Чтобы найти расстояние между двумя параллельными линиями на плоскости (в R2), просто возьмите точку на одной из двух линий и вычислите расстояние от этой точки до другой линии.

Мы можем сделать это таким образом, потому что две параллельные линии всегда находятся на одинаковом расстоянии друг от друга.

Итак, чтобы найти расстояние между двумя параллельными прямыми, нужно знать формулу расстояния между точкой и прямой . Если вы не помните, как это было, по ссылке вы можете просмотреть, как определяется расстояние между точкой и прямой, кроме того вы сможете увидеть примеры и пошагово решаемые упражнения.

С другой стороны, если при использовании формулы мы получим расстояние в 0 единиц, это означает, что линии в какой-то точке касаются друг друга и, следовательно, линии не параллельны, а пересекаются, совпадают или перпендикулярны. При желании вы можете проверить отличия этого типа линий на нашем сайте.

Пример того, как найти расстояние между двумя параллельными прямыми

Давайте теперь посмотрим, как решить задачу о расстоянии между двумя параллельными линиями на примере:

Найдите расстояние между следующими двумя параллельными прямыми:

$r: \ 2x-4y-6=0 \qquad \qquad s: \ -x+2y+4=0$

Первое, что нам нужно сделать, это поставить точку на одной из линий (той, которая вам нужна). В данном случае мы рассчитаем точку на линии

$s.$

Для этого мы должны присвоить значение одной из переменных, мы сделаем это, например

$x=0:$

$-x+2y+4 =0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ -0+2y+4=0$

И теперь мы очищаем другую переменную (

$y$

) полученного уравнения, чтобы узнать, сколько оно стоит в данный момент:

$2y=-4$

$y= \cfrac{-4}{2}$

$y= -2$

Следовательно, точка, полученная из прямой

$s$

Восток:

$P(0,-2)$

И как только у нас уже есть точка на линии, мы вычисляем расстояние от этой точки до другой линии, используя формулу расстояния от точки до линии:

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 2\cdot 0 + (-4)\cdot (-2) +(-6)\rvert}{\sqrt{2^2+(-4)^2}}= \cfrac{\lvert 0+8-6\rvert}{\sqrt{4+16}}={\cfrac{2}{\sqrt{20}}=\bm{0,45}$

Таким образом, расстояние между двумя параллельными линиями эквивалентно 0,45 единицы .

Решение задач о расстоянии между двумя параллельными прямыми

Упражнение 1

Каково расстояние между следующими двумя параллельными прямыми?

$r: \ x+3y-4=0 \qquad \qquad s: \ 2x+6y+6=0$

посмотреть решение

Сначала проверим, что это две параллельные прямые. Для этого коэффициенты при переменных

$x$

$y$

должны быть пропорциональны друг другу, но не независимым членам:

$\cfrac{1}{2} = \cfrac{3}{6}\neq \cfrac{-4}{6} \ \longrightarrow \ \text{Paralelas}$

Действительно, линии параллельны, поэтому мы можем применить эту процедуру.

Теперь нам нужно получить точку от одной из линий (той, которую вы хотите). В данном случае мы рассчитаем точку на линии

$s.$

Для этого необходимо присвоить значение одной из переменных, например мы сделаем

$x=0:$

$2x+6y+6=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ 2\cdot 0+6y+6=0$

И теперь мы очищаем другую переменную (

$y$

) полученного уравнения, чтобы узнать его значение в этой точке:

$6y=-6$

$y= \cfrac{-6}{6}$

$y= -1$

Так что точка, полученная из прямой

$s$

Восток:

$P(0,-1)$

Как только мы узнаем точку на линии, мы вычисляем расстояние от этой точки до другой линии по формуле:

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 1\cdot 0 + 3\cdot (-1) +(-4)\rvert}{\sqrt{1^2+3^2}}= \cfrac{7}{\sqrt{10}}=\bm{2,21}$

Упражнение 2

Рассчитайте расстояние между следующими двумя параллельными линиями:

$r: \ 2x+y+5=0 \qquad \qquad s: \ 8x+4y-4=0$

посмотреть решение

Сначала проверим, что это две параллельные прямые. Для этого коэффициенты при переменных

$x$

$y$

должны быть пропорциональны друг другу, но не независимым членам:

$\cfrac{2}{8} = \cfrac{1}{4}\neq \cfrac{5}{-4} \ \longrightarrow \ \text{Paralelas}$

Действительно, линии параллельны, поэтому мы можем применить эту процедуру.

$s.$

Для этого необходимо присвоить значение одной из переменных, например мы сделаем

$x=0:$

$8x+4y-4=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ 8\cdot 0+4y-4=0$

И теперь мы очищаем другую переменную (

$y$

) полученного уравнения, чтобы найти его значение в этой точке:

$4y=4$

$y= \cfrac{4}{4}$

$y= 1$

Так что точка, полученная из прямой

$s$

Восток:

$P(0,1)$

Как только мы узнаем точку на линии, мы вычисляем расстояние от этой точки до другой линии по формуле:

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 2\cdot 0 + 1\cdot 1 +5\rvert}{\sqrt{2^2+1^2}}= \cfrac{6}{\sqrt{5}}=\bm{2,68}$

Упражнение 3

Вычислить значение неизвестного

$k$

поэтому расстояние между следующими двумя строками составляет 5 единиц.

$r: \ 6x-8y+10=0 \qquad \qquad s: \ -3x+4y+k=0$

посмотреть решение

Поскольку мы работаем в двух измерениях, чтобы расстояние между двумя линиями было ненулевым, они должны быть параллельны. Поэтому мы составим уравнение, попытавшись вычислить расстояние между двумя линиями по формуле расстояния между точкой и линией, и из этого уравнения мы получим значение

$k.$

Для этого нам нужно вычислить точку на прямой

$r:$

$6x-8y+10=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 1} \ 6\cdot 1 -8y+10=0$

$6-8y+10=0$

$-8y=-16$

$y=\cfrac{-16}{-8} = 2$

Итак, точка на линии

$r$

Восток:

$P(1,2)$

Теперь мы пытаемся вычислить расстояние между точкой, принадлежащей линии.

$r$

(точка

$P$

) и линия

$s$

с формулой:

$d(P,s)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Заменим каждый член его значением и упростим выражение:

$d(P,s)= \cfrac{\lvert -3\cdot 1 + 4\cdot 2+k\rvert}{\sqrt{(-3)^2+4^2}}= \cfrac{\lvert -3+8+k\rvert}{\sqrt{9+16}}=\cfrac{\lvert 5+k\rvert}{\sqrt{25}}=\cfrac{\lvert 5+k\rvert}{5}$

В условии задачи сказано, что расстояние между двумя линиями должно быть равно 5, поэтому мы приравниваем предыдущее выражение к 5:

$\cfrac{\lvert 5+k\rvert}{5}=5$

И решаем полученное уравнение. В числителе дроби стоит абсолютная величина, поэтому надо разбирать отдельно, когда абсолютная величина положительная, а когда отрицательная:

$\cfrac{+(5+k)}{5}=5$