{"id":389,"date":"2023-07-03T09:49:11","date_gmt":"2023-07-03T09:49:11","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/pt\/derivada-do-arco-tangente-hiperbolico\/"},"modified":"2023-07-03T09:49:11","modified_gmt":"2023-07-03T09:49:11","slug":"derivada-do-arco-tangente-hiperbolico","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/pt\/derivada-do-arco-tangente-hiperbolico\/","title":{"rendered":"Derivada do arco tangente hiperb\u00f3lico"},"content":{"rendered":"

Aqui voc\u00ea descobrir\u00e1 como derivar o arco tangente hiperb\u00f3lico de uma fun\u00e7\u00e3o. Voc\u00ea tamb\u00e9m poder\u00e1 ver exemplos resolvidos deste tipo de derivadas trigonom\u00e9tricas e, por fim, mostraremos a f\u00f3rmula da derivada do arco tangente hiperb\u00f3lico. <\/p>\n

<\/span> F\u00f3rmula para a derivada do arco tangente hiperb\u00f3lico<\/span><\/h2>\n

A derivada do arco tangente hiperb\u00f3lico de x \u00e9 um sobre um menos x ao quadrado.<\/strong><\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arctanh}(x)<\/p>\n<\/p>\n

Portanto, a derivada do arco tangente hiperb\u00f3lico de uma fun\u00e7\u00e3o<\/strong> \u00e9 igual ao quociente da derivada dessa fun\u00e7\u00e3o dividido por um menos a referida fun\u00e7\u00e3o ao quadrado.<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arctanh}(u)<\/p>\n<\/p>\n

Na verdade, ambas as f\u00f3rmulas s\u00e3o iguais, mas na segunda aplica-se a regra da cadeia. Por exemplo, substituir x por u nos d\u00e1 exatamente a primeira f\u00f3rmula, j\u00e1 que a derivada de x \u00e9 1. <\/p>\n

\n
\"derivada<\/figure>\n<\/div>\n

Assim como o arco tangente \u00e9 a fun\u00e7\u00e3o inversa da tangente, o arco tangente hiperb\u00f3lico \u00e9 o inverso da tangente hiperb\u00f3lica. Mesmo assim suas derivadas s\u00e3o bem diferentes, voc\u00ea pode conferir a derivada dessa fun\u00e7\u00e3o trigonom\u00e9trica aqui:<\/p>\n

\u27a4<\/span> Veja:<\/strong> f\u00f3rmula da derivada da tangente hiperb\u00f3lica<\/a><\/span> <\/p>\n

<\/span> Exemplos de derivada de arco tangente hiperb\u00f3lico<\/span><\/h2>\n

Exemplo 1<\/h3>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arctanh}(2x)\"<\/p>\n<\/p>\n

Logicamente, devemos aplicar a regra da derivada do arco tangente hiperb\u00f3lico:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arctanh}(u)<\/p>\n<\/p>\n

A derivada de 2x \u00e9 2, ent\u00e3o coloque dois no numerador da fra\u00e7\u00e3o e um menos 2x ao quadrado no denominador:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arctanh}(2x)<\/p>\n<\/p>\n

Exemplo 2<\/h3>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arctanh}(e^{3x})\"<\/p>\n<\/p>\n

Para resolver a derivada desta fun\u00e7\u00e3o, precisamos de utilizar a f\u00f3rmula da derivada do arco tangente hiperb\u00f3lico.<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arctanh}(u)<\/p>\n<\/p>\n

Al\u00e9m disso, a fun\u00e7\u00e3o do argumento arco tangente hiperb\u00f3lico \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o composta, portanto tamb\u00e9m precisaremos aplicar a regra da cadeia: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{arctanh}(e^{3x})<\/p>\n<\/p>\n

<\/span>Prova da derivada do arco tangente hiperb\u00f3lico<\/span><\/h2>\n

Nesta se\u00e7\u00e3o final, demonstraremos a f\u00f3rmula da derivada do arco tangente hiperb\u00f3lico.<\/p>\n<\/p>\n

\"y=\\text{arctanh}(x)\"<\/p>\n<\/p>\n

Como a tangente hiperb\u00f3lica \u00e9 a tangente hiperb\u00f3lica inversa, podemos expressar a igualdade anterior de outra forma:<\/p>\n<\/p>\n

\"x=\\text{tanh}(y)\"<\/p>\n<\/p>\n

Agora diferenciamos ambos os lados da equa\u00e7\u00e3o:<\/p>\n<\/p>\n

\"1=\\cfrac{1}{\\text{cosh}^2(y)}\\cdot<\/p>\n<\/p>\n

N\u00f3s limpamos voc\u00ea:<\/p>\n<\/p>\n

\"y'=\\text{cosh}^2(y)\"<\/p>\n<\/p>\n

Por outro lado, sabemos que a diferen\u00e7a dos quadrados do cosseno hiperb\u00f3lico e do seno hiperb\u00f3lico d\u00e1 1. Podemos portanto transformar a express\u00e3o anterior numa fra\u00e7\u00e3o:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{cosh}^2(y)-\\text{senh}^2(y)=1\"<\/p>\n<\/p>\n

\"y'=\\cfrac{\\text{cosh}^2(y)}{1}=\\cfrac{\\text{cosh}^2(y)}{\\text{cosh}^2(y)-\\text{senh}^2(y)}\"<\/p>\n<\/p>\n

Dividimos todos os termos da fra\u00e7\u00e3o pelo quadrado do cosseno hiperb\u00f3lico:<\/p>\n<\/p>\n

\"y'=\\cfrac{\\cfrac{\\text{cosh}^2(y)}{\\text{cosh}^2(y)}}{\\cfrac{\\text{cosh}^2(y)}{\\text{cosh}^2(y)}-\\cfrac{\\text{senh}^2(y)}{\\text{cosh}^2(y)}}\"<\/p>\n<\/p>\n

\"y'=\\cfrac{1}{1-\\cfrac{\\text{senh}^2(y)}{\\text{cosh}^2(y)}}\"<\/p>\n<\/p>\n

O quociente do seno hiperb\u00f3lico entre o cosseno hiperb\u00f3lico \u00e9 igual \u00e0 tangente hiperb\u00f3lica, portanto:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{tanh}(x)=\\cfrac{\\text{senh}(x)}{\\text{cosh}(x)}\"<\/p>\n<\/p>\n

\"y'=\\cfrac{1}{1-\\text{tanh}^2(y)}\"<\/p>\n<\/p>\n

Mas, como vimos no in\u00edcio da prova, a tangente hiperb\u00f3lica \u00e9 equivalente \u00e0 vari\u00e1vel x, podemos portanto substituir a express\u00e3o obtendo assim a f\u00f3rmula da derivada da tangente do arco hiperb\u00f3lico: <\/p>\n<\/p>\n

\"y'=\\cfrac{1}{1-x^2}\"<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> itens similares<\/span><\/h2>\n