Функция тангенса – маторность

На этой странице вы найдете все о функции тангенса: что это такое, какова ее формула, как ее представить на графике, характеристики функции, ее период и т.д. Кроме того, вы сможете увидеть примеры касательных функций, чтобы полностью понять концепцию. Он даже объясняет теорему о касательной и связи, которые имеет касательная функция с другими тригонометрическими соотношениями.

Формула касательной функции

Касательная функция угла α — это тригонометрическая функция, формула которой определяется как отношение противоположной ветви к смежной (или смежной) ветви прямоугольного треугольника (треугольника с прямым углом).

тангенс - это тригонометрическая функция

Этот тип математической функции также называется тангенциальной, тангеноидной или тангенциальной функцией. И это можно выразить аббревиатурой «тг» или даже «тан».

Функция тангенса — одно из трёх самых известных тригонометрических отношений, наряду с синусом и косинусом угла.

Характеристические значения функции тангенса

Существуют определенные углы, которые часто повторяются, поэтому удобно знать значение функции тангенса при этих углах:

С другой стороны, функция тангенса может быть связана с функциями синуса и косинуса следующим фундаментальным тригонометрическим тождеством:

$\text{tg } \alpha = \cfrac{\text{sen }\alpha}{\text{cos }\alpha}$

Таким образом, знак касательной функции зависит от квадранта, в котором находится угол:

Если угол принадлежит первой четверти, то ее тангенс будет положительным, так как в этой четверти синус и косинус также положительны.
Если угол попадает во вторую четверть, то ее тангенс будет отрицательным, поскольку в этой четверти синус положителен, а косинус отрицателен.
Если угол находится в третьем квадранте, его тангенс будет положительным, поскольку в этом квадранте синус и косинус отрицательны.
Если угол находится в четвертом квадранте, его тангенс будет отрицательным, так как в этом квадранте синус отрицателен, а косинус положителен.

Графическое представление функции тангенса

С помощью таблицы значений, которую мы видели в предыдущем разделе, мы можем построить график функции тангенса. Построив график функции тангенса, мы получим:

Как видно из графика, значения изображений функции тангенса не ограничены, в отличие от функций синуса и косинуса. Кроме того, значения повторяются каждые 180 градусов (π радиан), поэтому это периодическая функция , период которой равен 180º.

С другой стороны, на этом графике мы видим, что касательная функция нечетна , поскольку ее противоположные элементы имеют противоположные изображения, или, другими словами, она симметрична относительно начала координат (0,0). Например, тангенс 45° равен 1, а тангенс -45° равен -1.

Наконец, мы также можем видеть, что функция тангенса имеет вертикальные асимптоты . Например, он подходит очень близко к линии x=90º, но никогда не касается ее, и то же самое происходит каждые 180 градусов. Это означает, что предел функции в этих точках стремится к бесконечности.

Свойства касательной функции

Касательная функция имеет следующие характеристики:

Областью определения функции тангенса являются все действительные числа, кроме точек, в которых существует вертикальная асимптота:

$\displaystyle \text{Dom } f = \mathbb{R} - \left\{(2k+1)\cdot \frac{\pi}{2} \right\} \qquad k \in \mathbb{Z}$

$\displaystyle \text{Dom } f = \mathbb{R} - \left\{\ldots \ , \ -\frac{\pi}{2} \ , \ \frac{\pi}{2} \ , \ \frac{3\pi}{2} \ , \ \ldots \right\}$

Диапазон или диапазон функции тангенса — это все действительные числа.

$\text{Im } f= \mathbb{R}$

Это непрерывная и нечетная функция с периодичностью π.

$\displaystyle \text{tg}(-x) =- \text{tg }x$

Этот тип тригонометрической функции имеет единственную точку пересечения с осью y (ось Y) в точке (0,0).

$(0,0)$

Вместо этого он периодически пересекает абсциссу (ось X) в нескольких координатах числа Пи.

$\displaystyle (k\pi ,0) \qquad k \in \mathbb{Z}$

Функция строго возрастает во всей области определения, поэтому не имеет ни максимума, ни минимума.

Производная тангенса:

$f(x)=\text{tg } x \ \longrightarrow \ f'(x)= 1+\text{tg}^2 x=\cfrac{1}{\text{cos}^2 x} =\text{sec}^2 x$

Наконец, интеграл от касательной функции равен:

$\displaystyle \int \text{tg } x \ dx= -\ln \lvert \text{cos }x \rvert + C$

Период касательной функции

В отличие от других тригонометрических функций, таких как синус и косинус, функция тангенса не имеет величины, поскольку не имеет ни максимального, ни минимального значения. Однако это периодическая функция, то есть ее значения повторяются с частотой, как мы видели на ее графике.

$\displaystyle f(x)= \text{tg}(wx)$

Период касательной функции — это расстояние между двумя точками, в которых график повторяется, и рассчитывается по следующей формуле:

$\displaystyle \text{Periodo}=T=\cfrac{\pi}{w}$

теорема о касательной

Хотя формула касательной обычно используется в прямоугольных треугольниках, существует также теорема, применимая к любому типу треугольников: теорема о касательной.

Теорема о касательной связывает стороны и углы любого треугольника следующим образом:

$\displaystyle \cfrac{a+b}{a-b} = \cfrac{ \text{tg}\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{\text{tg}\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}$

$\displaystyle \cfrac{a+c}{a-c} = \cfrac{ \text{tg}\left(\frac{\alpha+\gamma \vphantom{\beta}}{2}\right)}{\text{tg}\left(\frac{\alpha-\gamma\vphantom{\beta}}{2}\right)}$

$\displaystyle \cfrac{b+c}{b-c} = \cfrac{ \text{tg}\left(\frac{\beta+\gamma}{2}\right)}{\text{tg}\left(\frac{\beta-\gamma}{2}\right)}$

Связь функции тангенса с другими тригонометрическими отношениями

Ниже приведены связи тангенса с наиболее важными тригонометрическими соотношениями тригонометрии.

Отношения с грудью

Тангенс и синус угла связаны следующим образом:

$\displaystyle \text{tg }\alpha = \pm \cfrac{\text{sen }\alpha }{\sqrt{1-\text{sen}^2\alpha \vphantom{\bigl( }}}$

Косинусное соотношение

Аналогично тангенс и косинус угла связаны следующим равенством:

$\displaystyle \text{tg }\alpha = \pm \cfrac{\sqrt{1-\text{cos}^2\alpha \vphantom{\bigl( }} }{\text{cos }\alpha}$

Связь с косекансом

Хотя это и трудно доказать, тангенс можно решить так, чтобы он зависел только от косеканса:

$\displaystyle \text{tg }\alpha = \pm \cfrac{1}{\sqrt{\text{csc}^2\alpha -1 \vphantom{\bigl( }}}$

Отношения с секансом

Тангенс и секанс угла связаны следующим уравнением:

$\displaystyle \text{tg }\alpha = \pm\sqrt{\text{sec}^2\alpha -1$

Связь с котангенсом

Тангенс и котангенс являются мультипликативными обратными числами:

$\displaystyle \text{tg }\alpha =\pm \cfrac{1}{\text{cot }\alpha}$

Функция касательной