Вычислить определитель матрицы 3х3 по правилу Сарруса

На этой странице вы узнаете, что такое определитель квадратной матрицы 3х3. Вы увидите, как решать определители третьего порядка с помощью правила Саррюса. И, кроме того, у вас есть примеры и упражнения, решенные шаг за шагом, так что вы можете попрактиковаться и понять их в совершенстве.

Что является определителем матрицы 3×3?

Определитель третьего порядка — это матрица размерности 3×3 , представленная вертикальной чертой с каждой стороны матрицы. Например, если у нас есть следующая матрица:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 5 \\[1.1ex] 1 & 6 & -2 \end{pmatrix}$

Определитель матрицы A представляется следующим образом:

$\displaystyle \lvert A \rvert = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 5 \\[1.1ex] 1 & 6 & -2 \end{vmatrix}$

Как вы видели, написать определитель квадратной матрицы третьего порядка несложно. Теперь посмотрим, как это решить:

Как вычислить определитель третьего порядка?

Чтобы определить определители матриц 3×3, необходимо применить правило Сарруса :

Правило Сарруса

Правило Саррюса гласит, что для вычисления определителя третьего порядка мы должны сложить произведение элементов большой диагонали и произведения ее параллельных диагоналей на соответствующие им противоположные вершины, затем вычесть произведение элементов малой диагонали и произведение их параллельных диагоналей на соответствующие им противоположные вершины.

Написанное таким образом, это может быть немного сложно понять, но посмотрите, как выполняется вычисление определителей 3х3, с помощью следующей схемы и примеров:

Примеры определителей 3×3:

$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\[1.1ex] -1 & 1 & 0 \\[1.1ex] -2 & 4 & 1 \end{vmatrix} & = 2 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \cdot (-2) + (-1) \cdot 4 \cdot 3 - (-2) \cdot 1 \cdot 3 - 4 \cdot 0 \cdot 2- (-1) \cdot 1 \cdot 1 \\ & = 2 + 0 -12 +6 - 0 +1 \\[2ex] & = \bm{-3} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & 1 \\[1.1ex] 4 & -3 & -1 \end{vmatrix} & = 1\cdot 2 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 \cdot 4 +3 \cdot (-3) \cdot 2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 - (-3) \cdot 1 \cdot 1- 3 \cdot 0 \cdot (-1) \\ & = -2 +0 -18 - 16 +3- 0 \\[2ex] & = \bm{-33} \end{aligned}$

Решенные задачи определителей матриц 3×3

Упражнение 1

Решите следующий определитель 3×3:

Конкретный пример определителя матрицы 3x3

посмотреть решение

Чтобы решить определитель матрицы 3×3, мы должны применить правило Сарруса:

$\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\[1.1ex] 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 2 & 0 & 4 \end{vmatrix} & = 2 \cdot 1 \cdot 4 + 1 \cdot (-1) \cdot 2 + 3 \cdot 0 \cdot 0 - 2 \cdot 1 \cdot 0 - 0 \cdot (-1) \cdot 2- 3 \cdot 1 \cdot 4 \\ & = 8 -2 +0 -0- 0-12 \\[2ex] & = \bm{-6} \end{aligned}$

Упражнение 2

Вычислим следующий определитель третьего порядка:

упражнение поэтапное решение определителя матрицы 3х3

посмотреть решение

Чтобы вычислить определитель матрицы третьего порядка, мы должны использовать правило Сарруса:

$\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\[1.1ex] 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} & = 1 \cdot 2 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 \cdot 3 + 4 \cdot (-1) \cdot 1 - 3 \cdot 2 \cdot 1 - (-1) \cdot 1 \cdot 1 - 4 \cdot (-2) \cdot 2 \\ & = 4 -6 -4 -6+1+16 \\[2ex] & = \bm{5} \end{aligned}$

Упражнение 3

Найдите решение определителя следующей матрицы 3×3:

упражнения, решенные пошагово для определителей матриц 3х3

посмотреть решение

Чтобы определить определитель матрицы 3×3, мы должны использовать правило Сарруса:

$\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix}1 & 3 & -2 \\[1.1ex] 2 & -3 & 4 \\[1.1ex] -1 & 2 & 5 \end{vmatrix} & = \\ & = 1 \cdot (-3) \cdot 5 + 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 \cdot (-2) \ - \\[1.1ex] & \phantom{=} - (-1) \cdot (-3) \cdot (-2) - 2 \cdot 4 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \\[2.5ex] & = -15 -12 -8 +6-8-30 \\[2.5ex] & = \bm{-67} \end{aligned}$

Упражнение 4

Найдите решение определителя следующей матрицы третьего порядка:

Решение упражнения на определитель матрицы 3х3.

посмотреть решение

Чтобы найти решение определителя матрицы 3×3, мы должны применить формулу Сарруса:

$\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 6 & 1 & -2 \\[1.1ex] 4 & -3 & 2 \end{vmatrix} & = \\ & = 3 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-2) \cdot 4 + 6 \cdot (-3) \cdot (-1) \ - \\[1.1ex] & \phantom{=} - 4 \cdot 1 \cdot (-1) - (-3) \cdot (-2) \cdot 3 - 6 \cdot 1 \cdot 2 \\[2.5ex] & =6 -8 +18 +4-18-12 \\[2.5ex] & = \bm{-10} \end{aligned}$

Упражнение 5

найти значение

$a$

что отменяет следующий определитель третьего порядка:

упражнения решаются пошагово для определителей 3-го порядка

посмотреть решение

Сначала вычислим по правилу Саррюса значение определителя как функцию

$a :$

$\displaystyle\begin{aligned}\begin{vmatrix} 4 & 6 & -5 \\[1.1ex] -2 & 4 & 2 \\[1.1ex] -1 & 2 & a \end{vmatrix} & = \\ & = 4 \cdot 4 \cdot a + 6 \cdot 2 \cdot (-1) + (-2) \cdot 2 \cdot (-5) \ - \\[1.1ex] & \phantom{=}- (-1) \cdot 4 \cdot (-5) - 2 \cdot 2 \cdot 4 - (-2) \cdot 6 \cdot a \\[2.5ex] & = 16a -12 + 20 - 20 - 16 +12a \\[2.5ex] & = 28a -28 \end{aligned}$

Чтобы определитель исчез, результат должен быть 0. Поэтому примем результат равным 0 и решим уравнение:

$28a-28=0$

$28a=28$

$a=\cfrac{28}{28} = \bm{1}$

Вычислите определитель матрицы 3х3 по правилу сарруса.

Что является определителем матрицы 3×3?

Как вычислить определитель третьего порядка?

Правило Сарруса

Примеры определителей 3×3:

Решенные задачи определителей матриц 3×3

Упражнение 1

Упражнение 2

Упражнение 3

Упражнение 4

Упражнение 5

Оставьте комментарий Отменить ответ