{"id":98,"date":"2023-07-17T06:09:40","date_gmt":"2023-07-17T06:09:40","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/pt\/polinomios-fatoriais\/"},"modified":"2023-07-17T06:09:40","modified_gmt":"2023-07-17T06:09:40","slug":"polinomios-fatoriais","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/pt\/polinomios-fatoriais\/","title":{"rendered":"Como fatorar polin\u00f4mios"},"content":{"rendered":"<p><strong>O que \u00e9 fatora\u00e7\u00e3o polinomial?<\/strong> \u00c9 uma t\u00e9cnica matem\u00e1tica que permite decompor um <a href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\/polinomial\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">polin\u00f4mio<\/a> em fatores ou express\u00f5es mais simples. E gra\u00e7as a esta simplifica\u00e7\u00e3o poderemos realizar opera\u00e7\u00f5es entre diversas express\u00f5es alg\u00e9bricas de forma mais f\u00e1cil e confort\u00e1vel. Assim, ao longo deste artigo, discutiremos diferentes m\u00e9todos de fatora\u00e7\u00e3o de polin\u00f4mios e todos os casos poss\u00edveis de fatora\u00e7\u00e3o.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"como-factorizar-un-polinomio\"> <span id=\"Como_factorizar_un_polinomio\">Como fatorar um polin\u00f4mio?<\/span><\/h2>\n<p> Existem muitos <strong>m\u00e9todos de fatora\u00e7\u00e3o<\/strong> que possuem sua pr\u00f3pria estrutura de solu\u00e7\u00e3o, mas, em \u00faltima an\u00e1lise, dependem da mesma coisa. Al\u00e9m disso, voc\u00ea tamb\u00e9m pode encontrar uma grande variedade de casos relacionados \u00e0 configura\u00e7\u00e3o polinomial. \u00c9 por isso que nas se\u00e7\u00f5es a seguir discutiremos todos os procedimentos existentes e quando usar cada um deles. Por fim, iremos aplic\u00e1-lo a um exemplo real para que voc\u00ea termine de adquirir os conceitos.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"factorizar-un-polinomio-con-la-regla-de-ruffini\"> <span id=\"Factorizar_un_polinomio_con_la_regla_de_Ruffini\">Fatore um polin\u00f4mio com a regra de Ruffini<\/span><\/h2>\n<p> O m\u00e9todo mais utilizado para fatorar polin\u00f4mios \u00e9 <a href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\/calculadora-ruffini\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">a regra de Ruffini<\/a> , pois \u00e9 f\u00e1cil de usar e o resultado pode ser encontrado rapidamente. O normal \u00e9 usar esta t\u00e9cnica para fatorar polin\u00f4mios de grau maior que dois, ou mesmo \u00e0s vezes para fatorar polin\u00f4mios de segundo grau. Uma vez que permite <strong>obter as ra\u00edzes deste polin\u00f4mio<\/strong> de forma muito gr\u00e1fica. Embora esse uso seja explicado na pr\u00f3xima se\u00e7\u00e3o, que enfoca as ra\u00edzes de uma express\u00e3o matem\u00e1tica desse tipo. <\/p>\n<div class=\"wp-block-media-text alignwide is-stacked-on-mobile\" style=\"grid-template-columns:36% auto\">\n<figure class=\"wp-block-media-text__media\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"291\" height=\"732\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/factoriser-le-polynome-avec-ruffini.webp\" data-src=\"\" alt=\"Fatore o polin\u00f4mio com Ruffini\" class=\"wp-image-5364 size-full lazyload\" data-srcset=\"https:\/\/micalculadoracientifica.com\/wp-content\/uploads\/2021\/09\/Factorizar-polinomio-con-Ruffini.png 291w, https:\/\/micalculadoracientifica.com\/wp-content\/uploads\/2021\/09\/Factorizar-polinomio-con-Ruffini-199x500.png 199w\" sizes=\"auto, \" srcset=\"\"><\/figure>\n<div class=\"wp-block-media-text__content\">\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"como-hacer-ruffini-para-factorizar-polinomios\"> Como fazer Ruffini para fatorar polin\u00f4mios?<\/h3>\n<p> Basicamente teremos que <strong>escrever os coeficientes do dividendo<\/strong> em uma linha horizontal e o valor de uma poss\u00edvel raiz do polin\u00f4mio ao lado. Dizemos poss\u00edvel porque teremos que procurar um divisor que nos permita obter um resto igual a zero. Caso contr\u00e1rio, este n\u00famero n\u00e3o ser\u00e1 uma raiz v\u00e1lida e voc\u00ea ter\u00e1 que continuar tentando.<\/p>\n<p> Como dica, recomendamos que voc\u00ea experimente apenas os n\u00fameros divisores do termo independente (\u00faltimo valor da linha horizontal). Ent\u00e3o, para saber se o n\u00famero que voc\u00ea escolheu est\u00e1 correto, basta seguir a seguinte <strong>sequ\u00eancia de c\u00e1lculos<\/strong> :<\/p>\n<p> Voc\u00ea diminui o coeficiente, multiplica-o pela raiz que est\u00e1 testando, escreve abaixo do pr\u00f3ximo coeficiente e faz a adi\u00e7\u00e3o vertical. Basta repetir estes passos at\u00e9 o final e, quando terminar, voc\u00ea saber\u00e1 se este valor est\u00e1 correto ou n\u00e3o. Uma vez que apenas os n\u00fameros que d\u00e3o um resto zero ser\u00e3o v\u00e1lidos.<\/p>\n<p> Se o procedimento matem\u00e1tico que voc\u00ea precisa seguir n\u00e3o estiver muito claro para voc\u00ea, veja o exemplo na coluna \u00e0 esquerda deste texto. Al\u00e9m disso, recomendamos tentar fatorar o seguinte polin\u00f4mio: <strong>x\u00b3 + 2x\u00b2 \u2013 x \u2013 2<\/strong> (com base no exemplo). E por \u00faltimo, para saber se resolveu o exerc\u00edcio corretamente ou n\u00e3o, voc\u00ea pode comparar seu resultado com este:<\/p>\n<ul>\n<li> Express\u00e3o em excesso = x\u00b2 + 3x + 2<\/li>\n<li> resto = 0<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/div>\n<p> Faremos agora uma breve explica\u00e7\u00e3o sobre a <strong>aplica\u00e7\u00e3o de Ruffini na fatora\u00e7\u00e3o<\/strong> . Por\u00e9m, se voc\u00ea quiser saber detalhadamente como esse recurso matem\u00e1tico \u00e9 utilizado, recomendamos que voc\u00ea acesse o \u00faltimo artigo que vinculamos, pois l\u00e1 est\u00e1 tudo muito bem explicado. Dito isto, vamos come\u00e7ar explicando como fatorar polin\u00f4mios com a regra de Ruffini:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Desenhamos a grade:<\/strong> como podemos ver na imagem acima, criaremos uma caixa na qual faremos o Ruffini. Basicamente, deve-se escrever os coeficientes da express\u00e3o ordenados horizontalmente e sem deixar aqueles que t\u00eam valor zero. No final, voc\u00ea dever\u00e1 ter uma representa\u00e7\u00e3o semelhante \u00e0 da imagem mas com os valores do seu polin\u00f4mio.<\/li>\n<li> <strong>Calculamos as ra\u00edzes:<\/strong> depois de desenharmos a estrutura e nos certificarmos de que todos os n\u00fameros est\u00e3o escritos corretamente, procederemos ao c\u00e1lculo da raiz. Voc\u00ea precisar\u00e1 encontrar as ra\u00edzes seguindo a sequ\u00eancia de c\u00e1lculo de que falamos logo acima desta lista (com as imagens).<\/li>\n<li> <strong>Expressamos a raiz na forma (x \u2013 a):<\/strong> quando temos todas as ra\u00edzes do polin\u00f4mio ent\u00e3o devemos express\u00e1-las na seguinte forma (x \u2013 a). Levando em considera\u00e7\u00e3o que a s\u00e3o os valores que obtivemos, por exemplo se extra\u00edmos como resultado x = 2, x = -2 e x = 4, ent\u00e3o obteremos (x \u2013 2), (x + 2) e ( x \u2013 4).<\/li>\n<li> <strong>Reunimos todos os fatores em uma \u00fanica express\u00e3o:<\/strong> finalmente, quando j\u00e1 tivermos todas as ra\u00edzes expressas no formato correto, teremos apenas que reuni-las em uma \u00fanica express\u00e3o alg\u00e9brica. Continuando com o exemplo anterior, ter\u00edamos algo assim: (x \u2013 2) \u00b7 (x + 2) \u00b7 (x \u2013 4). <\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"factorizar-un-polinomio-usando-las-raices-de-un-polinomio\"> <span id=\"Factorizar_un_polinomio_usando_las_raices_de_un_polinomio\">Fatore um polin\u00f4mio usando as ra\u00edzes de um polin\u00f4mio<\/span><\/h2>\n<p> Explicamos parcialmente o conceito de raiz de um polin\u00f4mio na se\u00e7\u00e3o de Ruffini. Mas, a defini\u00e7\u00e3o exata seria: a raiz de um polin\u00f4mio P(x) \u00e9 um valor num\u00e9rico a, tal que <strong>P(a) = 0<\/strong> . \u00c9 portanto um n\u00famero capaz de anular a fun\u00e7\u00e3o ou polin\u00f4mio em quest\u00e3o. Em resumo, poder\u00edamos dizer que serve para decompor um polin\u00f4mio em um produto de fatores.<\/p>\n<p> Por exemplo, se recebermos a seguinte express\u00e3o x\u00b2 \u2212 x \u2212 2 e a fatorarmos usando a regra de Ruffini ou simplesmente resolvendo a equa\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica x\u00b2 \u2212 x \u2212 2 = 0. Obteremos dois valores de x = -1 e x = 2, ent\u00e3o se os mudarmos para o formato (x \u2013 a) e os juntarmos, chegaremos \u00e0 seguinte express\u00e3o: (x + 1) (x \u2212 2), ou seja, o <strong>polin\u00f4mio fatorado<\/strong> . E podemos aplicar isto a polin\u00f3mios de grau maior que dois, embora a express\u00e3o seja composta por mais de um termo.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"factorizar-un-polinomio-por-extraccion-de-factor-comun\"> <span id=\"Factorizar_un_polinomio_por_extraccion_de_factor_comun\">Fatora\u00e7\u00e3o de um polin\u00f4mio por extra\u00e7\u00e3o de fator comum<\/span><\/h2>\n<p> Quando queremos fatorar polin\u00f4mios sem termo independente ou express\u00f5es que possuem um fator comum em todos os termos, podemos simplificar o polin\u00f4mio usando esta t\u00e9cnica. Basicamente envolve <strong>aplicar a propriedade distributiva<\/strong> a toda a express\u00e3o, remover aquele fator comum repetido e adicion\u00e1-lo multiplicando o polin\u00f4mio inteiro. Abaixo voc\u00ea encontrar\u00e1 um exemplo do primeiro caso de que falamos (polin\u00f4mio sem termo independente):<\/p>\n<p> 2x\u00b3 + 10x\u00b2 \u2013 6x = 2x (x\u00b2 + 5x \u2013 3)<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"doble-extraccion-de-factor-comun\"> Extra\u00e7\u00e3o dupla do fator comum<\/h3>\n<p> A extra\u00e7\u00e3o de fatores comuns pode at\u00e9 ser feita extraindo fatores mais complexos, que incluem m\u00faltiplas vari\u00e1veis. E voc\u00ea pode at\u00e9 extrair polin\u00f4mios derivados da pr\u00f3pria express\u00e3o principal. \u00c9 importante n\u00e3o estabelecer limites quando se deseja realizar este tipo de opera\u00e7\u00e3o, pois o objetivo da extra\u00e7\u00e3o de fatores \u00e9 <strong>simplificar ao m\u00e1ximo uma express\u00e3o alg\u00e9brica<\/strong> .<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"factorizacion-de-polinomios-mediante-identidades-notables\"> <span id=\"Factorizacion_de_polinomios_mediante_identidades_notables\">Fatora\u00e7\u00e3o de polin\u00f4mios usando identidades not\u00e1veis<\/span><\/h2>\n<p> <a href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Produtos not\u00e1veis<\/a> podem nos ajudar a fatorar express\u00f5es polinomiais, uma vez que s\u00e3o express\u00f5es alg\u00e9bricas simplificadas. Portanto, ajudam-nos a passar diretamente de um polin\u00f3mio longo para uma pequena f\u00f3rmula composta por alguns termos. Portanto, \u00e9 altamente recomend\u00e1vel aprender as <strong>f\u00f3rmulas das identidades not\u00e1veis<\/strong> para poder identificar rapidamente quando voc\u00ea pode us\u00e1-las. E, portanto, economizando tempo com Ruffini ou qualquer outro m\u00e9todo. A seguir, abordaremos as tr\u00eas regras que voc\u00ea precisa aprender:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Diferen\u00e7a de quadrados:<\/strong> a\u00b2 \u2013 b\u00b2 = (a + b) \u00b7 (a \u2013 b)<\/li>\n<li> <strong>Quadrado da soma:<\/strong> a\u00b2 + 2ab + b\u00b2 = (a + b)\u00b2<\/li>\n<li> <strong>Quadrado de subtra\u00e7\u00e3o:<\/strong> a\u00b2 \u2013 2ab + b\u00b2 = (a \u2013 b)\u00b2<\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"factorizacion-de-polinomios-por-agrupacion\"> <span id=\"Factorizacion_de_polinomios_por_agrupacion\">Fatora\u00e7\u00e3o de polin\u00f4mios por agrupamento<\/span><\/h2>\n<p> Em alguns casos podemos encontrar um polin\u00f4mio de estrutura <strong>x\u00b2 \u2013 ax \u2013 bx + ab<\/strong> , que pode ser simplificado removendo um fator comum: x (x \u2013 a) \u2013 b (x \u2013 a). E se tomarmos novamente o fator comum, ele pode ser ainda mais simplificado: (x \u2013 a) \u00b7 (x \u2013 b). Portanto, as ra\u00edzes deste polin\u00f4mio seriam x = a e x = b. Como voc\u00ea pode ver, esse tipo de express\u00e3o alg\u00e9brica possui uma estrutura muito f\u00e1cil de fatorar e usar.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"ejercicios-de-factorizacion-de-polinomios\"> <span id=\"Ejercicios_de_factorizacion_de_polinomios\">Exerc\u00edcios de fatora\u00e7\u00e3o polinomial<\/span><\/h2>\n<p> Por fim, queremos oferecer uma <strong>s\u00e9rie de exerc\u00edcios<\/strong> para que voc\u00ea possa praticar a fatora\u00e7\u00e3o de polin\u00f4mios. Assim voc\u00ea poder\u00e1 internalizar melhor a teoria que explicamos hoje. Simplesmente, voc\u00ea deve resolver os exerc\u00edcios em seu caderno e depois comparar os resultados com os que oferecemos a seguir.<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>x <sup>4<\/sup> -1 =<\/strong> (x <sup>2<\/sup> + 1) (x + 1) (x \u2013 1)<\/li>\n<li> <strong>x <sup>5<\/sup> + x <sup>4<\/sup> \u2013 x \u2013 1 =<\/strong> (x \u2013 1) (x + 1) <sup>2<\/sup> (x <sup>2<\/sup> + 1)<\/li>\n<li> <strong><strong><sup>9\u00d72<\/sup><\/strong> + 30x + 25 =<\/strong> (3x + 5) <sup>2<\/sup><\/li>\n<li> <strong>x <sup>4<\/sup> \u2013 3x <sup>3<\/sup> \u2013 3x <sup>2<\/sup> + 11x \u2013 6 =<\/strong> (x + 2) (x \u2013 3) (x \u2013 1) <sup>2<\/sup><\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>O que \u00e9 fatora\u00e7\u00e3o polinomial? \u00c9 uma t\u00e9cnica matem\u00e1tica que permite decompor um polin\u00f4mio em fatores ou express\u00f5es mais simples. 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