Перпендикулярные или ортогональные векторы

На этой странице вы найдете все о перпендикулярных (или ортогональных) векторах: что это такое, когда два вектора ортогональны, как найти вектор, перпендикулярный другому, свойства перпендикулярных векторов… Кроме того, вы сможете увидеть несколько примеров и решенных упражнений для перпендикулярных или ортогональных векторов.

Что такое два перпендикулярных или ортогональных вектора?

В математике два вектора называются ортогональными (или перпендикулярными ), если они образуют прямой угол (90°) друг к другу.

На следующем графике вы можете увидеть два перпендикулярных вектора:

когда два вектора называются перпендикулярными или ортогональными

С другой стороны, перпендикулярность двух векторов зависит только от их направления, а не от их модуля (или величины) или, очевидно, от их направления. То есть два вектора будут перпендикулярны, если они составляют угол 90 градусов, независимо от того, имеют ли они одинаковую длину.

Как узнать, ортогональны или перпендикулярны два вектора?

Как мы только что видели, графически очень легко увидеть, перпендикулярны ли два вектора. Однако вы также можете определить, ортогональны ли два вектора, не отображая их на графике:

Численно два вектора являются ортогональными или перпендикулярными , если их скалярное произведение равно нулю (0).

Например, мы покажем, что следующие два вектора перпендикулярны, не изображая их на графике:

$\vv{\text{u}}=(3,2) \qquad\vv{\text{v}}=(-2,3)$

Чтобы проверить, что это перпендикулярные (или ортогональные) векторы, мы применяем формулу скалярного произведения :

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}&=(3,2)\cdot (-2,3) \\[1.5ex]&=3\cdot (-2) + 2 \cdot 3 \\[1.5ex] & = -6+6 \\[1.5ex] & =\bm{0} \end{aligned}$

Результат скалярного произведения двух векторов равен нулю, поэтому это два вектора, ортогональные (или перпендикулярные) друг другу.

$\vv{\text{u}}\bm{\perp} \vv{\text{v}}$

Обратите внимание, что два вектора обозначены как перпендикулярные символом

$\bm{\perp}}.$

Следовательно, скалярное произведение между двумя перпендикулярными векторами равно нулю. Однако векторное произведение двух векторов (еще один тип умножения векторов) дает противоположное: вектор, перпендикулярный двум другим. Поэтому важно знать, как различать два типа операций, увидеть различия между ними можно в свойствах векторного произведения .

Как вычисляется вектор, перпендикулярный или ортогональный другому?

Самый простой способ вычислить вектор, перпендикулярный другому в плоскости (в R2), — это чередовать две координаты вектора, а также менять знак на единицу.

А для получения вектора, перпендикулярного другому в пространстве (в R3), необходимо сопоставить две координаты друг с другом, затем изменить знак одной из них и, наконец, обнулить оставшуюся координату.

Чтобы вы могли увидеть различия в вычислении одного ортогонального вектора от другого в зависимости от того, имеют ли они 2 или 3 координаты, решим упражнение с каждым типом векторов.

Найдите перпендикулярный или ортогональный вектор в декартовой плоскости.

Определите вектор, перпендикулярный следующему двумерному вектору:

$\vv{\text{v}}=(4,1)$

Поскольку это вектор всего с двумя компонентами, то для получения перпендикулярного вектора необходимо чередовать его компоненты и отрицать одну из них:

$\vv{\mathbf{u}}\bm{=(-1,4)}$

По формуле скалярного произведения мы можем убедиться, что это действительно перпендикулярные векторы:

$\vv{\text{v}} \cdot \vv{\text{u}}=(4,1)\cdot (-1,4) =0$

$\vv{\text{v}}\bm{\perp} \vv{\text{u}}$

Определите перпендикулярный или ортогональный вектор в декартовом пространстве.

Вычислите вектор, ортогональный следующему трехмерному вектору:

$\vv{\text{v}}=(2,3,-1)$

В данном случае мы имеем трехкомпонентный вектор, поэтому для получения перпендикулярного вектора нам нужно поменять местами две его компоненты, изменить знак одной из них и преобразовать оставшуюся координату в ноль:

$\vv{\mathbf{u}}\bm{=(3,-2,0)}$

С помощью формулы скалярного произведения мы можем проверить, что это действительно ортогональные векторы:

$\vv{\text{v}} \cdot \vv{\text{u}}=(2,3,-1)\cdot (3,-2,0) =0$

$\vv{\text{v}}\bm{\perp} \vv{\text{u}}$

Свойства перпендикулярных и ортогональных векторов

Перпендикулярные векторы имеют следующие характеристики:

Симметричные отношения : если вектор перпендикулярен другому вектору, то этот вектор также перпендикулярен первому вектору.

$\vv{\text{u}} \bm{\perp} \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ \vv{\text{v}} \bm{\perp} \vv{\text{u}}$

Иррефлексивное свойство : очевидно, что ни один вектор не может быть перпендикулярен самому себе.

$\vv{\text{v}} \ \cancel{\bm{\perp}}} \ \vv{\text{v}}$

В евклидовой геометрии (в R2) любая пара векторов, перпендикулярных третьему вектору, обязательно должна быть параллельной. То есть, если вектор перпендикулярен другому вектору и этот вектор также перпендикулярен третьему вектору, первый и последний векторы параллельны. Это связано с пятым постулатом Евклида .

С другой стороны, вы также должны знать, что благодаря этим свойствам можно использовать правило штопора. Этот метод позволяет легко вычислить тип векторной операции, решение которой без этого правила заняло бы много времени. Посмотреть, что это такое, можно, нажав на объяснение правила штопора .

Понятия, связанные с перпендикулярными или ортогональными векторами.

Существует два типа векторов, очень близких к перпендикулярным векторам: нормальные векторы и векторы Ортомарля. Хотя все они связаны друг с другом, мы хотим уточнить, чем они отличаются, чтобы избежать возможной путаницы.

Нормальный вектор – это вектор, перпендикулярный плоскости. Таким образом, его тоже можно включить в понятие ортогональности вектора, но в этом случае он перпендикулярен плоскости, а не другому вектору.

С другой стороны, два ортонормированных вектора — это два взаимно ортогональных вектора, которые, кроме того, являются единичными векторами (величины, равной 1).

Наконец, следует также отметить, что очень часто используются ортогональные базисы (векторные базисы, образованные из векторов, перпендикулярных друг другу) и даже ортонормированные базисы . Фактически декартова система отсчета является ортонормированной базой.