Гиперболическая функция косинуса

Здесь вы найдете все о функции гиперболического косинуса: какова ее формула, ее графическое представление, ее характеристики, математические связи с другими функциями и т. д.

Формула гиперболического косинуса

Функция гиперболического косинуса является одной из основных гиперболических функций и обозначается символом cosh(x) . Гиперболический косинус равен сумме e ^x плюс e ^-x , разделенной на 2.

Следовательно, формула гиперболического косинуса имеет вид:

$\displaystyle\text{cosh}(x)=\cfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}$

Таким образом, гиперболический косинус математически связан с показательной функцией. По следующей ссылке вы можете увидеть свойства этого типа функции:

➤ См.: свойства показательной функции.

Графическое изображение гиперболического косинуса

Графическое представление функции гиперболического косинуса имеет форму квадратичной функции (или параболы):

➤ См.: Графическое представление квадратичной функции .

На этом графике мы ясно видим, что гиперболический косинус является четной функцией, поскольку он симметричен относительно оси Y.

С другой стороны, график гиперболического косинуса сильно отличается от графика косинуса (тригонометрической функции), который является периодической функцией. Графическое представление косинуса и все различия с гиперболическим косинусом вы можете увидеть по следующей ссылке:

➤ См.: графическое представление функции косинуса.

Характеристики гиперболического косинуса

Гиперболический косинус обладает следующими свойствами:

Областью определения функции гиперболического косинуса являются все действительные числа:

$\text{Dom } f = \mathbb{R}$

Вместо этого диапазон (или диапазон) функции гиперболического косинуса равен 1 и все числа больше 1:

$\text{Im } f= [1,+\infty)$

Гиперболический косинус — непрерывная и четная функция.

$\displaystyle \text{cosh}(-x)=\text{cosh}(x)$

Функция пересекает ось Y в точке x=0.

$(0,1)$

С другой стороны, функция не имеет точки пересечения с осью X.

Два предела бесконечности (положительный и отрицательный) гиперболической функции косинуса дают плюс бесконечность.

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\text{cosh}(x)=+\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\text{cosh}(x)=+\infty$

Гиперболический косинус уменьшается до тех пор, пока x = 0, а затем бесконечно увеличивается, поэтому функция имеет минимум при x = 0.

$(0,1)$

Функция выпукла во всей своей области определения, поэтому у нее нет точки перегиба.

Производной функции гиперболического косинуса является гиперболический синус:

$f(x)=\text{cosh}(x) \ \longrightarrow \ f'(x)=\text{senh}(x)$

Интеграл от функции гиперболического косинуса представляет собой гиперболический синус:

$\displaystyle \int \text{cosh}(x) \ dx= \text{senh}(x) + C$

Полином Тейлора (или ряд Маклорена) гиперболической функции косинуса выглядит следующим образом:

$\displaystyle\text{cosh}(x)=1+\cfrac{x^2}{2!}+\cfrac{x^4}{4!}+\cfrac{x^6}{6!}+\dots=\sum_{n=0}^\infty\cfrac{x^{2n}}{(2n)!}$

Преобразование Лапласа функции гиперболического косинуса выглядит следующим образом:

$\mathcal{L}\bigl[\text{cosh}(at)\bigr]=\cfrac{s}{s^2-a^2}$

Математические соотношения гиперболического косинуса

Далее мы увидим, как гиперболический косинус можно вычислить из других гиперболических функций, поскольку все они математически связаны.

Фундаментальное уравнение связывает гиперболический косинус с гиперболическим синусом:

$\text{cosh}^2(x)-\text{senh}^2(x)=1$

➤ См.: гиперболический синус.

Три основные гиперболические функции (гиперболический синус, косинус и тангенс) могут быть связаны следующим уравнением:

$\text{tanh}(x)=\cfrac{\text{senh}(x)}{\text{cosh}(x)}$

С другой стороны, гиперболический косинус сложения (или вычитания) двух разных чисел можно определить по следующим формулам:

$\text{cosh}(x+y)=\text{cosh}(x)\text{cosh}(y)+\text{senh}(y)\text{senh}(x)$

$\text{cosh}(x-y)=\text{cosh}(x)\text{cosh}(y)-\text{senh}(y)\text{senh}(x)$

Гиперболический косинус удвоенного числа равен сумме квадратов гиперболического косинуса и гиперболического синуса этого числа:

$\text{cosh}(2x)=\text{cosh}^2(x)+\text{senh}^2(x)$

Сложение или вычитание двух гиперболических косинусов можно рассчитать, применяя следующие формулы:

$\displaystyle\text{cosh}(x)+\text{cosh}(y)=2\text{cosh}\left(\frac{x+y}{2}\right)\text{cosh}\left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\displaystyle\text{cosh}(x)-\text{cosh}(y)=2\text{senh}\left(\frac{x+y}{2}\right)\text{senh}\left(\frac{x-y}{2}\right)$

Наконец, квадрат гиперболического косинуса можно вычислить по следующей формуле:

$\text{cosh}^2(x)=\cfrac{1}{2}\Bigl(\text{cosh}(2x)+1\Bigr)$

Формула гиперболического косинуса

Графическое изображение гиперболического косинуса

Характеристики гиперболического косинуса

Математические соотношения гиперболического косинуса

Оставьте комментарий Отменить ответ