▷ Производная степени (формула и решенные упражнения)

Здесь мы объясняем, как вывести степень (или потенциальную функцию), вы найдете формулу для производной степени, несколько примеров и даже можете попрактиковаться, выполняя упражнения, решаемые шаг за шагом.

Формула производной степени

Производная степени, или потенциальная функция, представляет собой произведение показателя степени на возведенное в показатель степени основание минус 1 умноженное на производную основания.

$f(x)=u^k \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=k\cdot u^{k-1}\cdot u'$

Следовательно, если основанием является тождественная функция , чтобы получить степень, просто умножьте функцию на показатель степени и вычтите из показателя степени одну единицу:

$f(x)=x^k \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=k\cdot x^{k-1}$

Действительно, производная тождественной функции равна 1.

Таким образом, для получения потенциальной функции есть две формулы: первую, которую можно использовать всегда, и вторую, которую можно применять только в том случае, если основанием является x.

Мы можем легко проверить, что первая формула, представленная для производной степени, аналогична второй, но с применением правила цепочки.

Обратите внимание, что эти формулы можно использовать только в том случае, если переменная является основанием степени. Если x находится в знаменателе, вы должны применить правило для производной показательной функции:

➤ См.: производная показательной функции

Примеры степенных производных

После того, как мы увидели формулу производной потенциальной функции, мы объясним несколько примеров производной этого типа, чтобы вы поняли, как выводятся степени.

Пример 1: Производная базовой мощности x

$f(x)=x^4$

Как мы объяснили в предыдущем разделе, когда основанием степени является только x, формула, которую мы должны использовать для получения функции:

$f(x)=x^k \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=k\cdot x^{k-1}$

Таким образом, производная степени x, возведенной в степень 4, равна:

$f(x)=x^4 \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=4\cdot x^{4-1}=4x^3$

Пример 2: Производная степени с круглыми скобками

$f(x)=(2x-1)^5$

В этом примере основание не является тождественной функцией, поэтому мы должны использовать общую формулу для производной степени:

$f(x)=u^k \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=k\cdot u^{k-1}\cdot u'$

Функция в скобках является линейной функцией, поэтому ее производная равна 2. Следовательно, производная всей потенциальной функции равна:

$f(x)=(2x-1)^5 \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=5\cdot (2x-1)^4\cdot 2=10(2x-1)^4$

Пример 3: Производная отрицательной степени

$f(x)=(\log 9x)^{-2}$

В этом случае у нас есть потенциальная функция, показатель которой отрицательный, а основанием является логарифм, поэтому мы будем использовать следующую формулу для дифференцирования функции:

$f(x)=u^k \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=k\cdot u^{k-1}\cdot u'$

Даже если показатель степени отрицательный, из него тоже нужно вычесть. Таким образом, производная функции равна:

$f'(x)=-2\cdot (\log 9x)^{-3}\cdot \cfrac{1}{9x\cdot \ln 10}\cdot 9 =\cfrac{-2(\log 9x)^{-3}}{x\ln 10}$

Если у вас есть какие-либо сомнения относительно решения, вы можете ознакомиться с формулой производной логарифмической функции здесь:

➤ См.: производная логарифмической функции.

Пример 4: Производная степени с корнем

$f(x)=\sqrt[3]{(5x+2)^7}$

Функция в этом примере представляет собой степень в регулярном выражении. Однако радикалы можно преобразовать в потенциальные выражения, поэтому функцию можно упростить, превратив ее в потенциальную функцию с дробным показателем:

$f(x)=(5x+2)^{\frac{7}{3}}$