Мнимые числа

Вы наверняка слышали о множестве мнимых чисел или мнимой единице измерения. Это математическое понятие, возникающее из математической необходимости выражать числа, не принадлежащие действительным числам .

Что такое мнимые числа?

Мнимые числа – это числа, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число . Следовательно, это значения, эквивалентные квадратному корню из отрицательного числа. Например, мнимая единица (число i) равна квадратному корню из -1.

Эти числа не относятся к действительным числам, поскольку в вещественном множестве отрицательные корни не могут быть разрешены. В этом и заключается важность воображаемой обстановки. Этот набор был изобретен для того, чтобы иметь возможность иметь дело с отрицательными корнями и решать все те уравнения и квадратичные задачи, которые «не имеют решения», потому что они дают нам отрицательный корень.

Чтобы избежать путаницы, важно различать мнимые числа и комплексные числа . Комплексы – это числа, состоящие из действительного и мнимого чисел . Следовательно, воображаемые представляют собой подкатегорию комплексов, не имеющих реальной части. В следующей таблице вы сможете лучше оценить различия.

Чтобы закончить размещение этого цифрового набора, мы можем визуализировать на следующем изображении структуру всех наборов. Как мы видим, комплексные числа охватывают все типы чисел , которые, в свою очередь, можно разделить на действительные числа и чисто мнимые числа (именно с ними мы и имеем дело в этой статье).

Примеры мнимых чисел

Из мнимой единицы (i) мы можем вывести другие мнимые числа. Вам просто нужно применить следующую формулу:

м = ри

Где m — мнимое число, r — действительное число, а i — мнимая единица. На следующем изображении вы можете увидеть, как мы получаем разные образы из отрицательных корней.

Фактически, мы можем экстраполировать это к следующему выражению:

Свойства мнимых чисел

Мнимые числа обладают рядом очень интересных свойств . О некоторых мы уже говорили в начале этой статьи, а о других нет:

• Воображаемые представления не принадлежат к множеству реальностей, поскольку представляют собой числа, которые физически не существуют и не могут быть представлены в нашей реальности.
• Это значения, эквивалентные отрицательным корням.
• Их можно изобразить графически на воображаемой линии.
• Мнимые степени (эту концепцию мы объясним в следующем разделе) очень помогают упростить числовые вычисления с использованием мнимых значений.
• Формула Эйлера — это выражение, позволяющее соотносить мнимые числа с действительными.

Действия с мнимыми числами

Теперь, когда вы знаете все важные характеристики мнимых чисел, пришло время научиться решать действия с ними. Чтобы оперировать мнимыми значениями , вы должны выполнить те же шаги, которые вы выполняете для работы с реальными значениями, за исключением того, что вы должны принять во внимание одно понятие: мнимые силы.

творческие способности

У мнимых чисел есть очень интересное свойство, которое возникает, когда вы умножаете мнимую единицу на себя. То есть это происходит, когда вы создаете силы мнимого единства . Если записать полномочия, как в следующем списке, можно обнаружить закономерность:

я ⁰ = 1

я ¹ = я

я ² = я · я = ( √ -1) · ( √ -1) = -1

я ³ = я ² я = (-1) я = -я

я ⁴ = я ² я ² = (-1) (-1) = 1

Знание этого понятия значительно облегчит нам решение операций с мнимыми числами, поскольку мы сможем упростить сложные операции и сделать их немного легче. Кроме того, в этих способностях хорошо то, что они повторяются бесконечно. Мы сможем увидеть это, если добавим еще несколько полномочий:

я ⁵ = я

я ⁶ = -1

я ⁷ = -я

я ⁸ = 1

и т. д.

И с отрицательными силами то же самое происходит.

Арифметические действия с мнимыми числами

Далее мы дадим вам пример каждой основной арифметической операции, чтобы вы могли увидеть решенные вычисления с мнимыми числами.

• Сложение мнимых чисел: это точно так же, как сложение действительных чисел, только не забудьте добавить i.

4и + 3и = 7и

• Вычитание мнимых чисел: Вычитания также решаются так же, как и в реальном множестве.

4i – 3i = я

• Умножение мнимых чисел: в этом случае мы должны иметь в виду мнимые степени, о которых мы упоминали ранее.

3i 4i = 12 i ² = 12 (-1) = -12

• Деление мнимых чисел: при этом типе деления мы также должны быть бдительными, на случай, если мы столкнемся с мнимой силой, которая позволяет нам упростить операцию.

12i ÷ 4i = 3

Уравнения с мнимыми числами

Как мы уже говорили, когда мы решаем уравнения вещественного множества, иногда мы получаем отрицательные корни и, следовательно, уравнения «не имеют решения» . Но теперь, когда мы знаем воображаемое, мы можем решить эти уравнения. Давайте посмотрим пример:

Для чего используются мнимые числа?

Мнимые числа возникают из-за необходимости иметь возможность выражать значения, находящиеся за пределами реального множества. Поэтому на первый взгляд может показаться, что полезных приложений у них не так много . Но правда в том, что все совсем наоборот. Потому что, когда мы объединяем их с действительными, мы получаем комплексные числа.

И у них есть много применений. Их используют для изучения переменного тока (поскольку он имеет отрицательные значения), его применение также очень широко распространено в области волн (что имеет приложения в физике, телекоммуникационной электронике и квантовой механике). Среди многих других применений.

Кроме того, часто случается, что когда вы решаете квадратное уравнение , значение дает вам отрицательный корень, и вы не можете действовать… С помощью воображаемых уравнений вы можете их решить . Итак, в заключение можно сказать, что это набор, который позволяет нам расширить наши более абстрактные знания.