{"id":69,"date":"2023-09-16T13:05:25","date_gmt":"2023-09-16T13:05:25","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/pt\/vetores-independentes-e-linearmente-dependentes-independencia-dependencia-linear\/"},"modified":"2023-09-16T13:05:25","modified_gmt":"2023-09-16T13:05:25","slug":"vetores-independentes-e-linearmente-dependentes-independencia-dependencia-linear","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/pt\/vetores-independentes-e-linearmente-dependentes-independencia-dependencia-linear\/","title":{"rendered":"Vetores linearmente independentes e dependentes (independ\u00eancia e depend\u00eancia linear)"},"content":{"rendered":"

Nesta p\u00e1gina explicamos o que s\u00e3o vetores linearmente independentes e linearmente dependentes. Voc\u00ea tamb\u00e9m ver\u00e1 exemplos de como saber se um conjunto de vetores \u00e9 linearmente dependente ou independente. E, al\u00e9m disso, voc\u00ea encontrar\u00e1 exerc\u00edcios e problemas resolvidos passo a passo sobre independ\u00eancia e depend\u00eancia linear. <\/p>\n

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<\/span> O que s\u00e3o vetores linearmente independentes? <\/span><\/h2>\n
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Um conjunto de vetores livres \u00e9 linearmente independente<\/strong> se nenhum deles puder ser escrito como uma combina\u00e7\u00e3o linear dos outros.<\/p>\n

Em outras palavras, dado um conjunto de vetores<\/p>\n<\/p>\n

\"\\vv{\\text{v}}_1,<\/p>\n

Estes s\u00e3o linearmente independentes se a \u00fanica solu\u00e7\u00e3o para a seguinte equa\u00e7\u00e3o:<\/p>\n<\/p>\n

\"a_1\\vv{\\text{v}}_1+a_2\\vv{\\text{v}}_2+\\dots<\/p>\n<\/p>\n

Esses s\u00e3o todos os coeficientes<\/p>\n<\/p>\n

\"a_i\"<\/p>\n

igual a 0: <\/p>\n<\/p>\n

\"a_1=a_2=\\dots<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n

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Geometricamente, dois vetores s\u00e3o linearmente independentes se n\u00e3o tiverem a mesma dire\u00e7\u00e3o, ou seja, se n\u00e3o forem paralelos.<\/p>\n

Para resumir, \u00e0s vezes dizemos diretamente que s\u00e3o vetores LI. Ou que os vetores t\u00eam independ\u00eancia linear. <\/p>\n

<\/span> O que s\u00e3o vetores linearmente dependentes?<\/span><\/h2>\n

Obviamente, vetores linearmente dependentes significam o oposto de vetores linearmente independentes. Sua defini\u00e7\u00e3o \u00e9 portanto: <\/p>\n

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Um conjunto de vetores livres do plano \u00e9 linearmente dependente<\/strong> se algum deles puder ser expresso como uma combina\u00e7\u00e3o linear de outros vetores que formam o sistema.<\/p>\n

Em outras palavras, dado um conjunto de vetores<\/p>\n<\/p>\n

\"\\vv{\\text{v}}_1,<\/p>\n

Eles s\u00e3o linearmente dependentes se existir uma solu\u00e7\u00e3o para a seguinte equa\u00e7\u00e3o:<\/p>\n<\/p>\n

\"a_1\\vv{\\text{v}}_1+a_2\\vv{\\text{v}}_2+\\dots<\/p>\n<\/p>\n

em que tem certo coeficiente<\/p>\n<\/p>\n

\"a_i\"<\/p>\n

\u00e9 diferente de 0: <\/p>\n<\/p>\n

\"a_i\\neq<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n

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O inverso tamb\u00e9m \u00e9 verdadeiro: se um vetor \u00e9 uma combina\u00e7\u00e3o linear de outros vetores, ent\u00e3o todos os vetores do conjunto s\u00e3o linearmente dependentes.<\/p>\n

Al\u00e9m disso, se dois vetores s\u00e3o paralelos, isso implica que s\u00e3o linearmente dependentes.<\/p>\n

\u00c0s vezes eles tamb\u00e9m s\u00e3o abreviados e chamados simplesmente de vetores LD. Ou ainda que os vetores tenham depend\u00eancia linear. <\/p>\n

<\/span> Exemplo de como saber se os vetores s\u00e3o linearmente dependentes ou independentes<\/span><\/h2>\n

Veremos ent\u00e3o um exemplo t\u00edpico de vetores linearmente dependentes e independentes.<\/p>\n