Производная гиперболического арксеканса

Здесь вы узнаете, как вычислить производную гиперболического арксеканса функции. Кроме того, вы сможете увидеть решенные примеры производной гиперболического арксеканса.

Формула производной гиперболического арксеканса

Производная гиперболического арксеканса x равна минус 1, деленной на произведение x, умноженное на корень из единицы минус x в квадрате.

$f(x)=\text{arcsech}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{-1}{x\sqrt{1-x^2}}$

Следовательно, производная гиперболического арксеканса функции равна минус производной этой функции, деленной на произведение функции, умноженное на корень из единицы, минус квадрат функции.

$f(x)=\text{arcsech}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{-u'}{u\sqrt{1-u^2}}$

Короче говоря, формула производной гиперболической функции арксеканса такова:

полученный из гиперболического арксеканса

Оба выражения фактически соответствуют одной и той же формуле, но ко второй формуле применяется правило цепочки. Фактически, если вы замените u тождественной функцией x, вы получите первую формулу, поскольку производная x равна 1.

Примеры производной гиперболического арксеканса

Увидев, какова формула производной гиперболического арксеканса, мы решим два пошаговых упражнения этого типа обратных тригонометрических производных. Таким образом, вы можете точно увидеть, как получить гиперболический арксеканс функции.

Пример 1

В этом примере мы определим, что такое производная гиперболического арксеканса 2x.

$f(x)=\text{arcsech}(2x)$

В аргументе гиперболического арксеканса у нас есть функция, отличная от x, поэтому нам нужно использовать формулу цепного правила для ее получения:

$f(x)=\text{arcsech}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{-u'}{u\sqrt{1-u^2}}$

Функция 2x линейна, поэтому ее производная равна 2. Поэтому, чтобы найти производную, мы просто подставляем 2x вместо u и 2 вместо u’ в формулу:

$f(x)=\text{arcsech}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{-2}{2x\sqrt{1-(2x)^2}}=\cfrac{-2}{2x\sqrt{1-4x^2}}$

Пример 2

Во втором упражнении мы выведем гиперболический арксеканс полиномиальной функции:

$f(x)=\text{arcsech}(x^3-4x)$

Функция этого упражнения сложна, поскольку гиперболический арксеканс имеет в своем аргументе еще одну функцию. Поэтому нам нужно использовать гиперболическую формулу производной арксеканса с цепным правилом для ее вывода:

$f(x)=\text{arcsech}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{-u'}{u\sqrt{1-u^2}}$

Поэтому в числителе дроби ставим производную полиномиальной функции аргумента, а в знаменателе меняем u на полиномиальную функцию:

$\begin{aligned}f(x)=\text{arcsech}(x^3-4x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black}f'(x)&=\cfrac{-(3x^2-4)}{(x^3-4x)\sqrt{1-(x^3-4x)^2}}\\[1.5ex] &=\cfrac{-3x^2+4}{(x^3-4x)\sqrt{1-(x^3-4x)^2}}\end{aligned}$

Производная гиперболического арксеканса

Формула производной гиперболического арксеканса

Примеры производной гиперболического арксеканса

Пример 1

Пример 2

Похожие товары

Оставьте комментарий Отменить ответ