{"id":70,"date":"2023-09-16T13:04:23","date_gmt":"2023-09-16T13:04:23","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/pt\/combinacao-linear-de-exemplos-de-vetores-exercicios-resolvidos\/"},"modified":"2023-09-16T13:04:23","modified_gmt":"2023-09-16T13:04:23","slug":"combinacao-linear-de-exemplos-de-vetores-exercicios-resolvidos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/pt\/combinacao-linear-de-exemplos-de-vetores-exercicios-resolvidos\/","title":{"rendered":"Combina\u00e7\u00e3o linear de vetores"},"content":{"rendered":"

Nesta p\u00e1gina voc\u00ea encontrar\u00e1 a explica\u00e7\u00e3o do que significa uma combina\u00e7\u00e3o linear entre vetores. Al\u00e9m disso, voc\u00ea poder\u00e1 ver um exemplo de como um vetor \u00e9 expresso como uma combina\u00e7\u00e3o linear e, al\u00e9m disso, poder\u00e1 praticar com exerc\u00edcios e problemas resolvidos passo a passo. <\/p>\n

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<\/div>\n<\/div>\n

<\/span> O que \u00e9 combina\u00e7\u00e3o linear de vetores?<\/span><\/h2>\n

A defini\u00e7\u00e3o de combina\u00e7\u00e3o linear \u00e9 a seguinte: <\/p>\n

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Uma combina\u00e7\u00e3o linear<\/strong> de um conjunto de vetores \u00e9 o vetor obtido pela soma de todos os vetores do conjunto multiplicado por escalares (n\u00fameros reais).<\/p>\n

Em outras palavras, dado um conjunto de vetores<\/p>\n<\/p>\n

\"\\vv{\\text{v}}_1,<\/p>\n

uma combina\u00e7\u00e3o linear deles seria:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\vv{\\text{w}}=a_1\\vv{\\text{v}}_1+a_2\\vv{\\text{v}}_2+\\dots<\/p>\n<\/p>\n

Onde os coeficientes<\/p>\n<\/p>\n

\"a_i\"<\/p>\n

Estes s\u00e3o n\u00fameros reais.<\/p>\n<\/div>\n

Portanto, um vetor que \u00e9 uma combina\u00e7\u00e3o linear de outros vetores significa que o primeiro pode ser expresso em termos do segundo.<\/p>\n

Este conceito pode ser melhor compreendido representando graficamente um vetor no plano que \u00e9 uma combina\u00e7\u00e3o linear de dois vetores: <\/p>\n

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\"combina\u00e7\u00e3o<\/figure>\n<\/div>\n

Como voc\u00ea pode ver na representa\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica acima, o vetor<\/p>\n<\/p>\n

\"\\vv{\\text{w}}\"<\/p>\n

pode ser obtido a partir de vetores<\/p>\n

\"\\vv{\\text{u}}\"<\/p>\n

E<\/p>\n

\"\\vv{\\text{v}}\"<\/p>\n

realizar opera\u00e7\u00f5es vetoriais. Portanto, o vetor<\/p>\n

\"\\vv{\\text{w}}\"<\/p>\n

\u00e9 uma combina\u00e7\u00e3o linear dos outros dois vetores.<\/p>\n

Deve-se ressaltar que esta combina\u00e7\u00e3o linear \u00e9 \u00fanica<\/strong> , ou seja, existe apenas uma combina\u00e7\u00e3o linear vi\u00e1vel para cada vetor. Visto que, seguindo o exemplo anterior, se multiplicarmos<\/p>\n<\/p>\n

\"\\vv{\\text{u}}\"<\/p>\n

para 6 em vez de 4, obter\u00edamos outro vetor diferente. <\/p>\n

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<\/div>\n<\/div>\n

Al\u00e9m disso, uma das propriedades da combina\u00e7\u00e3o linear no plano (em R2) \u00e9 que qualquer vetor pode ser colocado como uma combina\u00e7\u00e3o linear de dois outros vetores se eles tiverem dire\u00e7\u00f5es diferentes, ou seja, se n\u00e3o forem paralelos.<\/p>\n

Al\u00e9m disso, \u00e0s vezes podemos identificar a olho nu que dois vetores s\u00e3o uma combina\u00e7\u00e3o linear. Para isso, basta que seus componentes sejam proporcionais<\/strong> . Por exemplo, as coordenadas dos dois vetores a seguir s\u00e3o proporcionais e, portanto, os vetores s\u00e3o uma combina\u00e7\u00e3o linear:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\vv{\\text{u}}<\/p>\n<\/p>\n

\"\\cfrac{3}{1}<\/p>\n<\/p>\n

Finalmente, seja num espa\u00e7o vetorial bidimensional (em R2) ou tridimensional (em R3), se existir uma combina\u00e7\u00e3o linear dentro de um conjunto de vetores, isso implica que eles s\u00e3o linearmente dependentes<\/strong> uns dos outros. Por outro lado, se nenhuma combina\u00e7\u00e3o linear for poss\u00edvel entre os vetores, isso significa que eles s\u00e3o linearmente independentes<\/strong> .<\/p>\n

Se este \u00faltimo conceito n\u00e3o estiver totalmente claro para voc\u00ea, recomendamos conferir nossa explica\u00e7\u00e3o sobre vetores linearmente dependentes e independentes<\/a> , aqui voc\u00ea encontrar\u00e1 o que significa vetores serem linearmente dependentes ou independentes, exemplos de cada tipo e as diferen\u00e7as entre eles. . Esse conceito \u00e9 muito utilizado e, de fato, \u00e9 muito questionado nas provas, por isso \u00e9 importante que voc\u00ea o entenda bem. <\/p>\n

<\/span> Como expressar um vetor como uma combina\u00e7\u00e3o linear de outros vetores <\/span><\/h2>\n
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<\/div>\n<\/div>\n

Veremos ent\u00e3o como resolver um problema t\u00edpico em que somos solicitados a determinar a combina\u00e7\u00e3o linear de um vetor.<\/p>\n