Os pontos de inflex\u00e3o de uma fun\u00e7\u00e3o s\u00e3o os pontos nos quais o gr\u00e1fico da fun\u00e7\u00e3o muda de curvatura, ou seja, em um ponto de inflex\u00e3o uma fun\u00e7\u00e3o muda de c\u00f4ncava para convexa ou vice-versa.<\/strong> <\/p>\n Dada a defini\u00e7\u00e3o de ponto de inflex\u00e3o, vamos ver como saber se um determinado ponto \u00e9 ponto de inflex\u00e3o da fun\u00e7\u00e3o. <\/p>\n Uma fun\u00e7\u00e3o tem um ponto de inflex\u00e3o<\/strong> em pontos que cancelam sua segunda derivada e sua terceira derivada \u00e9 diferente de zero.<\/p>\n<\/p>\n Como exemplo, calcularemos os pontos de inflex\u00e3o da seguinte fun\u00e7\u00e3o de terceiro grau:<\/p>\n<\/p>\n Primeiro, calculamos a segunda e a terceira derivadas da fun\u00e7\u00e3o: <\/p>\n<\/p>\n Agora definimos a segunda derivada igual a 0 e resolvemos a equa\u00e7\u00e3o resultante:<\/p>\n<\/p>\n Ent\u00e3o, o ponto x=0 ser\u00e1 um ponto de inflex\u00e3o da fun\u00e7\u00e3o se a terceira derivada for diferente de zero neste ponto. No nosso caso, a terceira derivada \u00e9 sempre igual a 6.<\/p>\n<\/p>\n Portanto, x=0 \u00e9 um ponto de inflex\u00e3o da fun\u00e7\u00e3o. <\/p>\n Acabamos de ver um m\u00e9todo para encontrar pontos de inflex\u00e3o. Por\u00e9m, normalmente tendemos a estudar a curvatura de uma fun\u00e7\u00e3o, ou seja, determinar a concavidade e a convexidade de uma fun\u00e7\u00e3o, e a partir da\u00ed calcular os pontos de inflex\u00e3o.<\/p>\n Para encontrar os pontos de inflex\u00e3o de uma fun\u00e7\u00e3o atrav\u00e9s de sua curvatura, devem ser executados os seguintes passos: <\/p>\n <\/span> .<\/li>\n Para que voc\u00ea possa ver como os pontos de inflex\u00e3o de uma fun\u00e7\u00e3o s\u00e3o calculados usando este procedimento, resolveremos um exemplo passo a passo abaixo:<\/p>\n A primeira coisa a fazer \u00e9 calcular o dom\u00ednio de defini\u00e7\u00e3o da fun\u00e7\u00e3o. \u00c9 uma fun\u00e7\u00e3o polinomial, portanto o dom\u00ednio da fun\u00e7\u00e3o consiste em n\u00fameros reais, ou seja, \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o cont\u00ednua:<\/p>\n<\/p>\n Uma vez calculado o dom\u00ednio da fun\u00e7\u00e3o, precisamos estudar em quais pontos ele \u00e9 cumprido<\/p>\n<\/p>\n .<\/p>\n Portanto, primeiro calculamos a primeira derivada da fun\u00e7\u00e3o:<\/p>\n<\/p>\n A seguir, calculamos a segunda derivada da fun\u00e7\u00e3o:<\/p>\n<\/p>\n E agora definimos a segunda derivada igual a 0 e resolvemos a equa\u00e7\u00e3o: <\/p>\n<\/p>\n Depois de calcularmos o dom\u00ednio da fun\u00e7\u00e3o e<\/p>\n<\/p>\n , representamos todos os pontos cr\u00edticos encontrados na reta num\u00e9rica: <\/p>\n E agora avaliamos o sinal da segunda derivada em cada intervalo, para saber se a fun\u00e7\u00e3o \u00e9 c\u00f4ncava ou convexa. Portanto, pegamos um ponto em cada intervalo (nunca os pontos cr\u00edticos) e observamos qual sinal a segunda derivada tem neste ponto: <\/p>\n<\/p>\n Se a segunda derivada for positiva, significa que a fun\u00e7\u00e3o \u00e9 convexa.<\/p>\n<\/p>\n , e se a segunda derivada for negativa isso significa que a fun\u00e7\u00e3o \u00e9 c\u00f4ncava<\/p>\n . Portanto, os intervalos de concavidade e convexidade da fun\u00e7\u00e3o s\u00e3o:<\/p>\n Convexo<\/strong><\/p>\n<\/p>\n :<\/strong><\/p>\n C\u00f4ncavo<\/strong><\/p>\n<\/p>\n :<\/strong><\/p>\n Al\u00e9m disso, em x=-1 a fun\u00e7\u00e3o vai de convexa para c\u00f4ncava, ent\u00e3o x=-1 \u00e9 um ponto de inflex\u00e3o<\/strong> da fun\u00e7\u00e3o .<\/strong> E em x=1, a fun\u00e7\u00e3o vai de c\u00f4ncava para convexa, ent\u00e3o x=1 tamb\u00e9m \u00e9 um ponto de inflex\u00e3o<\/strong> da fun\u00e7\u00e3o.<\/p>\n Finalmente, substitu\u00edmos os pontos encontrados na fun\u00e7\u00e3o original para encontrar a coordenada Y dos pontos de inflex\u00e3o:<\/p>\n<\/p>\n Os pontos de viragem da fun\u00e7\u00e3o s\u00e3o, portanto:<\/p>\n Pontos de viragem:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n E<\/strong><\/p>\n Abaixo voc\u00ea confere a representa\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica da fun\u00e7\u00e3o estudada: <\/p>\n Como voc\u00ea pode ver no gr\u00e1fico, a fun\u00e7\u00e3o vai de convexa<\/p>\n<\/p>\n ser c\u00f4ncavo<\/p>\n Sobre<\/p>\n j\u00e1 que sua curvatura muda. E por outro lado, a fun\u00e7\u00e3o vai de c\u00f4ncava<\/p>\n ser convexo<\/p>\n Sobre<\/p>\n . <\/p>\n Calcule os intervalos de concavidade e convexidade, bem como os pontos de inflex\u00e3o da seguinte fun\u00e7\u00e3o exponencial: <\/p>\n<\/p>\n A primeira coisa a fazer \u00e9 calcular o dom\u00ednio de defini\u00e7\u00e3o da fun\u00e7\u00e3o. A fun\u00e7\u00e3o \u00e9 composta por uma fun\u00e7\u00e3o polinomial (x), cujo dom\u00ednio consiste apenas em n\u00fameros reais, e uma fun\u00e7\u00e3o exponencial ( ex<\/sup> ), cujo dom\u00ednio tamb\u00e9m consiste em n\u00fameros reais. Portanto, o dom\u00ednio da fun\u00e7\u00e3o consiste em n\u00fameros reais:<\/p>\n<\/p>\n Agora vamos calcular a derivada da fun\u00e7\u00e3o. Neste caso, a fun\u00e7\u00e3o \u00e9 composta pelo produto de duas fun\u00e7\u00f5es, portanto para derivar a fun\u00e7\u00e3o precisamos aplicar a f\u00f3rmula da derivada de um produto: <\/p>\n<\/p>\n A seguir, calculamos a segunda derivada da fun\u00e7\u00e3o: <\/p>\n<\/p>\n Definimos a segunda derivada igual a 0 e resolvemos a equa\u00e7\u00e3o: <\/p>\n<\/p>\n Extra\u00edmos o fator comum:<\/p>\n<\/p>\n Para que a multiplica\u00e7\u00e3o seja igual a 0, um dos dois elementos da multiplica\u00e7\u00e3o deve ser zero. Portanto, definimos cada fator igual a 0:<\/p>\n<\/p>\n Um n\u00famero elevado a outro nunca pode resultar em 0. Portanto, a equa\u00e7\u00e3o<\/p>\n<\/p>\n N\u00e3o h\u00e1 solu\u00e7\u00e3o.<\/p>\n Representamos todos os pontos singulares obtidos \u00e0 direita: <\/p>\n E agora avaliamos o sinal da segunda derivada em cada intervalo para saber se a fun\u00e7\u00e3o \u00e9 c\u00f4ncava ou convexa. Para fazer isso, pegamos um ponto em cada intervalo e observamos qual sinal tem a segunda derivada nesse ponto:<\/p>\n<\/p>\n Se a segunda derivada for positiva, significa que a fun\u00e7\u00e3o \u00e9 convexa.<\/p>\n<\/p>\n , e se a segunda derivada for negativa isso significa que a fun\u00e7\u00e3o \u00e9 c\u00f4ncava<\/p>\n . Os intervalos de concavidade e convexidade s\u00e3o, portanto:<\/p>\n Convexo<\/strong><\/p>\n<\/p>\n :<\/strong><\/p>\n C\u00f4ncavo<\/strong><\/p>\n<\/p>\n :<\/strong><\/p>\n Al\u00e9m disso, a fun\u00e7\u00e3o muda de c\u00f4ncava para convexa em x=-2, ent\u00e3o x=-2 \u00e9 um ponto de inflex\u00e3o<\/strong> da fun\u00e7\u00e3o.<\/p>\n Finalmente, substitu\u00edmos o ponto de inflex\u00e3o encontrado na fun\u00e7\u00e3o original para encontrar a coordenada Y do ponto:<\/p>\n<\/p>\n Concluindo, os \u00fanicos pontos de inflex\u00e3o da fun\u00e7\u00e3o s\u00e3o:<\/p>\n Pontos de viragem:<\/strong> <\/p>\n<\/p>\n Estude os intervalos de concavidade e convexidade e encontre os pontos de inflex\u00e3o da seguinte fun\u00e7\u00e3o racional: <\/p>\n<\/p>\n Primeiro precisamos calcular o dom\u00ednio da fun\u00e7\u00e3o. Como se trata de uma fun\u00e7\u00e3o racional, igualamos o denominador a zero para ver quais n\u00fameros n\u00e3o pertencem ao dom\u00ednio da fun\u00e7\u00e3o: <\/p>\n<\/p>\n Isso significa que quando x for -2 ou +2, o denominador ser\u00e1 0. E portanto, a fun\u00e7\u00e3o n\u00e3o existir\u00e1. O dom\u00ednio da fun\u00e7\u00e3o \u00e9, portanto, composto por todos os n\u00fameros, exceto x=-2 e x=+2.<\/p>\n<\/p>\n Segundo, calculamos a primeira derivada da fun\u00e7\u00e3o: <\/p>\n<\/p>\n E ent\u00e3o resolvemos a segunda derivada: <\/p>\n<\/p>\n Todos os termos s\u00e3o multiplicados por<\/p>\n<\/p>\n . Podemos, portanto, simplificar a fra\u00e7\u00e3o: <\/p>\n<\/p>\n Agora vamos calcular as ra\u00edzes da segunda derivada da fun\u00e7\u00e3o: <\/p>\n<\/p>\n O termo<\/p>\n<\/p>\n Isso envolve dividir todo o lado esquerdo, para que possamos multiplic\u00e1-lo por todo o lado direito: <\/p>\n<\/p>\n Extra\u00edmos o fator comum:<\/p>\n<\/p>\n Para que a multiplica\u00e7\u00e3o seja igual a 0, um dos dois elementos da multiplica\u00e7\u00e3o deve ser zero. Portanto, definimos cada fator igual a 0:<\/p>\n<\/p>\n N\u00e3o h\u00e1 solu\u00e7\u00e3o, pois n\u00e3o existe raiz negativa de um n\u00famero real.<\/p>\n Representamos agora na reta todos os pontos cr\u00edticos obtidos, ou seja, os pontos que n\u00e3o pertencem ao dom\u00ednio (x=-2 e x=+2) e aqueles que cancelam a segunda derivada (x=0): <\/p>\n E avaliamos o sinal da segunda derivada em cada intervalo, para saber se a fun\u00e7\u00e3o \u00e9 c\u00f4ncava ou convexa. Ent\u00e3o pegamos um ponto em cada intervalo e observamos qual sinal tem a segunda derivada nesse ponto: <\/p>\n<\/p>\n Se a segunda derivada for positiva, significa que a fun\u00e7\u00e3o \u00e9 convexa.<\/p>\n<\/p>\n , e se a segunda derivada for negativa isso significa que a fun\u00e7\u00e3o \u00e9 c\u00f4ncava<\/p>\n . Os intervalos de concavidade e convexidade s\u00e3o, portanto:<\/p>\n Convexo<\/strong><\/p>\n<\/p>\n :<\/strong><\/p>\n C\u00f4ncavo<\/strong><\/p>\n<\/p>\n :<\/strong><\/p>\n A fun\u00e7\u00e3o altera a curvatura em tr\u00eas pontos, portanto a fun\u00e7\u00e3o racional teria em princ\u00edpio tr\u00eas pontos de inflex\u00e3o, que s\u00e3o x=-2, x=0 e x=2. No entanto, embora haja uma mudan\u00e7a na curvatura em x=-2 e em x=+2, estes n\u00e3o s\u00e3o pontos de inflex\u00e3o porque n\u00e3o pertencem ao dom\u00ednio da fun\u00e7\u00e3o. Por outro lado, em x=0 h\u00e1 uma mudan\u00e7a na curvatura e isso pertence \u00e0 fun\u00e7\u00e3o, ent\u00e3o x=0 \u00e9 o \u00fanico ponto de inflex\u00e3o da fun\u00e7\u00e3o.<\/strong><\/p>\n Resta calcular a coordenada Y do ponto de inflex\u00e3o:<\/p>\n<\/p>\n Resumindo, o \u00fanico ponto de inflex\u00e3o da fun\u00e7\u00e3o racional \u00e9 a origem das coordenadas:<\/p>\n Pontos de viragem:<\/strong> <\/p>\n<\/p>\n Sabemos que a fun\u00e7\u00e3o<\/p>\n<\/p>\n passar pelo ponto<\/p>\n , tem um extremo relativo em<\/p>\n , e um ponto de viragem<\/p>\n . A partir dessas informa\u00e7\u00f5es, calcule os valores dos par\u00e2metros<\/p>\n E<\/p>\n . <\/p>\n Deixe a fun\u00e7\u00e3o ter um ponto de inflex\u00e3o em<\/p>\n<\/p>\n significa que<\/p>\n . Portanto, calculamos a segunda derivada da fun\u00e7\u00e3o em<\/p>\n e definimos como igual a 0: <\/p>\n<\/p>\n E resolvemos a equa\u00e7\u00e3o obtida para encontrar o valor do par\u00e2metro a: <\/p>\n<\/p>\n A fun\u00e7\u00e3o ser\u00e1 portanto:<\/p>\n<\/p>\n Al\u00e9m disso, a fun\u00e7\u00e3o tem um extremo em<\/p>\n<\/p>\n , O que significa que<\/p>\n . Portanto, calculamos a primeira derivada da fun\u00e7\u00e3o em<\/p>\n e definimos como igual a 0: <\/p>\n<\/p>\n E resolvemos a equa\u00e7\u00e3o obtida para encontrar o valor da inc\u00f3gnita b: <\/p>\n<\/p>\n A fun\u00e7\u00e3o ser\u00e1 portanto:<\/p>\n<\/p>\n Por outro lado, dizem-nos que a fun\u00e7\u00e3o passa pelo ponto (3,1). Isso \u00e9 para dizer,<\/p>\n<\/p>\n . Portanto, podemos aplicar esta condi\u00e7\u00e3o para encontrar o valor do par\u00e2metro c:<\/p>\n<\/p>\n E resolvemos a equa\u00e7\u00e3o obtida para encontrar o valor de <\/p>\n<\/p>\n A fun\u00e7\u00e3o ser\u00e1 portanto:<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Como saber se uma fun\u00e7\u00e3o tem um ponto de inflex\u00e3o<\/span><\/h2>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Como estudar a curvatura e encontrar os pontos de inflex\u00e3o de uma fun\u00e7\u00e3o<\/span><\/h2>\n
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<\/p>\n<\/span> Exerc\u00edcios de giro resolvidos<\/span><\/h2>\n
Exerc\u00edcio 1<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\nExerc\u00edcio 2<\/h3>\n
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