Ser<\/p>\n<\/p>\n
![\"A\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n
uma matriz quadrada. A matriz inversa<\/strong> de<\/p>\n Esta escrevendo<\/p>\n , e \u00e9 esta matriz que satisfaz:<\/p>\n<\/p>\n Ouro<\/p>\n<\/p>\n \u00e9 a matriz de identidade.<\/p>\n<\/div>\n A maneira mais simples de determinar a invertibilidade de uma matriz \u00e9 usar seu determinante:<\/p>\n Principalmente, existem dois m\u00e9todos para inverter qualquer matriz: o m\u00e9todo dos determinantes ou matriz adjunta e o m\u00e9todo de Gauss. Abaixo voc\u00ea tem a explica\u00e7\u00e3o do primeiro, mas tamb\u00e9m pode consultar abaixo como inverter uma matriz com o m\u00e9todo Gauss.<\/p>\n Para calcular o inverso de uma matriz<\/strong> ,<\/p>\n<\/p>\n , a seguinte f\u00f3rmula deve ser aplicada:<\/p>\n<\/p>\n Ouro:<\/p>\n \u00e9 o determinante da matriz<\/p>\n \u00e9 a matriz adjunta de<\/p>\n indica transposi\u00e7\u00e3o de matriz, ou seja, a matriz anexada deve ser transposta.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n Coment\u00e1rio:<\/strong> Alguns livros usam uma f\u00f3rmula de matriz inversa ligeiramente diferente: eles primeiro transp\u00f5em a matriz A e depois calculam sua matriz adjunta, em vez de primeiro calcular a matriz adjunta e depois transp\u00f4-la. Na realidade, a ordem n\u00e3o importa porque o resultado \u00e9 exatamente o mesmo. Deixamos aqui a f\u00f3rmula para inverter uma matriz modificada caso voc\u00ea prefira usar esta: <\/p>\n Veremos ent\u00e3o como encontrar o inverso de uma matriz<\/strong> resolvendo um exerc\u00edcio como exemplo:<\/p>\n Para determinar o inverso da matriz, devemos aplicar a seguinte f\u00f3rmula: <\/p>\n Mas se o determinante da matriz for zero isso significa que a matriz n\u00e3o \u00e9 invert\u00edvel. Portanto, a primeira coisa a fazer \u00e9 calcular o determinante da matriz e verificar se ele \u00e9 diferente de 0:<\/p>\n<\/p>\n O determinante n\u00e3o \u00e9 0<\/strong> , ent\u00e3o a matriz \u00e9 invert\u00edvel<\/strong> .<\/p>\n Portanto, substituindo o valor do determinante na f\u00f3rmula, o inverso da matriz ser\u00e1:<\/p>\n<\/p>\n Devemos agora calcular a matriz suplente de A. Para fazer isso, devemos substituir cada elemento da matriz A pelo seu substituto. <\/p>\n Lembre-se que para calcular o anexo<\/strong> de<\/p>\n<\/p>\n , isto \u00e9, do elemento linha<\/p>\n e a coluna<\/p>\n , a seguinte f\u00f3rmula deve ser aplicada:<\/p>\n<\/p>\n Onde o complementar menor de<\/p>\n<\/p>\n \u00e9 o determinante da matriz eliminando a linha<\/p>\n e a coluna<\/p>\n .<\/p>\n<\/div>\n Assim, os deputados dos elementos da matriz A s\u00e3o: <\/p>\n<\/p>\n Coment\u00e1rio:<\/strong> N\u00e3o confunda o determinante 1\u00d71 com o valor absoluto, pois no determinante 1\u00d71 o n\u00famero n\u00e3o \u00e9 convertido em positivo.<\/p>\n Uma vez calculados os deputados, basta substituir os elementos de A pelos seus deputados para encontrar a matriz de deputados de A<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n Coment\u00e1rio:<\/strong> em certos locais a matriz adjunta \u00e9 a transposta da matriz adjunta que definimos aqui.<\/p>\n Portanto, substitu\u00edmos a matriz anexa na f\u00f3rmula da matriz inversa e ela se torna:<\/p>\n<\/p>\n O expositor<\/p>\n<\/p>\n Isso nos diz que precisamos transpor a matriz<\/strong> . E para transpor uma matriz \u00e9 preciso transformar suas linhas em colunas<\/strong> , ou seja, a primeira linha da matriz passa a ser a primeira coluna da matriz, e a segunda linha passa a ser a segunda coluna:<\/p>\n<\/p>\n E finalmente, multiplicamos cada termo da matriz por<\/p>\n<\/p>\n Inverta a seguinte matriz de dimens\u00e3o 2\u00d72 usando o m\u00e9todo da matriz adjunta: <\/p>\n<\/p>\n A f\u00f3rmula da matriz inversa \u00e9:<\/p>\n<\/p>\n Primeiro calculamos o determinante da matriz:<\/p>\n<\/p>\n O determinante \u00e9 diferente de 0, ent\u00e3o a matriz pode ser invertida.<\/p>\n Vamos agora calcular a matriz adjunta de A: <\/p>\n<\/p>\n Uma vez calculado o determinante da matriz e seu adjunto, substitu\u00edmos seus valores na f\u00f3rmula: <\/p>\n<\/p>\n Transpomos a matriz anexa:<\/p>\n<\/p>\n A matriz inversa de A \u00e9 portanto: <\/p>\n<\/p>\n Inverta a seguinte matriz quadrada usando o m\u00e9todo do determinante: <\/p>\n<\/p>\n A f\u00f3rmula da matriz inversa \u00e9:<\/p>\n<\/p>\n Primeiro calculamos o determinante da matriz:<\/p>\n<\/p>\n O determinante \u00e9 diferente de 0, ent\u00e3o a matriz pode ser invertida.<\/p>\n Vamos agora calcular a matriz adjunta de A: <\/p>\n<\/p>\n Uma vez encontrado o determinante da matriz e seu adjunto, substitu\u00edmos seus valores na f\u00f3rmula: <\/p>\n<\/p>\n Transpomos a matriz anexa:<\/p>\n<\/p>\n Multiplicamos cada elemento por <\/p>\n<\/p>\n A matriz inversa de A \u00e9 portanto: <\/p>\n<\/p>\n Inverta a seguinte matriz de dimens\u00e3o 3\u00d73 usando o m\u00e9todo da matriz adjunta: <\/p>\n<\/p>\n A f\u00f3rmula da matriz inversa \u00e9:<\/p>\n<\/p>\n Primeiro resolvemos o determinante da matriz com a regra de Sarrus:<\/p>\n<\/p>\n O determinante \u00e9 diferente de 0, ent\u00e3o a matriz pode ser invertida.<\/p>\n Uma vez resolvido o determinante, encontramos a matriz adjunta de A: <\/p>\n<\/p>\n Depois de calcularmos o determinante da matriz e seu adjunto, substitu\u00edmos seus valores na f\u00f3rmula: <\/p>\n<\/p>\n Transpomos a matriz anexa:<\/p>\n<\/p>\n E a matriz invertida A \u00e9: <\/p>\n<\/p>\n Inverta a seguinte matriz de ordem 3 usando o m\u00e9todo da matriz adjunta: <\/p>\n<\/p>\n A f\u00f3rmula da matriz inversa \u00e9:<\/p>\n<\/p>\n Precisamos primeiro calcular o determinante da matriz, porque se o determinante for 0, significa que a matriz n\u00e3o tem inversa.<\/p>\n<\/p>\n O determinante de A \u00e9 0, ent\u00e3o a matriz n\u00e3o pode ser invertida.<\/strong><\/p>\n Inverta a seguinte matriz quadrada 3 \u00d7 3 pelo m\u00e9todo da matriz determinante: <\/p>\n<\/p>\n A f\u00f3rmula da matriz inversa \u00e9:<\/p>\n<\/p>\n Primeiramente resolvemos o determinante da matriz com a regra de Sarrus:<\/p>\n<\/p>\n O determinante \u00e9 diferente de 0, ent\u00e3o a matriz pode ser invertida.<\/p>\n Uma vez resolvido o determinante, encontramos a matriz adjunta de A: <\/p>\n<\/p>\n Depois de calcularmos o determinante da matriz e seu adjunto, substitu\u00edmos seus valores na f\u00f3rmula: <\/p>\n<\/p>\n Transpomos a matriz anexa:<\/p>\n<\/p>\n E por fim, operamos: <\/p>\n<\/p>\n Para calcular o inverso de uma matriz com o m\u00e9todo de Gauss<\/strong> , voc\u00ea deve realizar opera\u00e7\u00f5es nas linhas de uma matriz<\/strong> (veremos isso mais tarde). Portanto, antes de ver como utilizar o m\u00e9todo de Gauss, \u00e9 importante que voc\u00ea conhe\u00e7a todas as opera\u00e7\u00f5es que podem ser feitas nas linhas das matrizes:<\/p>\n Por exemplo, podemos alterar a ordem das linhas 2 e 3 de uma matriz:<\/p>\n<\/p>\n Por exemplo, podemos multiplicar a linha 1 por 4 e dividir a linha 3 por 2:<\/p>\n<\/p>\n Por exemplo, na matriz a seguir, adicionamos a linha 3 multiplicada por 1 \u00e0 linha 2:<\/p>\n<\/p>\n Vejamos com um exemplo como aplicar o m\u00e9todo Gauss<\/strong> para inverter uma matriz:<\/p>\n A primeira coisa que precisamos fazer \u00e9 combinar a matriz A e a matriz Identidade em uma \u00fanica matriz<\/strong> . A matriz A \u00e0 esquerda e a matriz Identidade \u00e0 direita: <\/p>\n<\/p>\n Para calcular a matriz inversa, precisamos converter a matriz esquerda em uma matriz identidade.<\/strong> E, para fazer isso, precisamos aplicar transforma\u00e7\u00f5es nas linhas at\u00e9 chegarmos l\u00e1.<\/p>\n Procederemos por colunas, ou seja, realizaremos opera\u00e7\u00f5es nas linhas para transformar primeiro os n\u00fameros da primeira coluna, depois os da segunda coluna e por \u00faltimo os da terceira coluna. <\/p>\n Os 1s e 0s da primeira coluna j\u00e1 s\u00e3o adequados, pois a matriz identidade tamb\u00e9m possui 1 e 0 nessas posi\u00e7\u00f5es. Portanto, n\u00e3o h\u00e1 necessidade de aplicar uma transforma\u00e7\u00e3o a essas linhas neste momento. <\/p>\n<\/div>\n No entanto, a matriz identidade tem um 0 no \u00faltimo elemento da primeira coluna, onde agora temos um 1. Portanto, precisamos converter 1 em 0. Para fazer isso, adicionamos a linha 1 multiplicada por \u2013 \u00e0 linha 3.1:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Ent\u00e3o se fizermos essa soma teremos a seguinte matriz:<\/p>\n<\/p>\n Conseguimos assim transformar 1 em 0.<\/p>\n Agora vamos passar para a segunda coluna da matriz esquerda. O primeiro elemento \u00e9 0, o que \u00e9 bom porque a matriz identidade possui um 0 na mesma posi\u00e7\u00e3o. No entanto, em vez de 2 deveria haver 1, ent\u00e3o dividimos a segunda linha por 2:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Al\u00e9m disso, na segunda coluna tamb\u00e9m precisamos transformar o 5 em 0. Bem, como o 5 \u00e9 cinco vezes maior que o 1 na segunda linha, adicionaremos a linha 2 multiplicada por -5 \u00e0 linha 3:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Portanto, ao realizar esta opera\u00e7\u00e3o, obtemos a matriz com 0 no \u00faltimo elemento da segunda coluna:<\/p>\n<\/p>\n Por fim, transformaremos a \u00faltima coluna da matriz para a esquerda, mas desta vez devemos come\u00e7ar de baixo. \u00c9 necess\u00e1rio, portanto, transformar o<\/p>\n<\/p>\n em 1. Portanto, multiplicamos a \u00faltima linha por 2:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Devemos agora transformar o<\/p>\n<\/p>\n restante da \u00faltima coluna como 0. Por\u00e9m, desta vez n\u00e3o podemos multiplicar a linha por 2, porque tamb\u00e9m converter\u00edamos 1 em 2 (quando a matriz identidade tiver 1 nessa posi\u00e7\u00e3o). Portanto, adicionaremos a linha 3 dividida por -2 \u00e0 linha 2:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Ent\u00e3o fazendo esta opera\u00e7\u00e3o conseguimos transformar o<\/p>\n<\/p>\n em um 0:<\/p>\n<\/p>\n Por fim, s\u00f3 precisamos transformar o 1 da primeira linha da terceira coluna em 0. A terceira linha tamb\u00e9m possui um 1 nesta mesma coluna, ent\u00e3o adicionaremos a linha 3 multiplicada por -1 \u00e0 linha 1:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n E fazendo esta opera\u00e7\u00e3o conseguimos converter o 1 em 0:<\/p>\n<\/p>\n Depois de convertermos com sucesso a matriz esquerda em uma matriz identidade, tamb\u00e9m conhecemos a matriz inversa. Porque a matriz inversa \u00e9 a matriz que obtemos no lado direito convertendo a matriz esquerda em matriz identidade<\/strong> . O inverso da matriz \u00e9 portanto: <\/p>\n Inverta a seguinte matriz atrav\u00e9s do m\u00e9todo Gauss: <\/p>\n<\/p>\n A primeira coisa que precisamos fazer \u00e9 combinar a matriz A e a matriz Identidade em uma \u00fanica matriz. A matriz A \u00e0 esquerda e a matriz identidade \u00e0 direita: <\/p>\n<\/p>\n Agora, para calcular a matriz inversa, precisamos converter a matriz do lado esquerdo em matriz identidade. E, para fazer isso, precisamos aplicar transforma\u00e7\u00f5es nas linhas at\u00e9 chegarmos l\u00e1.<\/p>\n O primeiro termo de todos, 1, j\u00e1 \u00e9 igual \u00e0 matriz identidade. Portanto, n\u00e3o h\u00e1 necessidade de aplicar uma transforma\u00e7\u00e3o \u00e0 primeira linha neste momento.<\/p>\n No entanto, a matriz identidade tem um 0 no \u00faltimo elemento da primeira coluna, onde agora temos um 1. Portanto, precisamos converter 1 em 0. Para fazer isso, subtra\u00edmos a linha 1 da linha 2:<\/p>\n<\/p>\n Passamos para a segunda coluna: 1 abaixo \u00e9 bom. Mas n\u00e3o o 2 acima, j\u00e1 que a matriz identidade tem 0 nessa posi\u00e7\u00e3o. Portanto, para converter 2 em 0, da linha 1 subtra\u00edmos a linha 2 multiplicada por 2:<\/p>\n<\/p>\n A matriz inversa \u00e9 a matriz que obtemos do lado direito ap\u00f3s converter a matriz da esquerda em uma matriz identidade. E agora temos a matriz identidade no lado esquerdo. A matriz inversa \u00e9 portanto:<\/p>\n<\/p>\n Inverta a seguinte matriz com o procedimento gaussiano: <\/p>\n<\/p>\n Primeiro, colocamos a matriz A e a matriz Identidade em uma \u00fanica matriz: <\/p>\n<\/p>\n Agora precisamos transformar as linhas at\u00e9 convertermos a matriz esquerda em uma matriz identidade.<\/p>\n A primeira coluna da matriz esquerda j\u00e1 \u00e9 igual \u00e0 primeira coluna da matriz identidade. Portanto, n\u00e3o \u00e9 necess\u00e1rio modificar nenhum dos seus n\u00fameros.<\/p>\n No entanto, a matriz identidade tem um 1 no segundo elemento da segunda coluna, onde agora existe um 3. Devemos, portanto, converter o 3 em 1. Para fazer isso, da linha 2 subtra\u00edmos a linha 3 multiplicada por 2:<\/p>\n<\/p>\n A matriz identidade tem um 0 no \u00faltimo elemento da segunda coluna, onde agora existe um 1. Devemos, portanto, converter o 1 em 0. Para fazer isso, subtra\u00edmos a linha 2 da linha 3:<\/p>\n<\/p>\n A matriz identidade tem um 0 no primeiro elemento da segunda coluna, onde agora existe um 1. Devemos, portanto, converter 1 em 0. Para fazer isso, subtra\u00edmos a linha 2 da linha 1:<\/p>\n<\/p>\n Tudo o que precisamos fazer agora \u00e9 converter -4 em 0. Para fazer isso, adicionamos a linha 3 multiplicada por 4 \u00e0 linha 1:<\/p>\n<\/p>\n J\u00e1 obtivemos a matriz identidade do lado esquerdo. A matriz inversa \u00e9 portanto:<\/p>\n<\/p>\n Inverta a seguinte matriz usando o m\u00e9todo Gaussiano: <\/p>\n<\/p>\n Antes de come\u00e7armos a operar, precisamos colocar a matriz A e a matriz Identidade em uma \u00fanica matriz: <\/p>\n<\/p>\n Devemos agora converter a matriz esquerda em uma matriz identidade operando nas linhas.<\/p>\n Os dois primeiros elementos da primeira coluna j\u00e1 s\u00e3o iguais aos da matriz identidade. Por conseguinte, n\u00e3o \u00e9 necess\u00e1rio alterar estes valores.<\/p>\n Mas a matriz identidade tem um 0 no terceiro elemento da primeira coluna, onde agora existe um 2. Devemos, portanto, converter o 2 em 0. Para fazer isso, da linha 3 subtra\u00edmos a linha 1 multiplicada por 2:<\/p>\n<\/p>\n A matriz identidade tem um 0 no primeiro elemento da segunda coluna, onde agora existe um 2. Devemos, portanto, converter o 2 em 0. Para fazer isso, da linha 1 subtra\u00edmos a linha 2 multiplicada por 2:<\/p>\n<\/p>\n A matriz identidade possui 0 no \u00faltimo elemento da segunda coluna, onde agora existe -4. Devemos, portanto, converter -4 em 0. Para fazer isso, adicionamos a linha 2 multiplicada por 4 \u00e0 linha 3:<\/p>\n<\/p>\n Tudo o que precisamos fazer agora \u00e9 converter o primeiro elemento da terceira coluna em 0. Para fazer isso, adicionamos a linha 3 multiplicada por -1 \u00e0 linha 1:<\/p>\n<\/p>\n J\u00e1 percebemos que a matriz \u00e0 esquerda \u00e9 a matriz identidade. Ent\u00e3o o inverso da matriz<\/p>\n<\/p>\n Leste:<\/p>\n<\/p>\n Inverta a seguinte matriz usando o m\u00e9todo Gaussiano: <\/p>\n<\/p>\n A primeira coisa que precisamos fazer \u00e9 juntar a matriz A e a matriz Identidade em uma \u00fanica matriz: <\/p>\n<\/p>\n Devemos agora converter a matriz do lado esquerdo em uma matriz identidade aplicando opera\u00e7\u00f5es sobre linhas.<\/p>\n O primeiro elemento da primeira coluna j\u00e1 \u00e9 igual ao da matriz identidade. Portanto, n\u00e3o \u00e9 necess\u00e1rio alter\u00e1-lo.<\/p>\n No entanto, a matriz identidade tem um 0 no segundo elemento da primeira coluna, onde agora existe um 1. Devemos, portanto, converter o 1 em 0. Para fazer isso, subtra\u00edmos a linha 1 da linha 2:<\/p>\n<\/p>\n Passamos para a segunda coluna: primeiro transformamos o 4 em 1 dividindo a segunda linha por 4:<\/p>\n<\/p>\n A matriz identidade possui 0 no primeiro elemento da segunda coluna, onde agora existe -2. Devemos, portanto, converter -2 em 0. Para fazer isso, adicionamos a linha 2 multiplicada por 2 \u00e0 linha 1: <\/p>\n<\/p>\n A matriz identidade tem um 0 no \u00faltimo elemento da segunda coluna, onde agora existe um 3. Devemos, portanto, converter o 3 em 0. Para fazer isso, da linha 3 subtra\u00edmos a linha 2 multiplicada por 3: <\/p>\n<\/p>\n Passamos para a terceira coluna: devemos transformar a \u00faltima<\/p>\n<\/p>\n em 1. Para fazer isso, multiplicamos a terceira linha por 2:<\/p>\n<\/p>\n A matriz identidade possui um 0 no segundo elemento da \u00faltima coluna. \u00c9 necess\u00e1rio, portanto, converter o<\/p>\n<\/p>\n em 0. Para fazer isso, da linha 2 subtra\u00edmos a linha 3 dividida por 2: <\/p>\n<\/p>\n Tudo o que precisamos fazer agora \u00e9 converter o primeiro elemento da terceira coluna em 0. Para fazer isso, subtra\u00edmos a linha 3 da linha 1: <\/p>\n<\/p>\n A matriz inversa \u00e9 portanto:<\/p>\n<\/p>\n Finalmente, as fra\u00e7\u00f5es da matriz inversa podem ser simplificadas:<\/p>\n<\/p>\n A matriz inversa possui as seguintes caracter\u00edsticas:<\/p>\n Como vimos, qualquer matriz pode ser invertida pelo m\u00e9todo dos determinantes ou pelo m\u00e9todo de Gauss. Mas, separadamente, existe tamb\u00e9m uma f\u00f3rmula para encontrar muito rapidamente o inverso de uma matriz 2\u00d72<\/strong> : <\/p>\n Como voc\u00ea pode ver, inverter uma matriz 2×2 \u00e9 simples: basta resolver o determinante da matriz<\/p>\n<\/p>\n , alterne a posi\u00e7\u00e3o dos elementos da diagonal principal e altere o sinal dos elementos da diagonal secund\u00e1ria.<\/p>\n Calcule o inverso da seguinte matriz quadrada 2 \u00d7 2:<\/p>\n<\/p>\n O determinante da matriz A \u00e9:<\/p>\n<\/p>\n Agora aplicamos a f\u00f3rmula da matriz inversa<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n E multiplicamos a matriz pela fra\u00e7\u00e3o:<\/p>\n<\/p>\n A matriz invertida A \u00e9 portanto:<\/p>\n<\/p>\n Como voc\u00ea pode ver, inverter uma matriz com esta f\u00f3rmula \u00e9 muito mais r\u00e1pido, mas s\u00f3 pode ser usada em matrizes de dimens\u00e3o 2×2.<\/p>\n Inverta a seguinte matriz de dimens\u00e3o 2\u00d72: <\/p>\n<\/p>\n O determinante da matriz A \u00e9:<\/p>\n<\/p>\n Agora aplicamos a f\u00f3rmula para encontrar a matriz inversa: <\/p>\n<\/p>\n O inverso da matriz A \u00e9, portanto:<\/p>\n<\/p>\n Calcule o inverso da seguinte matriz de ordem 2: <\/p>\n<\/p>\n O determinante da matriz A \u00e9:<\/p>\n<\/p>\n Agora aplicamos a f\u00f3rmula para resolver a matriz inversa de dimens\u00e3o 2\u00d72: <\/p>\n<\/p>\n E por fim, fazemos a multiplica\u00e7\u00e3o: <\/p>\n<\/p>\n Inverta a seguinte matriz 2×2: <\/p>\n<\/p>\n O determinante da matriz A \u00e9:<\/p>\n<\/p>\n Agora aplicamos a f\u00f3rmula para calcular a matriz inversa de dimens\u00e3o 2\u00d72: <\/p>\n<\/p>\n E por fim, fazemos o produto entre a fra\u00e7\u00e3o e a matriz:<\/p>\n<\/p>\n Encontre o inverso da seguinte matriz de segunda ordem: <\/p>\n<\/p>\n O determinante da matriz A \u00e9:<\/p>\n<\/p>\n Agora aplicamos a f\u00f3rmula para criar a matriz inversa de dimens\u00e3o 2\u00d72: <\/p>\n<\/p>\n E por fim, fazemos a multiplica\u00e7\u00e3o: <\/p>\n<\/p>\n \u00c9 dif\u00edcil apreciar as aplica\u00e7\u00f5es reais da inversa de uma matriz. Na verdade, voc\u00ea provavelmente est\u00e1 se perguntando… para que serve a matriz inversa? \u00c9 realmente usado para alguma coisa?<\/p>\n Bom, um dos usos da matriz inversa \u00e9 resolver sistemas de equa\u00e7\u00f5es lineares<\/strong> . E sim, embora possam parecer dois conceitos muito diferentes, \u00e9 poss\u00edvel encontrar a solu\u00e7\u00e3o de um sistema de equa\u00e7\u00f5es invertendo uma matriz.<\/p>\n Vamos ver com um exemplo como isso \u00e9 feito:<\/p>\n Em primeiro lugar, deve-se observar que um sistema de equa\u00e7\u00f5es pode ser expresso na forma de matrizes:<\/p>\n<\/p>\n Podemos verificar que esta forma matricial do sistema \u00e9 equivalente \u00e0 express\u00e3o com equa\u00e7\u00f5es: se multiplicarmos as matrizes veremos que obtemos as duas equa\u00e7\u00f5es do sistema.<\/p>\n Agora, para simplificar os pr\u00f3ximos passos, chamaremos<\/p>\n<\/p>\n para a matriz que cont\u00e9m os coeficientes das inc\u00f3gnitas,<\/p>\n para as colunas da matriz com as inc\u00f3gnitas, e<\/p>\n para a matriz da coluna com termos independentes:<\/p>\n<\/p>\n Ent\u00e3o a matriz<\/p>\n<\/p>\n \u00e9 a inc\u00f3gnita da equa\u00e7\u00e3o matricial.<\/p>\n Para resolver esta equa\u00e7\u00e3o matricial, voc\u00ea deve seguir um procedimento que n\u00e3o explicaremos com tantos detalhes aqui. Se quiser entender completamente, voc\u00ea pode conferir como resolver equa\u00e7\u00f5es com matrizes<\/a> , onde explicamos todo o processo passo a passo.<\/p>\n Este procedimento \u00e9 baseado em uma propriedade das matrizes inversas: qualquer matriz multiplicada pela sua inversa \u00e9 igual \u00e0 matriz Identidade (ou Unidade). Portanto, a matriz desconhecida pode ser facilmente resolvida<\/p>\n<\/p>\n multiplicando ambos os lados da equa\u00e7\u00e3o pelo inverso da matriz A: <\/p>\n<\/p>\n E uma vez que isolamos a matriz<\/p>\n<\/p>\n , calculamos o inverso de<\/p>\n e resolvemos o produto das matrizes: <\/p>\n<\/p>\n A solu\u00e7\u00e3o do sistema de equa\u00e7\u00f5es \u00e9, portanto:<\/p>\n<\/p>\n Nesta p\u00e1gina voc\u00ea aprender\u00e1 o que \u00e9 e como calcular a inversa de uma matriz pelo m\u00e9todo dos determinantes (ou matriz adjunta) e pelo m\u00e9todo de Gauss. Voc\u00ea tamb\u00e9m ver\u00e1 todas as propriedades da matriz inversa e tamb\u00e9m encontrar\u00e1 exemplos e exerc\u00edcios resolvidos passo a passo para cada m\u00e9todo, para que voc\u00ea os compreenda completamente. …<\/p>\n<\/p>\n![\"A^{-1}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e2b32875906f7ed9c10ffd1b09a6ed5e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"A](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd42c364eee57f5eada44b8ef06f254a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"A^{-1}\\cdot](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a003e1fd3042f8cd7ec7d3fe7f286f5b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"I\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-18b5e45cb4a1ee02e81b9a980f828db8_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n Quando voc\u00ea pode inverter uma matriz e quando n\u00e3o?<\/h2>\n
\n
\n
Inverta uma matriz usando o m\u00e9todo do determinante (ou usando a matriz adjacente) <\/h2>\n
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<\/figure>\n<\/div>\n Exemplo de c\u00e1lculo da matriz inversa usando o m\u00e9todo determinante (ou matriz adjunta):<\/h3>\n
\n
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<\/figure>\n<\/div>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-710ccd4e4912dd492b496a742eaf7f56_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/figure>\n<\/div>\n Exerc\u00edcios resolvidos sobre matrizes inversas com o m\u00e9todo dos determinantes (ou a matriz adjacente)<\/h3>\n
Exerc\u00edcio 1<\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\nExerc\u00edcio 2<\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\nExerc\u00edcio 3<\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\nExerc\u00edcio 4<\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\n Exerc\u00edcio 5<\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\n![\"exerc\u00edcio](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-matrice-inverse-par-matrice-adjointe-33.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n Inverta uma matriz usando o m\u00e9todo Gauss:<\/h2>\n
Transforma\u00e7\u00f5es de linha permitidas no m\u00e9todo gaussiano<\/h3>\n
\n
![\"\\left(](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1d3f607625afb96bfb250168bd330818_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n\n
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<\/p>\n<\/p>\n\n
![\"\\left(](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8ca6644f015dd42ddbf4ab159bd10dec_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n Exemplo de c\u00e1lculo da matriz inversa usando o m\u00e9todo Gauss:<\/h3>\n
\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-71553480cefa679dcb8eb98d97e0c717_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d0650812fe7946f6da1e7973709dfde1_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"exerc\u00edcio](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-matrice-inverse-par-la-methode-de-gauss-32153.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"\\left(](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7f51b3a869dde9c1697be9e57fce1548_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n![\"\\begin{array}{lrrr|rrr}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-30b5442d5c5eac3e62aa7a7cae717e48_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\left(](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-992a31603c2182a97d31ddf787df4f06_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\left(](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a86b61ee601f9cd0ff9a70d1a280f887_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\begin{array}{lrrr|rrr}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-66dd50ad7ec5e4c45f5011094a0c21b3_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\left(](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fcc790f05d73d308cb7d992841ab031a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\sfrac{1}{2}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8b05f3ca9cc1227bdfe634ccc9f60935_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\\left(](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-69614cae4dd388b6454ffd9b8d63c9a5_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"\\begin{array}{lrrr|rcr}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-881f9ea3ce2e52ddf332a13aba43bbcf_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"\\left(](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-537958a51f67c7602ef121fa2c997ca8_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\begin{array}{lrrr|rcr}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8854a556147caefb16a2030e0e5e949a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8ddd39df6bc92258ba163c65de4fd59f_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"Exemplo](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-inverse-32153.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n Exerc\u00edcios resolvidos sobre matrizes inversas com o m\u00e9todo Gauss <\/h3>\n
Exerc\u00edcio 1<\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\nExerc\u00edcio 2<\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\nExerc\u00edcio 3<\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\nExerc\u00edcio 4<\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\n Propriedades da matriz inversa<\/h2>\n
\n
\n
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<\/p>\n<\/p>\n\n
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<\/p>\n<\/p>\n\n
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<\/p>\n<\/p>\n F\u00f3rmula para calcular rapidamente o inverso de uma matriz 2×2<\/h2>\n
![\"f\u00f3rmula](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/formule-de-matrice-inverse-22152.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"(|A|)\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3c046b53b17b87e9ca0f447d664754ba_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n Exemplo de como obter uma matriz inversa 2 \u00d7 2 com a f\u00f3rmula<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n Exerc\u00edcios resolvidos de matrizes inversas 2\u00d72 com a f\u00f3rmula<\/h3>\n
Exerc\u00edcio 1<\/h4>\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dc06e21fc1c3c54f9b3fc0dcd4912a8f_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\nExerc\u00edcio 2<\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\nExerc\u00edcio 3<\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\nExerc\u00edcio 4<\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\nResolva um sistema de equa\u00e7\u00f5es com a matriz inversa<\/h2>\n
\n
![\"\\left.](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-200c0f994f86752e7d650621a0d4100f_l3.png\" "\\"Rendered")
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