Максимум и минимум функции (относительные экстремумы)

В этой статье вы узнаете, как вычислить максимум и минимум функции, мы объясним вам это, шаг за шагом решив два примера. Кроме того, вы сможете попрактиковаться с помощью пошаговых упражнений на максимумы и минимумы функции.

Что такое максимум и минимум функции?

Максимумы функции — это самые большие значения функции, а минимумы функции — это наименьшие значения функции. Максимумы и минимумы функции являются относительными экстремумами , когда они представляют только самые большие или наименьшие значения в своей среде, но они являются абсолютными экстремумами , когда они представляют самые большие или наименьшие значения всей функции.

максимумы и минимумы функции

Вы также можете выявить относительные экстремумы, изучая рост и убывание функции :

  • Точка является относительным максимумом , когда функция переходит от возрастания к убыванию.
  • Точка является относительным минимумом , когда функция переходит от убывания к возрастанию.

Как найти максимум и минимум функции

По первой и второй производной функции мы можем узнать, имеет ли функция относительный экстремум в какой-либо точке и является ли эта точка относительным максимумом или относительным минимумом:

  • Функция имеет экстремум относительно точек, которые сокращают ее первую производную.

    • f'(a)=0 \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un extremo relativo}

  • А знак второй производной функции определяет, является ли точка максимумом или минимумом:
    • Если вторая производная отрицательна, функция имеет относительный максимум в этой точке.

      • f''(a)<0 \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un m\'aximo relativo}

    • Если вторая производная положительна, функция имеет относительный минимум в этой точке.

      • f''(a)>0 \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un m\’inimo relativo}» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»19″ width=»356″ style=»vertical-align: -5px;»></p> </p> </ul> </li> </ul> </div> <h2 class= Пример 1: Как вычислить максимум и минимум функции

      После того, как мы увидели определения максимума и минимума функции, мы шаг за шагом решим пример, чтобы вы могли увидеть, как вычисляются максимум и минимум функции.

      • Рассчитайте относительные экстремумы следующей функции и определите, являются ли они максимумами или минимумами:

      f(x)=x^3-3x

      Относительными экстремумами функции будут точки, удовлетворяющие

      f'(x)=0

      . Поэтому сначала вычислим производную функции:

      f(x)=x^3-3x \ \longrightarrow \ f'(x)=3x^2-3

      А теперь приравняем производную функции нулю и решим полученное квадратное уравнение:

      f'(x)=0

      3x^2-3=0

      3x^2=3

      x^2=\cfrac{3}{3}

      x^2=1

      x= \pm 1

      Следовательно, относительные экстремумы функции равны x=+1 и x=-1.

      Зная относительные экстремумы функции, мы можем узнать, являются ли они максимумом или минимумом со знаком второй производной. Поэтому вычисляем вторую производную функции:

      f'(x)=3x^2-3 \ \longrightarrow \ f''(x)=6x

      И теперь мы оцениваем во второй производной относительные экстремумы, которые мы нашли ранее, чтобы узнать, являются ли они относительным максимумом или минимумом:

      f''(1)=6\cdot 1 = 6 \ \longrightarrow

      Относительный минимум

      f''(-1)=6\cdot (-1) = -6 \ \longrightarrow

      Максимальный относительный

      Вторая производная при x=1 положительна, поэтому x=1 является относительным минимумом . С другой стороны, вторая производная при x=-1 отрицательна, поэтому x=-1 является относительным максимумом .

      Наконец, мы подставляем найденные точки в исходную функцию, чтобы найти координату Y относительных экстремумов:

      f(1)=1^3-3\cdot 1=-2 \ \longrightarrow \ (1,-2)

      f(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)= 2 \ \longrightarrow \ (-1,2)

      В заключение отметим, что относительные экстремумы функции таковы:

      Минимум для точки

      \bm{(1,-2)}

      Максимум в точку

      \bm{(-1,2)}

      Пример 2: Изучение монотонности, максимумов и минимумов функции

      Теперь посмотрим, как решается еще один вид упражнений. В этом случае мы объясним, как найти максимум и минимум по монотонности функции.

      • Изучите монотонность и вычислите относительные экстремумы следующей функции:

      f(x)=\cfrac{x^2}{x-1}

      Первое, что нужно сделать, это вычислить область определения функции. Поскольку функция рациональна, нам нужно установить знаменатель равным 0, чтобы увидеть, какие числа не принадлежат области определения функции:

      x-1=0

      x=1

      \text{Dom } f= \mathbb{R}-\{1 \}

      После того, как мы вычислили область определения функции, нам нужно изучить, какие точки сокращают первую производную. Таким образом, мы выводим функцию:

      f(x)=\cfrac{x^2}{x-1} \ \longrightarrow \ f'(x)= \cfrac{2x\cdot (x-1) - x^2\cdot 1}{\left(x-1\right)^2}

      f'(x)=\cfrac{2x^2-2x - x^2}{\left(x-1\right)^2}

      f'(x)=\cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}

      А теперь приравняем производную к 0 и решим уравнение:

      f'(x)=0

      \cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}=0

      Термин

      \left(x-1\right)^2}

      Это предполагает деление всей левой части, чтобы мы могли умножить ее на всю правую часть:

      x^2-2x=0\cdot \left(x-1\right)^2

      x^2-2x=0

      Выделим общий множитель для решения квадратного уравнения:

      x(x-2)=0

      Чтобы умножение было равно 0, один из двух элементов умножения должен быть нулем. Поэтому мы устанавливаем каждый фактор равным 0 и получаем два решения уравнения:

      \displaystyle x\cdot(x-2) =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x=0} \\[2ex] x-2=0 \ \longrightarrow \ \bm{x= 2} \end{cases}

      После того, как мы вычислили область определения функции и

      f'(x)=0

      , представляем все критические точки, найденные на прямой:

      И мы оцениваем знак производной в каждом интервале, чтобы узнать, увеличивается или уменьшается функция. Для этого мы берем точку в каждом интервале (никогда не критические точки) и смотрим, какой знак имеет производная в этой точке:

      f'(x)=\cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}

      f'(-1) = \cfrac{(-1)^2-2(-1)}{\left((-1)-1\right)^2} =\cfrac{+3}{+4} = +0,75 \ \rightarrow \ \bm{+}

      f'(0,5) = \cfrac{0,5^2-2\cdot0,5}{\left(0,5-1\right)^2} = \cfrac{-0,75}{+0,25} = -3 \ \rightarrow \ \bm{-}

      f'(1,5) = \cfrac{1,5^2-2\cdot1,5}{\left(1,5-1\right)^2} = \cfrac{-0,75}{+0,25} = -3 \ \rightarrow \ \bm{-}

      f'(3) = \cfrac{3^2-2\cdot3}{\left(3-1\right)^2} =\cfrac{+3}{+4} = +0,75 \ \rightarrow \ \bm{+}

      Если производная положительна, это означает, что функция возрастает, а если производная отрицательна, это означает, что функция убывает. Следовательно, интервалы роста и падения составляют:

      Рост:

      \bm{(-\infty, 0)\cup (2,+\infty)}

      Снижаться:

      \bm{(0,1)\cup (1,2)}

      Кроме того, при x=0 функция переходит от возрастания к убыванию, поэтому x=0 является относительным максимумом функции . А при x=2 функция переходит от убывания к увеличению, поэтому x=2 является относительным минимумом функции.

      И, наконец, подставляем найденные точки в исходную функцию, чтобы найти координату Y концов:

      f(0)=\cfrac{0^2}{0-1} = \cfrac{0}{-1} = 0 \ \longrightarrow \ (0,0)

      f(2)=\cfrac{2^2}{2-1} = \cfrac{4}{1} = 4 \ \longrightarrow \ (2,4)

      Короче говоря, относительные экстремумы функции таковы:

      Максимум в точку

      \bm{(0,0)}

      Минимум для точки

      \bm{(2,4)}

      Решенные упражнения на максимумы и минимумы функции

      Упражнение 1

      Рассчитайте относительные экстремумы следующей полиномиальной функции и определите, являются ли они максимумами или минимумами:

      f(x)=x^3-3x^2-9x

      Упражнение 2

      Вычислите относительные экстремумы следующей показательной функции и определите, являются ли они максимумами или минимумами:

      f(x)=e^x(x-1)

      Упражнение 3

      Изучите монотонность и найдите относительные экстремумы следующей рациональной функции:

      \displaystyle f(x)=\frac{x -1 }{x^2+1}

      Упражнение 4

      Мы знаем, что функция

      f(x)=x^2+ax+b

      пройти через точку

      (1,-2)

      и имеет относительный крайний уровень

      x= -1 .

      Определить значение неизвестных

      a

      и ценность

      b .

Оставьте комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *