A geometria espacial<\/strong> \u00e9 o ramo da geometria respons\u00e1vel pelo estudo das figuras geom\u00e9tricas tridimensionais (3D), ou seja, aquelas que ocupam um lugar no espa\u00e7o. Como o cone, o cubo, a pir\u00e2mide, a esfera, o cilindro, os prismas, os poliedros, etc.<\/p>\n No entanto, nesta p\u00e1gina vamos nos concentrar na geometria anal\u00edtica no espa\u00e7o<\/strong> , a parte da geometria espacial que se concentra na an\u00e1lise de pontos, linhas, planos, nas dist\u00e2ncias entre duas figuras geom\u00e9tricas, no \u00e2ngulo que elas formam, nos pontos de intersec\u00e7\u00e3o entre diferentes geometrias. figuras. elementos, etc <\/p>\n Lembre-se de que a defini\u00e7\u00e3o matem\u00e1tica de uma reta \u00e9 um conjunto de pontos consecutivos representados na mesma dire\u00e7\u00e3o, sem curvas ou \u00e2ngulos.<\/p>\n Assim, para expressar matematicamente qualquer reta em um espa\u00e7o tridimensional (em R3) utilizamos as equa\u00e7\u00f5es da reta, e para encontr\u00e1-las precisamos apenas de um ponto que perten\u00e7a \u00e0 reta e ao vetor diretor dessa reta. <\/p>\n Com apenas esses dois elementos geom\u00e9tricos, voc\u00ea pode encontrar absolutamente todas as diferentes equa\u00e7\u00f5es da reta, que s\u00e3o as seguintes:<\/p>\n As equa\u00e7\u00f5es da reta s\u00e3o a equa\u00e7\u00e3o vetorial<\/strong> , as equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas<\/strong> , a equa\u00e7\u00e3o cont\u00ednua<\/strong> e a equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita (ou geral)<\/strong> .<\/p>\n Abaixo voc\u00ea tem uma explica\u00e7\u00e3o dos diferentes tipos de equa\u00e7\u00f5es da reta. <\/p>\n Sim<\/p>\n<\/p>\n \u00e9 o vetor de dire\u00e7\u00e3o da linha e<\/p>\n um ponto que pertence \u00e0 direita:<\/p>\n<\/p>\n A f\u00f3rmula para a equa\u00e7\u00e3o vetorial da reta<\/strong> \u00e9: <\/p>\n<\/p>\n Podemos obter a f\u00f3rmula para a equa\u00e7\u00e3o param\u00e9trica<\/strong> de uma reta a partir de sua equa\u00e7\u00e3o vetorial igualando componente a componente: <\/p>\n<\/p>\n A f\u00f3rmula para a equa\u00e7\u00e3o cont\u00ednua da reta<\/strong> \u00e9:<\/p>\n<\/p>\n Este tipo de equa\u00e7\u00e3o da reta tamb\u00e9m pode ser obtida a partir de equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas, voc\u00ea pode ver a demonstra\u00e7\u00e3o em nossa p\u00e1gina da equa\u00e7\u00e3o cont\u00ednua<\/a> , al\u00e9m disso, voc\u00ea tamb\u00e9m poder\u00e1 ver exemplos e praticar com exerc\u00edcios resolvidos de equa\u00e7\u00f5es da direita. <\/p>\n Por fim, multiplicando as fra\u00e7\u00f5es da equa\u00e7\u00e3o cont\u00ednua da reta duas por duas, obtemos as equa\u00e7\u00f5es gerais (ou impl\u00edcitas) da reta<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n Este tipo de equa\u00e7\u00e3o da reta tamb\u00e9m \u00e9 chamada de equa\u00e7\u00e3o cartesiana.<\/p>\n Acabamos de ver as 4 equa\u00e7\u00f5es mais relevantes da reta (vetorial, param\u00e9trica, cont\u00ednua e geral), por\u00e9m, existe outra equa\u00e7\u00e3o um tanto particular e, portanto, \u00e9 necess\u00e1ria uma p\u00e1gina inteira para explic\u00e1-la. Esta \u00e9 a equa\u00e7\u00e3o can\u00f4nica<\/a> , neste link voc\u00ea pode ver toda a sua explica\u00e7\u00e3o, porque \u00e9 t\u00e3o especial e o que a diferencia de todas as outras. <\/p>\n Na geometria anal\u00edtica, a equa\u00e7\u00e3o de um plano<\/strong> \u00e9 uma equa\u00e7\u00e3o que permite que qualquer plano seja expresso analiticamente. Assim, para encontrar a equa\u00e7\u00e3o de um plano, basta um ponto e dois vetores linearmente independentes pertencentes a esse plano. <\/p>\n Assim, todos os tipos de equa\u00e7\u00f5es do plano s\u00e3o: a equa\u00e7\u00e3o vetorial<\/strong> , as equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas<\/strong> , a equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita (ou geral)<\/strong> e a equa\u00e7\u00e3o can\u00f4nica (ou segmental)<\/strong> do plano.<\/p>\n A seguir veremos a explica\u00e7\u00e3o e f\u00f3rmula de todas as equa\u00e7\u00f5es do plano. <\/p>\n Dado um ponto e dois vetores de dire\u00e7\u00e3o de um plano:<\/p>\n<\/p>\n A f\u00f3rmula para a equa\u00e7\u00e3o vetorial de um plano<\/strong> \u00e9:<\/p>\n<\/p>\n Ou equivalente:<\/p>\n<\/p>\n Ouro<\/p>\n<\/p>\n E<\/p>\n S\u00e3o dois escalares, ou seja, dois n\u00fameros reais. <\/p>\n Por outro lado, a f\u00f3rmula para a equa\u00e7\u00e3o param\u00e9trica do plano<\/strong> \u00e9: <\/p>\n<\/p>\n A equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita de um plano, tamb\u00e9m chamada de equa\u00e7\u00e3o geral, \u00e9 obtida resolvendo o seguinte determinante e definindo o resultado como 0:<\/p>\n<\/p>\n Assim a equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita ou geral do plano resultante<\/strong> ter\u00e1 a seguinte forma:<\/p>\n<\/p>\n Este tipo de equa\u00e7\u00e3o plana tamb\u00e9m \u00e9 chamada de equa\u00e7\u00e3o plana cartesiana. <\/p>\n A f\u00f3rmula para a equa\u00e7\u00e3o can\u00f4nica ou segmentar de um plano<\/strong> \u00e9 a seguinte:<\/p>\n<\/p>\n Ouro:<\/p>\n Este \u00e9 o ponto de intersec\u00e7\u00e3o entre o plano e o eixo X.<\/li>\n Este \u00e9 o ponto de intersec\u00e7\u00e3o entre o plano e o eixo Y.<\/li>\n \u00c9 aqui que o plano cruza o eixo Z. <\/li>\n<\/ul>\n O vetor normal a um plano \u00e9 um vetor perpendicular a todas as retas contidas neste plano. Portanto, um vetor normal a um plano significa que ele \u00e9 perpendicular ao plano.<\/p>\n Muitos problemas m\u00e9tricos em geometria anal\u00edtica espacial dizem respeito a planos e seus vetores normais. Para resolver estes exerc\u00edcios basta conhecer a rela\u00e7\u00e3o matem\u00e1tica entre um plano e seu vetor normal:<\/p>\n As componentes X, Y, Z do vetor normal a um plano coincidem respectivamente<\/strong><\/strong> com os coeficientes A, B, C da equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita (ou geral) do referido plano.<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Ouro<\/p>\n<\/p>\n \u00e9 o vetor ortogonal ao plano <\/p>\n Obviamente, uma linha ou um plano n\u00e3o precisam necessariamente estar sozinhos no espa\u00e7o, mas pelo contr\u00e1rio, normalmente interagem entre si: se cruzam, s\u00e3o paralelos, perpendiculares, etc. Bem, nesta se\u00e7\u00e3o veremos as diferentes posi\u00e7\u00f5es relativas de retas e planos e como elas s\u00e3o determinadas. <\/p>\n Na geometria anal\u00edtica, ao trabalhar num espa\u00e7o tridimensional (em R3) existem 4 posi\u00e7\u00f5es relativas poss\u00edveis entre duas retas: duas retas podem ser retas coincidentes<\/strong> , retas paralelas<\/strong> , retas secantes<\/strong> ou retas secantes<\/strong> . <\/p>\n Linhas paralelas<\/strong> <\/p>\n Duas retas s\u00e3o paralelas se t\u00eam a mesma dire\u00e7\u00e3o, mas n\u00e3o t\u00eam ponto em comum. Al\u00e9m disso, as linhas paralelas est\u00e3o sempre \u00e0 mesma dist\u00e2ncia umas das outras. <\/p>\n<\/div>\n Linhas coincidentes<\/strong> <\/p>\n Duas retas coincidem se tiverem a mesma dire\u00e7\u00e3o e se todos os seus pontos forem comuns. <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n Linhas de interse\u00e7\u00e3o<\/strong> <\/p>\n Duas linhas que se cruzam t\u00eam dire\u00e7\u00f5es diferentes, mas se tocam em um ponto. <\/p>\n<\/div>\n Linhas de interse\u00e7\u00e3o<\/strong> <\/p>\n Duas linhas que se cruzam t\u00eam dire\u00e7\u00f5es diferentes e n\u00e3o se cruzam em nenhum ponto. Duas linhas cruzadas n\u00e3o est\u00e3o, portanto, no mesmo plano. Por exemplo, na representa\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica acima da linha<\/p>\n<\/p>\n est\u00e1 sempre na frente da linha reta<\/p>\n , ent\u00e3o eles nunca se tocar\u00e3o.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n Uma maneira de encontrar a posi\u00e7\u00e3o relativa de duas linhas \u00e9 calcular os contradom\u00ednios de duas matrizes espec\u00edficas, como veremos a seguir. Este m\u00e9todo \u00e9 muito \u00fatil quando as duas retas s\u00e3o expressas na forma de uma equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita (ou geral).<\/p>\n Assim, se tivermos duas retas expressas com suas equa\u00e7\u00f5es impl\u00edcitas (ou gerais) em um espa\u00e7o tridimensional (em R3):<\/p>\n<\/p>\n Seja A a matriz composta pelos coeficientes das duas retas:<\/p>\n<\/p>\n E dada a matriz expandida A’, que \u00e9 a matriz formada por todos os par\u00e2metros das duas retas:<\/p>\n<\/p>\n Ent\u00e3o, a posi\u00e7\u00e3o relativa das duas linhas pode ser determinada pela extens\u00e3o das duas matrizes anteriores de acordo com a tabela a seguir: <\/p>\n Portanto, para encontrar a posi\u00e7\u00e3o relativa entre duas linhas teremos que calcular os contradom\u00ednios de ambas as matrizes e dependendo do contradom\u00ednio de cada matriz ser\u00e1 um caso ou outro.<\/strong><\/p>\n Este teorema pode ser provado usando o teorema de Rouch\u00e9-Frobenius (m\u00e9todo usado para resolver sistemas de equa\u00e7\u00f5es lineares), por\u00e9m nesta p\u00e1gina n\u00e3o faremos a prova porque \u00e9 bastante complicado e n\u00e3o acrescenta muito. . <\/p>\n Na geometria anal\u00edtica, existem apenas tr\u00eas posi\u00e7\u00f5es relativas poss\u00edveis entre dois planos: planos que se cruzam, planos paralelos e planos coincidentes.<\/p>\n Fotos que se cruzam<\/strong> <\/p>\n planos paralelos<\/strong> <\/p>\n Planos correspondentes<\/strong> <\/p>\n Uma forma de saber a posi\u00e7\u00e3o relativa entre dois planos \u00e9 utilizar os coeficientes de suas equa\u00e7\u00f5es gerais (ou impl\u00edcitas).<\/p>\n Considere ent\u00e3o a equa\u00e7\u00e3o geral (ou impl\u00edcita) de dois planos diferentes:<\/p>\n<\/p>\n A posi\u00e7\u00e3o relativa entre os dois planos num espa\u00e7o tridimensional depende da proporcionalidade dos seus coeficientes ou par\u00e2metros: <\/p>\n Assim, os dois planos se cruzar\u00e3o quando um dos coeficientes A, B ou C n\u00e3o for proporcional aos demais. Por outro lado, os dois planos ser\u00e3o paralelos quando apenas os termos independentes n\u00e3o forem proporcionais. E, finalmente, os planos coincidir\u00e3o quando todos os coeficientes das duas equa\u00e7\u00f5es forem proporcionais.<\/p>\n Abaixo voc\u00ea encontra as f\u00f3rmulas para calcular a dist\u00e2ncia entre diferentes elementos geom\u00e9tricos: entre um ponto e uma reta, entre dois planos, entre um plano e uma reta,\u2026 <\/p>\n A dist\u00e2ncia entre dois pontos corresponde \u00e0 norma do vetor determinado por estes 2 pontos.<\/p>\n Ent\u00e3o, se tivermos dois pontos gen\u00e9ricos:<\/p>\n<\/p>\n A f\u00f3rmula para a dist\u00e2ncia entre os dois pontos \u00e9: <\/p>\n<\/p>\n A f\u00f3rmula para calcular a dist\u00e2ncia de um ponto a uma linha no espa\u00e7o \u00e9:<\/p>\n \n<\/p>\n Ouro:<\/p>\n \u00e9 o m\u00f3dulo do vetor de dire\u00e7\u00e3o da linha<\/p>\n \u00e9 um ponto \u00e0 direita<\/p>\n um ponto na linha<\/p>\n E<\/p>\n o vetor definido pelos dois pontos<\/li>\n \u00e9 o m\u00f3dulo do produto vetorial entre os vetores<\/p>\n E <\/p>\n A dist\u00e2ncia entre duas linhas depende de sua posi\u00e7\u00e3o relativa:<\/p>\n Duas linhas paralelas est\u00e3o sempre \u00e0 mesma dist\u00e2ncia. Ent\u00e3o para calcular a dist\u00e2ncia entre duas retas paralelas no espa\u00e7o (em R3) isso \u00e9 feito da mesma forma que no plano (em R2): basta pegar um ponto em uma das duas retas e encontrar a dist\u00e2ncia a\u00ed \u00e9 deste ponto at\u00e9 a outra linha.<\/strong> <\/p>\n Portanto, para determinar a dist\u00e2ncia entre 2 retas paralelas voc\u00ea deve usar a f\u00f3rmula da dist\u00e2ncia entre um ponto e uma reta.<\/p>\n Seja o vetor de dire\u00e7\u00e3o e qualquer ponto de duas linhas que se cruzam:<\/p>\n<\/p>\n A f\u00f3rmula para a dist\u00e2ncia entre duas linhas que se cruzam \u00e9:<\/p>\n<\/p>\n Ouro:<\/p>\n \u00e9 o valor absoluto do produto misto dos vetores<\/p>\n e o vetor definido pelos pontos<\/p>\n E<\/p>\n .<\/li>\n \u00e9 o m\u00f3dulo do produto vetorial entre os vetores de dire\u00e7\u00e3o das duas linhas cruzadas.<\/li>\n<\/ul>\n<\/span> Equa\u00e7\u00f5es da reta no espa\u00e7o<\/span><\/h2>\n
![\"equa\u00e7\u00f5es](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/equations-de-la-droite-1.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/span> Equa\u00e7\u00e3o vetorial da linha no espa\u00e7o<\/span><\/h3>\n
![\"\\vv{\\text{v}}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-391ac2e3ba0b7f327ba5a0edc1ba162d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"P\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-650eb7688af6737ac325425b5c9a5982_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\\vv{\\text{v}}=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c953822ce25652ca448e94a788a57727_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-acaf0a8e7defa1334cde7e01a2e65f4f_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas da reta no espa\u00e7o<\/span><\/h3>\n
![\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a892d067e1fbbb24d966cf0443eb995e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Equa\u00e7\u00e3o cont\u00ednua da reta no espa\u00e7o<\/span><\/h3>\n
![\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-813bcf24a017b36ee987fcc70fb5adf1_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Equa\u00e7\u00f5es gerais (ou impl\u00edcitas) da reta no espa\u00e7o<\/span><\/h3>\n
![\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1507f641dfa92df09983b3950ee23c80_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Equa\u00e7\u00f5es planas no espa\u00e7o<\/span><\/h2>\n
![\"equa\u00e7\u00e3o](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/equations-planes.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/span> Equa\u00e7\u00e3o vetorial do plano<\/span><\/h3>\n
![\"\\begin{array}{c}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cf5d4130501bb01b15aa80f8f80caf1a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d9227901692832cb0c176a896d35e896_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+\\lambda](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-78b41d21b63c22ec05d3f93576a897e0_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\lambda\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2b5c45836864531b8e37025dabadd24a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\\mu\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-461fe1a58a75801541487ddf10d32abd_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/span> Equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas do plano<\/span><\/h3>\n
![\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e1791802331aa9973126b3d7c7f1b716_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita ou geral do plano<\/span><\/h3>\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-68d67612dfa54d76666aa37b702a472f_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7dcacf16123986ecd33dace4f4411914_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Equa\u00e7\u00e3o can\u00f4nica ou segmentar do plano<\/span><\/h3>\n
![\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7c19853d465a703aa398bde04fa3222c_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n\n
![\"a\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"b\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"c\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-41a04eeea923a1a0c28094a8a4680525_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/span> Vetor normal a um plano<\/span><\/h3>\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-27f3ee5d7e81864550f3b86fdd53e89d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\vv{n}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-10affe1faee06a5faa4ef6d9c0473b1e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\\pi.\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-26622dd58bf71cd1b543c3d83233c561_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Posi\u00e7\u00f5es relativas de dois elementos geom\u00e9tricos no espa\u00e7o<\/span><\/h2>\n
<\/span> Posi\u00e7\u00e3o relativa de duas linhas no espa\u00e7o<\/span><\/h3>\n
![\"posi\u00e7\u00e3o](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/droites-paralleles-a-langle.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"posi\u00e7\u00e3o](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/angle-coincident-lignes.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"posi\u00e7\u00e3o](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/angles-droits-secants.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/lignes-dintersection-1.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"s\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ae1901659f469e6be883797bfd30f4f8_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"r\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c409433a9e2dfcdb83360a974d243f18_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n Como encontrar a posi\u00e7\u00e3o relativa de duas linhas por intervalos<\/h4>\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-500405383e97627c17d01023fd9dd198_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1c96b6990dae5ce476ee55689cf4f4fb_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9199790c5f157691d9307604f25fc873_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f087aea2d9209341c2acf240eab2bc77_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"posi\u00e7\u00f5es](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/positions-relatives-de-deux-lignes-par-plages.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/span> Posi\u00e7\u00e3o relativa de dois planos no espa\u00e7o<\/span><\/h3>\n
\n
![\"posi\u00e7\u00e3o](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/plans-secants.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n![\"posi\u00e7\u00e3o](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/plans-paralleles-1.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n![\"posi\u00e7\u00e3o](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/deux-avions-coincidents.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n Como determinar a posi\u00e7\u00e3o relativa de dois planos por coeficientes<\/h4>\n
![\"\\pi_1](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a363201f1d61e53c35c3484a0fe116d3_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\pi_2](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-330dffa3582cfbd92e893f755d2b06a7_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"posi\u00e7\u00e3o](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/position-relative-de-deux-plans-avec-parametres.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/span> Dist\u00e2ncias no espa\u00e7o<\/span><\/h2>\n
<\/span> Dist\u00e2ncia entre dois pontos<\/span><\/h3>\n
![\"A(a_x,a_y,a_z)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ad4aac8d1ffbf3b22c608d9435b1f218_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-62ca9b73f6ae5d7f30dcef0336f46a82_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Dist\u00e2ncia de um ponto a uma reta<\/span><\/h3>\n
![\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-817d216618a06e8ae0cce36c33c1518b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n\n
![\"\\lvert](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-74f213a2a0ca1a22659ce06a80bc5d07_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"r.\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aa03a29f511592c1a1ecc8b306b0cf0d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/li>\n![\"Q\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2c758bec4c272382411b95fc0e7ee250_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"r,\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-42ca8c420951296e93092e708435813a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"\\vv{QP}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fdca087897cc5ad573be7ce2b595dfb3_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\\lvert](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-de23c83cb189398d246990817a7e83db_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\vv{\\text{v}}_r\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-50f32076ae1ee85f5b7c5a6d43a03089_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/span> Dist\u00e2ncia entre duas linhas<\/span><\/h3>\n
\n
Dist\u00e2ncia entre duas linhas paralelas<\/h4>\n
![\"dist\u00e2ncia](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/distance-entre-un-point-et-une-ligne-en-ligne.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n Dist\u00e2ncia entre duas linhas que se cruzam<\/h4>\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-569f8d554a0f3704d247862d0b8ef852_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-08ea38a7e09c81439fa1527cd45b3b45_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n\n
![\"\\left|\\left[\\vv{\\text{u}},\\vv{\\text{v}},\\vv{AB}\\right]\\right|\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dbc3e38427d29b2f4444ea732f955500_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\\vv{\\text{u}},](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4b6be5a59bbf478047e4f3ace338ee48_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"A\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"B\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-770fd1447ccf2fc229801b486b0d8f8a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\\lvert](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a151f35eca7cc81494de906050e773fa_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n
![\"P(x_0,y_0,z_0)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-224b2b4bb57594d3fa92e148ada43cbf_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b64bff234dc0303219098438374ed049_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"qual](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/distance-dun-point-a-un-plan-de-formule.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"dist\u00e2ncia](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/distance-entre-deux-plans-paralleles.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"\\vv{\\text{u}}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5680e9dcd5de0da47d99114178d1e104_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-622f3563061ace785425ae6d1982173c_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\lvert](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4501274336c637b37c6332eae5c6c229_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\\lvert](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9a59cd4f2581db3318d38a2a77340a64_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\\vv{\\text{u}}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cac24ae79c1e4cbc459f01ed5e4f824e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0be5c4e7144d561d9ade79448036d4dc_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\pi_1](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dfa3d7e6f1ece8353327be7c9227d75b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\pi_2](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2c3966346685421fe3e535cf57a5491d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\vv{n}_1=(A_1,B_1,C_1)\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eb0ca06882e0d61d6f8134368946ef29_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\vv{n}_2=(A_2,B_2,C_2)\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-22fba6a063a544bdf257e64d8d139238_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a0329572a30e8d75bd3795469fe65493_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\vv{\\text{v}}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a3d9337731418dea7088ec8524a171d1_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\vv{n}=(n_x,n_y,n_z)\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ff4913c070cdb4595d69fa08985a1b89_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-acbcd07e1439aae1a46f56592841d23c_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"