Максимум и минимум функции (относительные экстремумы)

В этой статье вы узнаете, как вычислить максимум и минимум функции, мы объясним вам это, шаг за шагом решив два примера. Кроме того, вы сможете попрактиковаться с помощью пошаговых упражнений на максимумы и минимумы функции.

Что такое максимум и минимум функции?

Максимумы функции — это самые большие значения функции, а минимумы функции — это наименьшие значения функции. Максимумы и минимумы функции являются относительными экстремумами , когда они представляют только самые большие или наименьшие значения в своей среде, но они являются абсолютными экстремумами , когда они представляют самые большие или наименьшие значения всей функции.

максимумы и минимумы функции

Вы также можете выявить относительные экстремумы, изучая рост и убывание функции :

  • Точка является относительным максимумом , когда функция переходит от возрастания к убыванию.
  • Точка является относительным минимумом , когда функция переходит от убывания к возрастанию.

Как найти максимум и минимум функции

По первой и второй производной функции мы можем узнать, имеет ли функция относительный экстремум в какой-либо точке и является ли эта точка относительным максимумом или относительным минимумом:

  • Функция имеет экстремум относительно точек, которые сокращают ее первую производную.

    • f'(a)=0 \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un extremo relativo}

  • А знак второй производной функции определяет, является ли точка максимумом или минимумом:
    • Если вторая производная отрицательна, функция имеет относительный максимум в этой точке.

      • f''(a)<0 \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un m\'aximo relativo}

    • Если вторая производная положительна, функция имеет относительный минимум в этой точке.

      • f''(a)>0 \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un m\’inimo relativo}» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»19″ width=»356″ style=»vertical-align: -5px;»></p> </p> </ul> </li> </ul> </div> <h2 class= Пример 1: Как вычислить максимум и минимум функции

      После того, как мы увидели определения максимума и минимума функции, мы шаг за шагом решим пример, чтобы вы могли увидеть, как вычисляются максимум и минимум функции.

      • Рассчитайте относительные экстремумы следующей функции и определите, являются ли они максимумами или минимумами:

      f(x)=x^3-3x

      Относительными экстремумами функции будут точки, удовлетворяющие

      f'(x)=0

      . Поэтому сначала вычислим производную функции:

      f(x)=x^3-3x \ \longrightarrow \ f'(x)=3x^2-3

      А теперь приравняем производную функции нулю и решим полученное квадратное уравнение:

      f'(x)=0

      3x^2-3=0

      3x^2=3

      x^2=\cfrac{3}{3}

      x^2=1

      x= \pm 1

      Следовательно, относительные экстремумы функции равны x=+1 и x=-1.

      Зная относительные экстремумы функции, мы можем узнать, являются ли они максимумом или минимумом со знаком второй производной. Поэтому вычисляем вторую производную функции:

      f'(x)=3x^2-3 \ \longrightarrow \ f''(x)=6x

      И теперь мы оцениваем во второй производной относительные экстремумы, которые мы нашли ранее, чтобы узнать, являются ли они относительным максимумом или минимумом:

      f''(1)=6\cdot 1 = 6 \ \longrightarrow

      Относительный минимум

      f''(-1)=6\cdot (-1) = -6 \ \longrightarrow

      Максимальный относительный

      Вторая производная при x=1 положительна, поэтому x=1 является относительным минимумом . С другой стороны, вторая производная при x=-1 отрицательна, поэтому x=-1 является относительным максимумом .

      Наконец, мы подставляем найденные точки в исходную функцию, чтобы найти координату Y относительных экстремумов:

      f(1)=1^3-3\cdot 1=-2 \ \longrightarrow \ (1,-2)

      f(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)= 2 \ \longrightarrow \ (-1,2)

      В заключение отметим, что относительные экстремумы функции таковы:

      Минимум для точки

      \bm{(1,-2)}

      Максимум в точку

      \bm{(-1,2)}

      Пример 2: Изучение монотонности, максимумов и минимумов функции

      Теперь посмотрим, как решается еще один вид упражнений. В этом случае мы объясним, как найти максимум и минимум по монотонности функции.

      • Изучите монотонность и вычислите относительные экстремумы следующей функции:

      f(x)=\cfrac{x^2}{x-1}

      Первое, что нужно сделать, это вычислить область определения функции. Поскольку функция рациональна, нам нужно установить знаменатель равным 0, чтобы увидеть, какие числа не принадлежат области определения функции:

      x-1=0

      x=1

      \text{Dom } f= \mathbb{R}-\{1 \}

      После того, как мы вычислили область определения функции, нам нужно изучить, какие точки сокращают первую производную. Таким образом, мы выводим функцию:

      f(x)=\cfrac{x^2}{x-1} \ \longrightarrow \ f'(x)= \cfrac{2x\cdot (x-1) - x^2\cdot 1}{\left(x-1\right)^2}

      f'(x)=\cfrac{2x^2-2x - x^2}{\left(x-1\right)^2}

      f'(x)=\cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}

      А теперь приравняем производную к 0 и решим уравнение:

      f'(x)=0

      \cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}=0

      Термин

      \left(x-1\right)^2}

      Это предполагает деление всей левой части, чтобы мы могли умножить ее на всю правую часть:

      x^2-2x=0\cdot \left(x-1\right)^2

      x^2-2x=0

      Выделим общий множитель для решения квадратного уравнения:

      x(x-2)=0

      Чтобы умножение было равно 0, один из двух элементов умножения должен быть нулем. Поэтому мы устанавливаем каждый фактор равным 0 и получаем два решения уравнения:

      \displaystyle x\cdot(x-2) =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x=0} \\[2ex] x-2=0 \ \longrightarrow \ \bm{x= 2} \end{cases}

      После того, как мы вычислили область определения функции и

      f'(x)=0

      , представляем все критические точки, найденные на прямой:

      И мы оцениваем знак производной в каждом интервале, чтобы узнать, увеличивается или уменьшается функция. Для этого мы берем точку в каждом интервале (никогда не критические точки) и смотрим, какой знак имеет производная в этой точке:

      f'(x)=\cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}

      f'(-1) = \cfrac{(-1)^2-2(-1)}{\left((-1)-1\right)^2} =\cfrac{+3}{+4} = +0,75 \ \rightarrow \ \bm{+}

      f'(0,5) = \cfrac{0,5^2-2\cdot0,5}{\left(0,5-1\right)^2} = \cfrac{-0,75}{+0,25} = -3 \ \rightarrow \ \bm{-}

      f'(1,5) = \cfrac{1,5^2-2\cdot1,5}{\left(1,5-1\right)^2} = \cfrac{-0,75}{+0,25} = -3 \ \rightarrow \ \bm{-}

      f'(3) = \cfrac{3^2-2\cdot3}{\left(3-1\right)^2} =\cfrac{+3}{+4} = +0,75 \ \rightarrow \ \bm{+}

      Если производная положительна, это означает, что функция возрастает, а если производная отрицательна, это означает, что функция убывает. Следовательно, интервалы роста и падения составляют:

      Рост:

      \bm{(-\infty, 0)\cup (2,+\infty)}

      Снижаться:

      \bm{(0,1)\cup (1,2)}

      Кроме того, при x=0 функция переходит от возрастания к убыванию, поэтому x=0 является относительным максимумом функции . А при x=2 функция переходит от убывания к увеличению, поэтому x=2 является относительным минимумом функции.

      И, наконец, подставляем найденные точки в исходную функцию, чтобы найти координату Y концов:

      f(0)=\cfrac{0^2}{0-1} = \cfrac{0}{-1} = 0 \ \longrightarrow \ (0,0)

      f(2)=\cfrac{2^2}{2-1} = \cfrac{4}{1} = 4 \ \longrightarrow \ (2,4)

      Короче говоря, относительные экстремумы функции таковы:

      Максимум в точку

      \bm{(0,0)}

      Минимум для точки

      \bm{(2,4)}

      Решенные упражнения на максимумы и минимумы функции

      Упражнение 1

      Рассчитайте относительные экстремумы следующей полиномиальной функции и определите, являются ли они максимумами или минимумами:

      f(x)=x^3-3x^2-9x

      Относительными экстремумами функции будут точки, в которых первая производная функции равна нулю. Поэтому вычисляем производную функции:

      f(x)=x^3-3x^2-9x \ \longrightarrow \ f'(x)=3x^2-6x-9

      И теперь решаем уравнение

      f'(x)=0:

      f'(x)=0

      3x^2-6x-9=0

      У нас есть квадратное уравнение, поэтому для его решения применим общую формулу:

      \begin{aligned} x &=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =\cfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 3 \cdot (-9)}}{2\cdot 3}=\\[1.5ex]&=\cfrac{6 \pm \sqrt{144}}{6}=\cfrac{6 \pm 12}{6} =\begin{cases} \cfrac{6 + 12}{6}=\cfrac{18}{6}= 3 \\[4ex] \cfrac{6 - 12}{6}=\cfrac{-6}{6}=-1 \end{cases} \end{aligned}

      Следовательно, относительными экстремумами функции являются точки x=3 и x=-1.

      Зная относительные экстремумы функции, мы можем узнать, являются ли они максимумом или минимумом со знаком второй производной. Поэтому мы снова дифференцируем функцию:

      f'(x)=3x^2-6x-9 \ \longrightarrow \ f''(x)=6x-6

      А теперь оценим вычисленные ранее точки во второй производной:

      f''(3)=6(3)-6=18-6 = +12 \ \longrightarrow \ \text{M\'inimo}

      f''(-1)=6(-1)-6=-6-6 = -12 \ \longrightarrow \ \text{M\'aximo}

      Вторая производная при x=3 положительна, поэтому x=3 является минимумом . А вторая производная при x=-1 отрицательна, поэтому x=-1 является максимальным .

      И, наконец, подставляем найденные точки в исходную функцию, чтобы найти координату Y концов:

      f(3)=3^3-3\cdot 3^2-9\cdot3=-27 \ \longrightarrow \ (3,-27)

      f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2-9(-1)=5 \ \longrightarrow \ (-1,5)

      Короче говоря, относительные экстремумы функции таковы:

      Минимум относительно точки

      \bm{(3,-27)}

      Максимум относительно точки

      \bm{(-1,5)}

      Упражнение 2

      Вычислите относительные экстремумы следующей показательной функции и определите, являются ли они максимумами или минимумами:

      f(x)=e^x(x-1)

      Во-первых, нам нужно дифференцировать функции. Для этого применим формулу производной произведения:

      f'(x)=e^x\cdot (x-1)+ e^x\cdot 1

      f'(x)=xe^x -e^x +e^x = xe^x

      И теперь решаем уравнение

      f'(x)=0:

      f'(x)=0

      xe^x=0

      \displaystyle x\cdot e^x =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x=0} \\[2ex] e^x=0 \ \color{red}\bm{\times} \end{cases}

      Число, возведенное в другое, никогда не может дать 0. Следовательно,

      e^x=0

      не имеет решения и единственным относительным экстремумом является

      x=0

      .

      Теперь мы вычисляем вторую производную функции, чтобы знать, является ли относительный экстремум максимумом или минимумом:

      f'(x)= xe^x \ \longrightarrow \ f''(x)= 1\cdot e^x + x \cdot e^x = e^x+xe^x

      А теперь оценим во второй производной экстремум, который мы нашли ранее, чтобы увидеть, максимум это или минимум:

      f''(0)= e^{0}+0\cdot e^{0} = 1+0\cdot 1 = 1 \ \longrightarrow \ \text{M\'inimo}

      Поскольку вторая производная при x=0 положительна, x=0 является относительным или локальным минимумом .

      Наконец, мы подставляем точку, найденную в исходной функции, чтобы найти другую конечную координату:

      f(0)=e^{0}(0-1) =1\cdot (-1)=-1 \ \longrightarrow \ (0,-1)

      Таким образом, единственным относительным экстремумом функции является:

      Минимум для точки

      \bm{(0,-1)}

      Упражнение 3

      Изучите монотонность и найдите относительные экстремумы следующей рациональной функции:

      \displaystyle f(x)=\frac{x -1 }{x^2+1}

      Сначала определяем область определения функции. Для этого приравняем знаменатель дроби нулю и решим полученное квадратное уравнение:

      x^2+1 = 0

      Выражение

      x^2+1

      Оно никогда не будет 0, поскольку результатом x 2 всегда будет положительное число или 0. Следовательно, добавление 1 никогда не даст 0. Таким образом, область определения функции состоит только из действительных чисел:

      \text{Dom } f= \mathbb{R}

      Далее изучаем, какие точки совпадают

      f'(x)=0.

      Дифференцируем функцию, используя правило фактора:

      f(x)=\cfrac{x -1 }{x^2+1} \ \longrightarrow \ f'(x)= \cfrac{1 \cdot (x^2+1) - (x-1) \cdot 2x }{\left(x^2+1}\right)^2}

      f'(x)= \cfrac{x^2+1-(2x^2-2x)}{\left(x^2+1\right)^2} = \cfrac{x^2+1-2x^2+2x}{\left(x^2+1\right)^2}= \cfrac{-x^2+2x+1}{\left(x^2+1\right)^2}

      Приравняем производную к 0 и решим уравнение:

      f'(x)= 0

      \cfrac{-x^2+2x+1}{\left(x^2+1\right)^2}=0

      -x^2+2x+1=0\cdot \left(x^2+1\right)^2

      -x^2+2x+1=0

      У нас есть квадратное уравнение, поэтому для его решения воспользуемся общей формулой:

      \begin{aligned}x &=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =\cfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot (-1) \cdot 1}}{2\cdot (-1)} = \\[1.5ex]&=\cfrac{-2 \pm \sqrt{8}}{-2} =\begin{cases} \cfrac{-2 + \sqrt{8}}{-2}= -0,41 \\[4ex] \cfrac{-2 - \sqrt{8}}{-2}= 2,41\end{cases} \end{aligned}

      После того, как мы вычислили область определения функции и

      f'(x)=0

      , представим все особые точки, найденные на числовой прямой:

      А теперь оценим знак производной на каждом интервале, чтобы узнать, возрастает или убывает функция. Поэтому мы берем точку в каждом интервале (никогда не особые точки) и смотрим, какой знак имеет производная в этой точке:

      f'(-1)= \cfrac{-(-1)^2+2(-1)+1}{\left((-1)^2+1\right)^2}}= \cfrac{-2}{+4} =-0,5 \ \rightarrow \ \bm{-}

      f'(0)= \cfrac{-0^2+2(0)+1}{\left(0^2+1\right)^2}}= \cfrac{+1}{+1} =+1 \ \rightarrow \ \bm{+}

      f'(3)= \cfrac{-3^2+2\cdot 3+1}{\left(3^2+1\right)^2}}= \cfrac{-2}{+100} =-0,02 \ \rightarrow \ \bm{-}

      Если производная положительна, это означает, что функция возрастает в этом интервале, а если производная отрицательна, это означает, что функция убывает. Следовательно, интервалы роста и падения составляют:

      Рост:

      \bm{(-0,41 \ , \ 2,41)}

      Снижаться:

      \bm{(-\infty \ , \ -0,41)\cup (2,41 \ , \ +\infty)}

      Функция переходит от убывания к увеличению при x=-0,41, поэтому x=-0,41 является локальным минимумом функции. А функция переходит от возрастания к убыванию при x=2,41, поэтому x=2,41 является локальным максимумом функции.

      Наконец, подставляем найденные экстремумы в исходную функцию, чтобы найти координаты Y точек:

      f(-0,41)=\cfrac{-0,41 -1 }{(-0,41)^2+1} = \cfrac{-1,41}{1,17}= -1,21 \ \longrightarrow \ (-0,41 \ , \ -1,21)

      f(2,41)=\cfrac{2,41 -1 }{2,41^2+1} = \cfrac{1,41}{6,81}= 0,21 \ \longrightarrow \ (2,41 \ , \ 0,21)

      Таким образом, относительные экстремумы функции таковы:

      Минимум для точки

      \bm{(-0,41 \ , \ -1,21)}

      Максимум в точку

      \bm{ (2,41 \ , \ 0,21)}

      Упражнение 4

      Мы знаем, что функция

      f(x)=x^2+ax+b

      пройти через точку

      (1,-2)

      и имеет относительный крайний уровень

      x= -1 .

      Определить значение неизвестных

      a

      и ценность

      b .

      Пусть функция имеет относительный экстремум

      x= -1

      это значит, что это выполнено

      f'(-1)=0.

      Поэтому вычисляем производную функции в

      x= -1

      и мы устанавливаем его равным 0:

      f(x) = x^2+ax+b \ \longrightarrow \ f'(x)=2x+a

      \left. \begin{array}{l} f'(-1)=2(-1)+a\\[2ex] f'(-1)=0\end{array} \right\} \longrightarrow 2(-1)+a=0

      И решаем полученное уравнение, чтобы найти значение параметра а:

      2(-1)+a=0

      -2+a=0

      \bm{a=2}

      Таким образом, функция будет:

      f(x)=x^2+ax+b \ \xrightarrow{a \ = \ 2} \ f(x)=x^2+2x+b

      С другой стороны, они говорят нам, что функция проходит через точку

      (1,-2) .

      Это сказать,

      f(1)=-2 .

      Следовательно, мы можем применить это условие, чтобы найти значение переменной b:

      \left. \begin{array}{l} f(1)=1^2+2\cdot1+b \\[2ex] f(1)=-2 \end{array} \right\} \longrightarrow 1^2+2\cdot 1+b = -2

      И решаем полученное уравнение, чтобы найти значение параметра b:

      1^2+2\cdot1+b=-2

      1+2+b=-2

      b=-2-1-2

      \bm{b=-5}

      Таким образом, функция такова:

      f(x)=x^2+2x+b \ \xrightarrow{b \ = \ -5} \ f(x)=x^2+2x-5

Оставьте комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Прокрутить вверх