{"id":375,"date":"2023-07-04T03:00:17","date_gmt":"2023-07-04T03:00:17","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/pt\/indeterminacao-infinita-entre-infinito-%e2%88%9e-%e2%88%9e\/"},"modified":"2023-07-04T03:00:17","modified_gmt":"2023-07-04T03:00:17","slug":"indeterminacao-infinita-entre-infinito-%e2%88%9e-%e2%88%9e","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/pt\/indeterminacao-infinita-entre-infinito-%e2%88%9e-%e2%88%9e\/","title":{"rendered":"Indetermina\u00e7\u00e3o infinita entre o infinito (\u221e\/\u221e)"},"content":{"rendered":"

Neste artigo explicamos como calcular o infinito da indetermina\u00e7\u00e3o entre o infinito (\u221e\/\u221e). Voc\u00ea encontrar\u00e1 exemplos desta indetermina\u00e7\u00e3o com todos os tipos de fun\u00e7\u00f5es: fun\u00e7\u00f5es polinomiais, radicais, exponenciais, etc. Al\u00e9m disso, voc\u00ea poder\u00e1 treinar com exerc\u00edcios resolvidos passo a passo de limites que d\u00e3o infinitas indetermina\u00e7\u00f5es entre infinitos. <\/p>\n

<\/span> Como resolver a indetermina\u00e7\u00e3o infinita entre infinito<\/span><\/h2>\n

Quando o limite de uma fun\u00e7\u00e3o d\u00e1 infinito dividido por infinito, significa que se trata de uma indetermina\u00e7\u00e3o (ou forma indeterminada). Para resolver o limite de uma fun\u00e7\u00e3o que d\u00e1 infinito de indetermina\u00e7\u00e3o entre o infinito,<\/strong> o grau do polin\u00f4mio do numerador deve ser comparado ao grau do polin\u00f4mio do denominador.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

O resultado da indetermina\u00e7\u00e3o infinito dividido pelo infinito depende do grau do numerador e do grau do denominador da fra\u00e7\u00e3o:<\/p>\n

    \n
  1. Se o grau do polin\u00f4mio do numerador for menor que o grau do polin\u00f4mio do denominador, o infinito da indetermina\u00e7\u00e3o dividido pelo infinito \u00e9 igual a zero.<\/u><\/strong><\/span><\/li>\n
  2. Se o grau do polin\u00f4mio do numerador for equivalente ao grau do polin\u00f4mio do denominador, a indetermina\u00e7\u00e3o infinita sobre o infinito \u00e9 o quociente dos coeficientes principais dos dois polin\u00f4mios.<\/u><\/strong><\/span><\/li>\n
  3. Se o grau do polin\u00f4mio do numerador for maior que o grau do polin\u00f4mio do denominador, o infinito da indetermina\u00e7\u00e3o entre o infinito d\u00e1 mais ou menos infinito<\/u><\/strong> (o sinal depende dos termos principais dos dois polin\u00f4mios).<\/span> <\/li>\n<\/ol>\n

    \"\\displaystyles \\end{array}\\right.” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”139″ width=”767″ style=”vertical-align: 0px;”><\/p>\n<\/p>\n

    <\/span> Exemplos de indetermina\u00e7\u00f5es infinitas entre o infinito<\/span><\/h2>\n

    Vamos ver como a forma indeterminada infinito entre infinito \u00e9 resolvida observando v\u00e1rios exemplos de cada caso:<\/p>\n

    grau do numerador menor que o grau do denominador<\/h3>\n

    Como vimos acima, quando o grau do polin\u00f4mio do numerador \u00e9 menor que o grau do polin\u00f4mio do denominador, o limite infinito indeterminado entre o infinito sempre d\u00e1 0.<\/p>\n

    Exemplo 1:<\/h4>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    O polin\u00f4mio do numerador \u00e9 de segundo grau, enquanto o do denominador \u00e9 de terceiro grau, ent\u00e3o a solu\u00e7\u00e3o do limite \u00e9 0.<\/p>\n

    Exemplo 2:<\/h4>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    A fun\u00e7\u00e3o polinomial do numerador \u00e9 de primeiro grau, mas a fun\u00e7\u00e3o do denominador \u00e9 de quarto grau, ent\u00e3o o limite ao infinito negativo \u00e9 0.<\/p>\n

    grau do numerador igual ao grau do denominador<\/h3>\n

    Quando o grau do polin\u00f4mio do numerador \u00e9 igual ao grau do polin\u00f4mio do denominador, o limite indeterminado infinito por infinito \u00e9 calculado dividindo os coeficientes l\u00edderes (coeficiente do termo de grau superior) dos dois polin\u00f4mios.<\/p>\n

    Exemplo 3:<\/h4>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    Neste caso, os dois polin\u00f4mios s\u00e3o de segundo grau, portanto \u00e9 necess\u00e1rio dividir os coeficientes dos termos de grau superior para encontrar o limite no infinito positivo.<\/p>\n

    Exemplo 4:<\/h4>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    Embora o limite seja quando x tende a menos infinito, a indetermina\u00e7\u00e3o infinita entre o infinito se resolve da mesma maneira.<\/p>\n

    Grau do numerador maior que o grau do denominador<\/h3>\n

    Quando o grau do polin\u00f4mio do numerador \u00e9 maior que o grau do polin\u00f4mio do denominador, a forma indeterminada do infinito entre o infinito sempre dar\u00e1 o infinito, e o sinal do infinito \u00e9 determinado pelos termos de grau superior dos dois polin\u00f4mios.<\/p>\n

    Exemplo 5:<\/h4>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    A fun\u00e7\u00e3o do numerador tem um grau superior ao do denominador, ent\u00e3o a indetermina\u00e7\u00e3o infinito sobre infinito d\u00e1 infinito. Al\u00e9m disso, neste caso tanto o numerador quanto o denominador obt\u00eam infinito positivo, ent\u00e3o o resultado do limite tamb\u00e9m deve ser positivo.<\/p>\n

    Exemplo 6:<\/h4>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    Neste problema, um infinito positivo \u00e9 obtido do numerador porque qualquer termo quadrado \u00e9 positivo, por outro lado, um infinito negativo \u00e9 obtido do denominador. Portanto, o limite resultante \u00e9 negativo porque positivo dividido por negativo \u00e9 igual a negativo. <\/p>\n

    <\/span> Indetermina\u00e7\u00e3o infinita entre o infinito com ra\u00edzes<\/span><\/h2>\n

    Acabamos de ver como calcular a indetermina\u00e7\u00e3o infinita entre o infinito quando temos fun\u00e7\u00f5es polinomiais. Mas\u2026 quanto \u00e9 o infinito dividido pelo infinito se tivermos ra\u00edzes?<\/p>\n

    O grau de uma fun\u00e7\u00e3o irracional<\/strong> (fun\u00e7\u00e3o com ra\u00edzes) \u00e9 o quociente entre o grau do termo principal e o \u00edndice do radical.<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\sqrt[\\color{red}\\bm{m}\\color{black}]{a_nx^{\\color{blue}\\bm{n}\\color{black}}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\\dots}<\/p>\n<\/p>\n

    Portanto, se o limite de uma fun\u00e7\u00e3o com ra\u00edzes d\u00e1 a indetermina\u00e7\u00e3o entre o infinito<\/strong> , devemos aplicar as mesmas regras explicadas acima para os graus do numerador e do denominador, mas levando em considera\u00e7\u00e3o que o grau de um polin\u00f4mio com ra\u00edzes \u00e9 calculado de forma diferente.<\/p>\n

    Veja o seguinte exemplo do limite ao infinito de uma fun\u00e7\u00e3o com radicais:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    O grau do numerador \u00e9 2 e o grau do denominador \u00e9 4 (8\/2=4), portanto o limite \u00e9 0 porque o grau do numerador \u00e9 menor que o grau do denominador.<\/p>\n

    Por outro lado, se o grau do numerador e do denominador forem iguais, para calcular o limite indeterminado devemos tomar o coeficiente principal com o radical: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    <\/span> Indetermina\u00e7\u00e3o infinita entre o infinito com fun\u00e7\u00f5es exponenciais<\/span><\/h2>\n

    Por fim, s\u00f3 nos resta estudar um caso de quociente de indetermina\u00e7\u00e3o de infinitos: quanto \u00e9 a indetermina\u00e7\u00e3o infinita entre infinito e fun\u00e7\u00f5es exponenciais.<\/p>\n

    O crescimento de uma fun\u00e7\u00e3o exponencial \u00e9 muito maior que o crescimento de uma fun\u00e7\u00e3o polinomial, portanto devemos considerar que o grau de uma fun\u00e7\u00e3o exponencial \u00e9 maior que o grau de uma fun\u00e7\u00e3o polinomial.<\/strong><\/p>\n<\/p>\n

    \"\\text{exponencial}\\text{polinomio}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”16″ width=”192″ style=”vertical-align: -4px;”><\/p>\n<\/p>\n

    Portanto, se a indetermina\u00e7\u00e3o infinita dividida pelo infinito resulta de um limite com fun\u00e7\u00f5es exponenciais, basta aplicar as mesmas regras explicadas para os graus do numerador e do denominador, mas levando em considera\u00e7\u00e3o que uma fun\u00e7\u00e3o exponencial \u00e9 de ordem superior a um polin\u00f4mio. .<\/p>\n

    Al\u00e9m disso, se tivermos fun\u00e7\u00f5es exponenciais no numerador e no denominador da divis\u00e3o, a fun\u00e7\u00e3o exponencial com base maior ser\u00e1 de ordem superior.<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    Neste caso, o denominador \u00e9 formado por uma fun\u00e7\u00e3o exponencial, portanto \u00e9 de ordem superior ao numerador. Portanto, a forma indeterminada infinito entre o infinito desaparece. <\/p>\n

    <\/span> Exerc\u00edcios resolvidos de indetermina\u00e7\u00e3o infinita entre o infinito<\/span><\/h2>\n

    Exerc\u00edcio 1<\/h3>\n

    Calcule o limite da seguinte fun\u00e7\u00e3o racional: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    veja solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    Ao calcular o limite, obtemos a indetermina\u00e7\u00e3o infinita entre o infinito, mas como o grau do numerador \u00e9 menor que o grau do denominador, o limite indeterminado \u00e9 igual a zero. <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 2<\/h3>\n

    Resolva o seguinte limite indeterminado: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    veja solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    Ao tentar calcular o limite, obt\u00e9m-se a indetermina\u00e7\u00e3o \u221e\/\u221e. Neste caso, o grau do polin\u00f4mio do numerador \u00e9 maior que o grau do polin\u00f4mio do denominador, portanto o limite indeterminado \u00e9 igual a mais infinito. <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 3<\/h3>\n

    Resolva o seguinte limite no infinito: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    veja solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    O limite d\u00e1 indetermina\u00e7\u00e3o menos infinito entre mais infinito. O grau do numerador \u00e9 maior que o grau do denominador, ent\u00e3o o limite indeterminado \u00e9 igual a mais infinito. Por\u00e9m, como a divis\u00e3o \u00e9 infinito negativo por infinito positivo, o resultado \u00e9 menos infinito. <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 4<\/h3>\n

    Resolva o seguinte limite indeterminado: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    veja solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    Neste problema, a forma infinita indeterminada sobre o infinito \u00e9 obtida a partir do quociente de dois polin\u00f4mios de mesmo grau, portanto, o resultado do limite indeterminado \u00e9 a divis\u00e3o de seus coeficientes principais: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 5<\/h3>\n

    Calcule o seguinte limite pelo menos at\u00e9 o infinito: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    veja solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    O grau da express\u00e3o alg\u00e9brica do numerador \u00e9 menor que o grau da express\u00e3o do denominador, ent\u00e3o a indetermina\u00e7\u00e3o +\u221e\/+\u221e d\u00e1 0: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 6<\/h3>\n

    Resolva o seguinte limite indeterminado de uma fun\u00e7\u00e3o com ra\u00edzes: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    veja solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    A express\u00e3o para o numerador est\u00e1 sob um radical, ent\u00e3o seu grau \u00e9 7\/3. Por outro lado, o polin\u00f4mio no denominador \u00e9 quadr\u00e1tico. E como 7\/3>2, o limite d\u00e1 mais infinito: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 7<\/h3>\n

    Determine o limite ao infinito da seguinte fun\u00e7\u00e3o com fra\u00e7\u00f5es: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    veja solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    Neste exerc\u00edcio, a indetermina\u00e7\u00e3o menos infinito dividido por menos infinito \u00e9 obtida com o grau do numerador maior que o grau do denominador, portanto: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 8<\/h3>\n

    Encontre o limite pelo menos ao infinito da seguinte fun\u00e7\u00e3o: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    veja solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    O polin\u00f4mio denominador \u00e9 quadr\u00e1tico, enquanto o polin\u00f4mio numerador \u00e9 linear. Portanto, o infinito da indetermina\u00e7\u00e3o dividido pelo infinito d\u00e1 0. <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 9<\/h3>\n

    Resolva o limite pelo menos infinito da seguinte fun\u00e7\u00e3o: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    veja solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    O numerador \u00e9 de grau maior que o denominador, ent\u00e3o o resultado da forma indeterminada \u221e\/\u221e ser\u00e1 infinito. Al\u00e9m disso, o sinal do infinito ser\u00e1 negativo porque o positivo dividido pelo negativo d\u00e1 o negativo: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 10<\/h3>\n

    Resolva o seguinte limite com indetermina\u00e7\u00e3o infinita entre o infinito: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    veja solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    A fun\u00e7\u00e3o exponencial \u00e9 de ordem superior \u00e0 fun\u00e7\u00e3o polinomial, ent\u00e3o o limite dar\u00e1 infinito. Por\u00e9m, dividindo o positivo pelo negativo, o sinal do infinito ser\u00e1 negativo: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 11<\/h3>\n

    Calcule o seguinte limite: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    veja solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    Neste problema, a indetermina\u00e7\u00e3o infinito no infinito \u00e9 resolvida dividindo os coeficientes dominantes dos dois polin\u00f4mios, uma vez que s\u00e3o do mesmo grau: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 12<\/h3>\n

    Resolva o limite da seguinte fun\u00e7\u00e3o quando x se aproxima do infinito: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    veja solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    Embora a inc\u00f3gnita no numerador n\u00e3o seja diretamente elevada ao quadrado, ao resolver a identidade not\u00e1vel podemos ver claramente que o grau do numerador \u00e9 maior que o grau do denominador. Ainda: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 13<\/h3>\n

    Calcule o limite ao infinito da seguinte fun\u00e7\u00e3o com raiz c\u00fabica: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    veja solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    O numerador \u00e9 formado por uma raiz c\u00fabica, ent\u00e3o seu grau \u00e9 3\/3=1. Ent\u00e3o, o grau do numerador \u00e9 igual ao do denominador, ent\u00e3o a indetermina\u00e7\u00e3o infinita entre o infinito \u00e9 resolvida da seguinte forma: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 14<\/h3>\n

    Resolva o limite ao infinito da seguinte fun\u00e7\u00e3o com dois radicais: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    veja solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    O grau do numerador \u00e9 7\/3 = 2,33 e o grau do denominador \u00e9 5\/2 = 2,5. Portanto, como o grau do numerador \u00e9 menor que o grau do denominador, o limite infinito indeterminado entre o infinito \u00e9 0: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 15<\/h3>\n

    Calcule o seguinte limite: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    veja solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    Independentemente do grau do numerador, como temos uma fun\u00e7\u00e3o exponencial no denominador, o resultado da forma indeterminada infinito sobre infinito \u00e9 0: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Neste artigo explicamos como calcular o infinito da indetermina\u00e7\u00e3o entre o infinito (\u221e\/\u221e). Voc\u00ea encontrar\u00e1 exemplos desta indetermina\u00e7\u00e3o com todos os tipos de fun\u00e7\u00f5es: fun\u00e7\u00f5es polinomiais, radicais, exponenciais, etc. Al\u00e9m disso, voc\u00ea poder\u00e1 treinar com exerc\u00edcios resolvidos passo a passo de limites que d\u00e3o infinitas indetermina\u00e7\u00f5es entre infinitos. Como resolver a indetermina\u00e7\u00e3o infinita entre infinito …<\/p>\n

    Indetermina\u00e7\u00e3o infinita entre o infinito (\u221e\/\u221e)<\/span> Leia mais »<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[16],"tags":[],"class_list":["post-375","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-limites-de-funcao"],"yoast_head":"\nIndetermina\u00e7\u00e3o infinita entre o infinito (\u221e\/\u221e) - Mathority<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\/indeterminacao-infinita-entre-infinito-\u221e-\u221e\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pt_BR\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Indetermina\u00e7\u00e3o infinita entre o infinito (\u221e\/\u221e) - Mathority\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Neste artigo explicamos como calcular o infinito da indetermina\u00e7\u00e3o entre o infinito (\u221e\/\u221e). 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