Ковариация — это статистическая мера, которая помогает понять , как две переменные изменяются вместе . Представьте, что у вас есть две переменные, такие как температура и потребление мороженого. Если при повышении температуры потребление мороженого также увеличивается, то переменные имеют положительную ковариацию. Если, наоборот, при повышении температуры потребление мороженого снижается, то они имеют отрицательную ковариацию.
Ковариация показывает , имеют ли переменные тенденцию изменяться в одном направлении (положительное) или в противоположных направлениях (отрицательное). Если нет четкой закономерности в том, как они изменяются вместе, то ковариация будет близка к нулю, что означает отсутствие сильной линейной связи между переменными.
Как рассчитывается ковариация?
Чтобы вычислить ковариацию между двумя переменными, необходимо иметь набор данных, включающий значения обеих переменных . Затем выполните следующие действия:
- Найдите среднее значение каждой переменной. Сложите все значения каждой переменной и разделите результат на общее количество точек данных. Это даст вам среднее значение каждой переменной.
- Вычтите среднее значение каждой переменной из каждого соответствующего значения. Этот шаг состоит из вычитания среднего значения переменной X из каждого значения X и выполнения того же самого для переменной Y.
- Умножьте результаты предыдущего шага. Для каждого значения, вычтенного на предыдущем шаге, умножьте соответствующий результат другой вычтенной переменной.
- Добавьте продукты из предыдущего шага. Сложите все продукты, полученные на предыдущем шаге, чтобы получить общую стоимость.
- Разделите значение, полученное на предыдущем шаге, на общее количество данных. Это значение представляет собой ковариацию между двумя переменными.
Помните, что ковариация может быть положительной, отрицательной или близкой к нулю. Положительная ковариация указывает на то, что переменные имеют тенденцию двигаться в одном направлении. С другой стороны, отрицательная ковариация указывает на то, что переменные имеют тенденцию меняться в противоположных направлениях. Наконец, ковариация, близкая к нулю, указывает на отсутствие четкой закономерности в том, как они изменяются вместе.
Давайте посмотрим пример, чтобы лучше понять
Давайте представим, что у нас есть две переменные: «учебные часы» (X) и «оценка за экзамен» (Y), и что у нас есть следующие данные для группы из 5 студентов:
Учебные часы (Х): 4, 6, 3, 7, 5.
Результат теста (Д): 85, 90, 80, 95, 88.
Шаг 1. Рассчитайте среднее значение каждой переменной.
Среднее значение X: (4 + 6 + 3 + 7 + 5) ÷ 5 = 5
Среднее значение Y: (85 + 90 + 80 + 95 + 88) ÷ 5 = 86
Шаг 2. Вычтите среднее значение каждой переменной из каждого соответствующего значения.
X – Среднее значение X: -1, 1, -2, 2, 0
Y – Среднее значение Y: -1, 4, -6, 9, 2
Шаг 3 : Умножьте результаты, полученные на предыдущем шаге.
(-1) · (-1) = 1
1 4 = 4
(-2) · (-6) = 12
2 9 = 18
0 2 = 0
Шаг 4 : Добавьте продукты, полученные на предыдущем шаге.
1 + 4 + 12 + 18 + 0 = 35
Шаг 5: Разделите значение, полученное на предыдущем шаге, на общее количество данных.
35 ÷ 5 = 7
Тогда ковариация между переменными «учебные часы» и «оценка на экзамене» равна 7.
В чем разница между дисперсией и ковариацией?
Дисперсия — это мера, которая указывает на статистическую дисперсию или изменчивость набора данных. Он рассчитывается как среднее значение квадратов отклонений отдельных значений от среднего. Высокая дисперсия означает , что данные разбросаны или далеки от среднего значения , тогда как низкая дисперсия означает, что данные ближе к среднему значению.
С другой стороны, ковариация — это мера, которая показывает , как две переменные движутся вместе . Это мера совместного изменения двух переменных. Если ковариация положительна, это указывает на то, что две переменные имеют тенденцию увеличиваться или уменьшаться вместе. Если ковариация отрицательна, это указывает на то, что одна переменная имеет тенденцию увеличиваться, когда другая уменьшается. Ковариация, близкая к нулю, указывает на то, что переменные не имеют сильной линейной связи.
Короче говоря, дисперсия измеряет изменчивость самого набора данных, а ковариация измеряет соотношение совместных вариаций между двумя переменными.
Насколько важна ковариация?
Ковариация является важной мерой в статистике и анализе данных по нескольким причинам. Обычно он используется для оценки силы и направления связи между двумя переменными. Значение ковариации, близкое к нулю, указывает на слабую связь или ее отсутствие , а высокое значение указывает на сильную связь между переменными.
С другой стороны, стоит отметить, что это полезный инструмент для моделирования и прогнозирования данных . Его можно использовать в расширенных методах анализа данных, таких как линейная регрессия и анализ временных рядов, чтобы понять, как изменения одной переменной могут повлиять на другую переменную.
Это также имеет большое значение в управлении финансовыми рисками. Это позволяет оценить, как два финансовых актива движутся вместе, что имеет основополагающее значение для диверсификации инвестиционных портфелей и оценки риска и доходности различных активов.
Каковы основные применения ковариации?
Ковариация является важным инструментом анализа данных и имеет несколько применений. Одним из основных применений ковариации является статистика и эконометрика . Он используется для измерения соотношения совместных вариаций между двумя переменными, что может помочь нам понять, как они изменяются вместе.
В финансах ковариация используется для оценки взаимосвязи между доходностью различных финансовых активов , таких как акции, облигации или недвижимость. Это помогает инвесторам понять, как активы работают вместе и как можно диверсифицировать инвестиции для управления рисками.
В анализе рисков и управлении портфелем ковариация используется для расчета диверсификации риска , то есть того, как коррелируют доходности различных активов. Низкая ковариация между двумя активами указывает на то, что они с меньшей вероятностью будут двигаться в одном направлении, что может быть полезно для снижения риска портфеля.
Кроме того, ковариация также используется в таких областях, как науки об окружающей среде, биология, психология и инженерия, где изучаются отношения между различными переменными, чтобы понять их поведение и сделать прогнозы.
Важно отметить, что ковариация имеет некоторые ограничения, например , она не является стандартизированной мерой и не отражает нелинейные связи между переменными. Тем не менее, он остается ценным инструментом анализа данных, позволяющим понять, как две переменные развиваются вместе и как связаны их совместные вариации.
Ковариационные свойства
Давайте посмотрим на некоторые из наиболее важных свойств ковариации ниже:
- Ковариация между двумя переменными может быть положительной , что указывает на то, что они имеют тенденцию двигаться в одном направлении. С другой стороны, если ковариация отрицательна, это означает, что они имеют тенденцию двигаться в противоположных направлениях . Если ковариация равна нулю, между переменными нет линейной зависимости.
- В отличие от корреляции, ковариация не ограничена определенным диапазоном и не имеет стандартизированных единиц измерения . Это может затруднить сравнение ковариаций из разных шкал или единиц.
- Наличие экстремальных или выпадающих значений в данных может оказать существенное влияние на ковариацию. Это может привести к высокой или низкой ковариации, даже если связь между переменными не является сильной .
- Ковариация между двумя переменными симметрична , что означает, что ковариация X по отношению к Y равна ковариации Y по отношению к X. По сути, ковариация основана на совместном изменении двух переменных.
- Важно отметить, что ковариация не обязательно подразумевает причинно-следственную связь между переменными . Он показывает только направление и величину совместных изменений между переменными, но не устанавливает прямой причинно-следственной связи.
пример ковариации
Как мы уже знаем, все становится понятнее на примерах. Поэтому мы проанализируем этот простой пример ковариации для лучшего понимания.
Рассмотрим две новые переменные, A и B, со следующими данными:
А = (а1, а2, а3) = (2, 5, 7)
В = (b1, b2, b3) = (6, 3, 1)
Сначала вычислим среднее арифметическое каждой из переменных:
А’ = (2 + 5 + 7) ÷ 3 = 4,67
В’ = (6 + 3 + 1) ÷ 3 = 3,33
После того, как мы вычислили средние арифметические, приступаем к расчету ковариации:
Cov(A, B) = (2 – 4,67) · (6 – 3,33) + (5 – 4,67) · (3 – 3,33) + (7 – 4,67) · (1 – 3,33) ÷ 3 = -2,33
В этом случае значение ковариации отрицательное. Это указывает на то, что переменные A и B имеют отрицательную связь, а это означает, что когда одна переменная увеличивается, другая переменная имеет тенденцию к уменьшению. Однако, чтобы лучше понять взаимосвязь между А и В, необходимо вычислить линейную корреляцию .
Также важно учитывать, что ковариации различных переменных нельзя сравнивать , поскольку единица измерения ковариации та же, что и у рассматриваемых переменных. Следовательно, вы не можете сравнивать ковариацию таких переменных, как доход и возраст, например, из-за их разных единиц измерения.