▷ Resolva a indeterminação zero entre zero (0/0)

Neste artigo explicamos como salvar o limite de uma função quando ela dá incerteza 0/0. Além disso, você poderá praticar com exercícios resolvidos sobre a indeterminação de zero entre zero.

Como resolver a indeterminação zero entre zero (0/0)

Veremos então como calcular o limite de uma função quando ela dá indeterminação zero entre zero (0/0). Para fazer isso, calcularemos um exemplo passo a passo:

$\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2-x-2}{x^2-3x+2}$

Primeiro tentamos calcular o limite substituindo o valor de x na função:

$\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - x -2}{x^2-3x+2}=\frac{2^2 -2-2}{2^2-3\cdot 2+2}=\frac{0}{0}$

Mas obtemos a indeterminação 0 dividida por 0.

Quando o limite de uma função pontual dá a incerteza 0/0 , é necessário fatorar os polinômios do numerador e do denominador e depois simplificar os fatores comuns.

Devemos, portanto, fatorar os polinômios do numerador e denominador da fração. Para fazer isso, usamos a regra de Ruffini:

➤ Se você não sabe como fatorar um polinômio , recomendamos que veja a explicação em nosso site especializado em polinômios: www.polinomios.org

Assim, uma vez fatorados os polinômios, o limite é o seguinte:

$\displaystyle\lim_{x \to 2} \cfrac{x^2-x-2}{x^2-3x+2}=\lim_{x \to 2}\frac{(x+1)(x-2)}{(x-1)(x-2)}$

Podemos agora simplificar o limite eliminando os fatores que se repetem no numerador e no denominador da fração:

$\displaystyle\lim_{x \to 2} \cfrac{(x+1)\cancel{(x-2)}}{(x-1)\cancel{(x-2)}}=\lim_{x \to 2} \cfrac{(x+1)}{(x-1)}$

E finalmente, recalculamos o limite:

$\displaystyle\lim_{x \to 2} \cfrac{x+1}{x-1}=\cfrac{2+1}{2-1}=\cfrac{3}{1}=\bm{3}$

Como você pode ver, uma vez fatorados e simplificados os polinômios, é muito fácil encontrar a solução no limite.

Indeterminação 0/0 com raízes

Acabamos de ver como as indeterminações 0/0 das funções racionais são resolvidas. Porém, se o limite for de uma função irracional (ou radical), a indeterminação 0/0 é resolvida de forma diferente.

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$

Primeiro, tentamos resolver o limite realizando as seguintes operações:

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x}-1}=\frac{1-1}{\sqrt{1}-1}=\frac{0}{0}$

Mas obtemos zero sobre zero indeterminação.

Se o limite de uma função com raízes dá indeterminação 0/0 , deve-se multiplicar o numerador e o denominador da fração pelo conjugado da expressão radical.

➤ Lembre-se que o conjugado é a mesma expressão irracional, mas com o sinal do meio modificado.

A seguir, multiplicamos o numerador e o denominador da fração pelo conjugado da expressão radical:

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\left(x-1\right)\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)}$

Dentro deste tipo de limites, ao realizar este passo obteremos sempre uma identidade notável que podemos simplificar. Neste caso, no denominador temos o produto de uma soma e uma diferença, portanto:

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\left(x-1\right)\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}\right)^2-1^2}$

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\left(x-1\right)\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)}{x-1}$

Simplificamos o fator que se repete no numerador e no denominador:

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\cancel{\left(x-1\right)}\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)}{\cancel{x-1}}=\lim_{x \to 1}\left(\sqrt{x}+1\right)$

E desta forma podemos encontrar o resultado do limite:

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\left(\sqrt{x}+1\right)=\sqrt{1}+1=2$

Exercícios resolvidos sobre indeterminação 0/0

Abaixo preparamos vários exercícios resolvidos passo a passo sobre os limites de funções que fornecem indeterminações 0/0. Você pode tentar fazê-los e depois verificar a solução.

Não se esqueça que você pode nos tirar qualquer dúvida sobre como resolver limites nos comentários!

Exercício 1

Calcule o limite da seguinte função racional no ponto x=-2.

$\displaystyle\lim_{x \to -2}\frac{x^2 +2x}{x^2-x-6}$

Veja a solução

Logicamente, primeiro tentamos resolver o limite:

$\displaystyle\lim_{x \to -2} \frac{x^2 +2x}{x^2-x-6}=\frac{(-2)^2+2\cdot (-2)}{(-2)^2-(-2)-6}=\frac{4-4}{4+2-6}=\frac{0}{0}$

Mas acabamos com indeterminação 0/0. Devemos, portanto, fatorar os polinômios do numerador e do denominador:

$\displaystyle\lim_{x \to -2}\frac{x^2 +2x}{x^2-x-6}=\lim_{x \to -2}\frac{x(x+2)}{(x+2)(x-3)}$

Agora simplificamos a fração removendo os parênteses que se repetem no numerador e no denominador:

$\displaystyle\lim_{x \to -2}\frac{x\cancel{(x+2)}}{\cancel{(x+2)}(x-3)}=\lim_{x \to -2}\frac{x}{x-3}$

E por fim, recalculamos o limite com a fração simplificada:

$\displaystyle\lim_{x \to -2}\frac{x}{x-3}=\cfrac{-2}{-2-3}=\cfrac{-2}{-5}=\mathbf{\cfrac{2}{5}}$

Exercício 2

Resolva o limite da seguinte função quando x se aproxima de -1:

$\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{x^3+2x^2-x-2}{x^3-5x^2+2x+8}$

Veja a solução

Primeiro tentamos resolver o limite normalmente:

$\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{x^3+2x^2-x-2}{x^3-5x^2+2x+8}=\frac{(-1)^3+2(-1)^2-(-1)-2}{(-1)^3-5(-1)^2+2(-1)+8} =\frac{0}{0}$

Mas obtemos a indeterminação 0 entre 0. Devemos, portanto, fatorar os 2 polinômios da fração:

$\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{x^3+2x^2-x-2}{x^3-5x^2+2x+8}=\lim_{x \to -1}\frac{(x-1)(x+1)(x+2)}{(x+1)(x-2)(x-4)}$

Agora podemos simplificar os polinômios:

$\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{(x-1)\cancel{(x+1)}(x+2)}{\cancel{(x+1)}(x-2)(x-4)}=\lim_{x \to -1}\frac{(x-1)(x+2)}{(x-2)(x-4)}$

E resolvemos o limite:

$\displaystyle\lim_{x \to -1} \frac{(x-1)(x+2)}{(x-2)(x-4)}=\frac{ (-1-1)(-1+2)}{(-1-2)(-1-4)}=\frac{(-2)\cdot (1)}{(-3)\cdot (-5)}=\frac{\bm{-2}}{\bm{15}}$

Exercício 3

Determine a solução do limite da seguinte função radical:

$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^2-3x+2}{2-\sqrt{2x}}$

Veja a solução

Primeiro, verificamos se o limite dá algum tipo de indeterminação:

$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^2-3x+2}{2-\sqrt{2x}}=\frac{2^2-3\cdot2+2}{2-\sqrt{2\cdot 2}}=\frac{4-6+2}{2-2}=\frac{0}{0}$

O limite dá a indeterminação zero dividido por zero e temos uma raiz na função. Devemos, portanto, multiplicar o numerador e o denominador da fração pelo conjugado da expressão radical:

$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{\left(x^2-3x+2\right)\cdot \left(2+\sqrt{2x}\right)}{\left(2-\sqrt{2x}\right)\cdot \left(2+\sqrt{2x}\right)}$

O denominador corresponde ao desenvolvimento da identidade notável do produto de uma soma e uma diferença, podemos portanto simplificá-lo:

$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{\left(x^2-3x+2\right)\cdot \left(2+\sqrt{2x}\right)}{2^2-\left(\sqrt{2x}\right)^2}$

$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{\left(x^2-3x+2\right)\cdot \left(2+\sqrt{2x}\right)}{4-2x}$

No entanto, ainda não podemos simplificar os termos da fração. Devemos, portanto, fatorar os polinômios:

$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{\left(x^2-3x+2\right)\cdot \left(2+\sqrt{2x}\right)}{4-2x}=\lim_{x\to 2}\frac{(x-1)(x-2)\cdot\left(2+\sqrt{2x}\right)}{-2(x-2)}$

Desta forma podemos simplificar a fração:

$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{(x-1)\cancel{(x-2)}\left(2+\sqrt{2x}\right)}{-2\cancel{(x-2)}}=\lim_{x\to 2}\frac{(x-1)\left(2+\sqrt{2x}\right)}{-2}$

E agora podemos determinar o resultado do limite:

$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{(x-1)\left(2+\sqrt{2x}\right)}{-2}=\frac{(2-1)\left(2+\sqrt{2\cdot 2}\right)}{-2}=\frac{1\cdot (2+2)}{-2}=\bm{-2}$

Exercício 4

Calcule o limite quando x se aproxima de 0 da seguinte função radical:

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x^2+6x}{3-\sqrt{4x+9}}$

Veja a solução

Primeiro, tentamos calcular o limite da função como sempre fazemos:

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x^2+6x}{3-\sqrt{4x+9}}=\frac{0+0}{3-\sqrt{4\cdot 0+9}}=\frac{0}{3-3}=\frac{0}{0}$

Mas obtemos a forma indeterminada de 0/0. Portanto, multiplicamos o numerador e o denominador da função pelo conjugado da expressão irracional:

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\left(x^2+6x\right)\cdot\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{\left(3-\sqrt{4x+9}\right)\cdot\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}$

Aplicamos a fórmula de identidade notável correspondente para simplificar o denominador:

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\left(x^2+6x\right)\cdot\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{3^2-\left(\sqrt{4x+9}\right)^2}$

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\left(x^2+6x\right)\cdot\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{9-(4x+9)}$

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\left(x^2+6x\right)\cdot\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{-4x}$

Agora fatoramos o binômio do numerador tomando o fator comum:

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\left(x^2+6x\right)\cdot\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{-4x}=\lim_{x\to 0}\frac{\bigl[x(x+6)\bigr]\cdot\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{-4x}$

Simplificamos os fatores que se repetem no numerador e no denominador da função:

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\cancel{x}\left(x+6\right)\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{-4\cancel{x}}=\lim_{x\to 0}\frac{(x+6)\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{-4}$

E, finalmente, resolvemos o limite da função:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{(x+6)\left(3+\sqrt{4x+9}\right)}{-4}=\\[3ex]\displaystyle=\frac{(0+6)\left(3+\sqrt{4\cdot 0+9}\right)}{-4}=\\[3ex]\displaystyle=\frac{6\cdot (3+3)}{-4}=\frac{36}{-4}=\bm{-9}\end{array}$

Exercício 5

Resolva o seguinte limite usando o método de indeterminação 0/0:

$\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{x^3+2x^2-x-2}{x^3+5x^2+7x+3}$

➤ Veja: como calcular os limites laterais de uma função

Veja a solução

Primeiro tentamos resolver o limite:

$\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{x^3+2x^2-x-2}{x^3+5x^2+7x+3}=\frac{(-1)^3+2(-1)^2-(-1)-2}{(-1)^3+5(-1)^2+7(-1)+3}=\frac{0}{0}$

Mas no limite obtemos indeterminação zero sobre zero. Portanto, fatoramos os polinômios do numerador e do denominador:

$\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{x^3+2x^2-x-2}{x^3+5x^2+7x+3}=\lim_{x \to -1}\frac{(x-1)(x+1)(x+2)}{(x+1)^2(x+3)}$

Agora simplificamos a fração eliminando os fatores que se repetem no numerador e no denominador:

$\displaystyle\lim_{x \to -1} \cfrac{(x-1)\cancel{(x+1)}(x+2)}{(x+1)^{\cancel{2}}(x+3)}=\lim_{x \to -1}\cfrac{(x-1)(x+2)}{(x+1)(x+3)}$

E calculamos o limite novamente:

$\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{(x-1)(x+2)}{(x+1)(x+3)}=\frac{(-1-1)(-1+2)}{(-1+1)(-1+3)}=\frac{-2\cdot 1}{0 \cdot 2}=\frac{-2}{0} =\infty$

Mas agora nos encontramos com a indeterminação de um número dividido por 0. Devemos, portanto, calcular os limites laterais da função quando x tende a -1.

Primeiro resolvemos o limite lateral da função no ponto x=-1 à esquerda:

$\displaystyle\lim_{x \to -1^{-}}\frac{(x-1)(x+2)}{(x+1)(x+3)}=\frac{(-1-1)\cdot (-1+2)}{(-1+1)\cdot (-1+3)}=\frac{-2}{-0}=+\infty$

E então calculamos o limite lateral da função no ponto x=-1 à direita:

$\displaystyle\lim_{x \to -1^{+}}\frac{(x-1)(x+2)}{(x+1)(x+3)}=\frac{(-1-1)\cdot (-1+2)}{(-1+1)\cdot (-1+3)}=\frac{-2}{+0}=-\infty$

Portanto, como os dois limites laterais não coincidem, o limite da função em x=-1 não existe:

$\displaystyle\displaystyle \lim_{x \to -1^-}f(x)= +\infty\neq\lim_{x \to -1^+}f(x)=-\infty\ \bm{\longrightarrow} \ \cancel{\exists} \lim_{x \to -1} f(x)$

Indeterminação zero entre zero (0/0)

Como resolver a indeterminação zero entre zero (0/0)

Indeterminação 0/0 com raízes

Exercícios resolvidos sobre indeterminação 0/0

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 4

Exercício 5

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