{"id":373,"date":"2023-07-04T05:10:26","date_gmt":"2023-07-04T05:10:26","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/pt\/limites-laterais\/"},"modified":"2023-07-04T05:10:26","modified_gmt":"2023-07-04T05:10:26","slug":"limites-laterais","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/pt\/limites-laterais\/","title":{"rendered":"Limites laterais"},"content":{"rendered":"

Neste artigo explicamos o que \u00e9 o limite lateral de uma fun\u00e7\u00e3o (com exemplos). Tamb\u00e9m ensinamos como calcular os limites laterais esquerdo e direito de uma fun\u00e7\u00e3o, tanto gr\u00e1fica quanto numericamente. Al\u00e9m disso, voc\u00ea poder\u00e1 treinar com exerc\u00edcios resolvidos passo a passo dos limites laterais. <\/p>\n

<\/span> Quais s\u00e3o os limites laterais?<\/span><\/h2>\n

Os limites laterais de uma fun\u00e7\u00e3o<\/strong> num ponto estudam o comportamento da fun\u00e7\u00e3o em torno desse ponto. Existe o limite lateral esquerdo e o limite lateral direito, que analisa o valor da fun\u00e7\u00e3o \u00e0 esquerda e \u00e0 direita do ponto considerado respectivamente. <\/p>\n

<\/span> Limites laterais esquerdo e direito<\/span><\/h2>\n

Como vimos na defini\u00e7\u00e3o dos limites laterais, existem dois tipos: limites laterais esquerdos e limites laterais direitos.<\/p>\n

O limite esquerdo da fun\u00e7\u00e3o \u00e9 expresso por um sinal de menos no ponto onde o limite \u00e9 analisado e, por outro lado, o limite direito \u00e9 indicado pelo sinal de mais. <\/p>\n

\n
\n

Limite lateral \u00e0 esquerda<\/u><\/strong> <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n

\n

Limite lateral \u00e0 direita<\/u><\/strong><\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

Veja o exemplo a seguir para entender melhor o significado dos limites laterais: <\/p>\n

\"limites<\/figure>\n

Como voc\u00ea pode ver na representa\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica desta fun\u00e7\u00e3o por partes, os limites laterais dependem do lado em que s\u00e3o calculados.<\/p>\n

Nesse caso, a fun\u00e7\u00e3o se aproxima de 3 quando x se aproxima de 2 pela esquerda, j\u00e1 que a fun\u00e7\u00e3o assume valores mais pr\u00f3ximos de 3 quando x<\/em> se aproxima de x=2 pela sua esquerda.<\/p>\n

Por outro lado, o limite lateral da fun\u00e7\u00e3o em x=2 pela reta vale 6. Porque se nos aproximarmos do ponto x=2 pela sua reta, a fun\u00e7\u00e3o assume valores cada vez mais pr\u00f3ximos de f(x)= 6.<\/p>\n

Por outro lado, voc\u00ea deve saber que os limites laterais t\u00eam as mesmas propriedades dos limites normais. No link a seguir voc\u00ea pode ver quais s\u00e3o as propriedades dos limites:<\/p>\n

\u27a4<\/span> Veja:<\/strong> propriedades de limite<\/a><\/span><\/p>\n

<\/span>limites laterais iguais<\/span><\/h2>\n

Acabamos de ver um exemplo onde os limites laterais de uma fun\u00e7\u00e3o s\u00e3o diferentes, mas… o que acontece se os limites laterais forem iguais?<\/p>\n

Se ambos os limites laterais de uma fun\u00e7\u00e3o num ponto existem e s\u00e3o iguais<\/strong> , o limite da fun\u00e7\u00e3o existe nesse ponto e o resultado do limite \u00e9 o valor dos limites laterais.<\/p>\n

Em outras palavras, para que o limite de uma fun\u00e7\u00e3o exista em um ponto, a seguinte condi\u00e7\u00e3o deve ser atendida:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Portanto, se os limites laterais de uma fun\u00e7\u00e3o num ponto forem diferentes, o limite da fun\u00e7\u00e3o nesse ponto n\u00e3o existe.<\/p>\n

Al\u00e9m disso, que exista o limite de uma fun\u00e7\u00e3o em um ponto \u00e9 uma condi\u00e7\u00e3o essencial para que ela seja uma fun\u00e7\u00e3o cont\u00ednua em um ponto<\/a><\/span> .<\/p>\n

Vamos resolver um exemplo para finalizar o entendimento do conceito de limites laterais: <\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

Os limites laterais no ponto x=-2 da fun\u00e7\u00e3o representada graficamente coincidem, pois o valor da fun\u00e7\u00e3o tende para 3 quer nos aproximemos de x=-2 pela esquerda ou pela direita. Portanto, o limite da fun\u00e7\u00e3o em x=-2 \u00e9 igual a 3.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Por outro lado, no ponto x=4 os limites laterais s\u00e3o diferentes, pois pela esquerda a fun\u00e7\u00e3o se aproxima de f(x)=3 mas pela direita a fun\u00e7\u00e3o se aproxima de f(x)=2. O limite da fun\u00e7\u00e3o neste ponto, portanto, n\u00e3o existe. <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> C\u00e1lculo dos limites laterais<\/span><\/h2>\n

Dada a defini\u00e7\u00e3o dos limites laterais, veremos como eles s\u00e3o calculados numericamente resolvendo o seguinte exemplo:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Se calcularmos o limite normalmente, obteremos a indetermina\u00e7\u00e3o de um n\u00famero real dividido por 0:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Por\u00e9m, ao calcular os limites laterais, n\u00e3o obtemos nenhuma indetermina\u00e7\u00e3o.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Para calcular o limite lateral da fun\u00e7\u00e3o \u00e0 esquerda em x=2, voc\u00ea deve pegar um n\u00famero menor que x=2, mas muito pr\u00f3ximo dele, por exemplo x=1,999.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Neste caso o denominador ser\u00e1 um n\u00famero negativo com um valor muito pequeno mas nem sequer zero, e \u00e9 geralmente representado por um zero e um sinal de menos na frente dele:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Portanto, o resultado do limite lateral \u00e9 menos infinito, pois qualquer n\u00famero dividido por 0 d\u00e1 infinito, e positivo dividido por negativo d\u00e1 negativo:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Podemos verificar que a fun\u00e7\u00e3o se aproxima de menos infinito computando imagens da fun\u00e7\u00e3o com valores mais pr\u00f3ximos de x=2 a partir da esquerda.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{array}{c}\\begin{array}{l}f(1,9)=\\cfrac{3}{1,9-2}=-30\\\\[2ex]f(1,99)=\\cfrac{3}{1,99-2}=-300\\\\[2ex]f(1,999)=\\cfrac{3}{1,999-2}=-3000\\\\[2ex]f(1,9999)=\\cfrac{3}{1,9999-2}=-30000\\\\[2ex]f(1,99999)=\\cfrac{3}{1,99999-2}=-300000\\end{array}\\\\[16ex]\\vdots\\\\[1.5ex]<\/p>\n<\/p>\n

Da mesma forma, para encontrar o limite da fun\u00e7\u00e3o no ponto x=2 \u00e0 direita, podemos aplicar o mesmo racioc\u00ednio: tomamos um valor maior que 2 mas muito pr\u00f3ximo, como 2001.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Da mesma forma, podemos verificar que a fun\u00e7\u00e3o tende ao infinito calculando imagens da fun\u00e7\u00e3o com valores cada vez mais pr\u00f3ximos de x=2 \u00e0 direita.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{array}{c}\\begin{array}{l}f(2,1)=\\cfrac{3}{2,1-2}=30\\\\[2ex]f(2,01)=\\cfrac{3}{2,01-2}=300\\\\[2ex]f(2,001)=\\cfrac{3}{2,001-2}=3000\\\\[2ex]f(2,0001)=\\cfrac{3}{2,0001-2}=30000\\\\[2ex]f(2,00001)=\\cfrac{3}{2,00001-2}=300000\\end{array}\\\\[16ex]\\vdots\\\\[1.5ex]<\/p>\n<\/p>\n

No gr\u00e1fico a seguir voc\u00ea pode ver representada a fun\u00e7\u00e3o analisada. Como voc\u00ea pode ver, o limite lateral da fun\u00e7\u00e3o no ponto x=2 \u00e0 esquerda \u00e9 menos infinito, e o limite lateral da fun\u00e7\u00e3o no ponto x=2 \u00e0 direita \u00e9 mais infinito. <\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

<\/span> Problemas de limite lateral corrigidos<\/span><\/h2>\n

Exerc\u00edcio 1<\/h3>\n

Encontre os limites laterais da seguinte fun\u00e7\u00e3o definida por partes nos pontos onde a defini\u00e7\u00e3o muda (x=-2 ex=4). <\/p>\n

\"\"<\/figure>\n
\n
veja solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Os limites laterais n\u00e3o coincidem no ponto x=-2, \u00e0 esquerda a fun\u00e7\u00e3o tende para f(x)=5 e, por outro lado, \u00e0 direita a fun\u00e7\u00e3o \u00e9 constante e vale 3. <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Os limites laterais tamb\u00e9m s\u00e3o diferentes \u00e0 medida que x se aproxima de 4. A fun\u00e7\u00e3o por partes se aproxima de 3 pela esquerda, mas se aproxima de -2 pela direita. <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

Exerc\u00edcio 2<\/h3>\n

Determine se o limite existe quando x se aproxima de 3 da seguinte fun\u00e7\u00e3o por partes e, em caso afirmativo, qual \u00e9 o seu valor. <\/p>\n

\"Limites<\/figure>\n
\n
veja solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Neste problema, os limites laterais no ponto x=3 \u00e0 esquerda e \u00e0 direita s\u00e3o id\u00eanticos, pois a fun\u00e7\u00e3o tende para o mesmo valor (f(x)=3) quer seja abordada pela esquerda ou pela direita . seu lado direito: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Portanto, de acordo com a defini\u00e7\u00e3o matem\u00e1tica do limite, o limite da fun\u00e7\u00e3o quando x tende a 3 \u00e9 igual a 3, porque os dois limites laterais neste mesmo ponto coincidem neste valor:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Embora o limite da fun\u00e7\u00e3o em x=3 seja 3, deve-se levar em conta que a fun\u00e7\u00e3o neste ponto n\u00e3o \u00e9 3, mas sim que f(3)=7. Como veremos mais tarde, isto significa que a fun\u00e7\u00e3o n\u00e3o \u00e9 cont\u00ednua em x=3, mas sim tem uma descontinuidade evit\u00e1vel.<\/p>\n

<\/div>\n

Exerc\u00edcio 3<\/h3>\n

Calcule os limites laterais da seguinte fun\u00e7\u00e3o racional no ponto x=4. <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\cfrac{-2x+3}{x-4}\"<\/p>\n<\/p>\n

\n
veja solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Para calcular o limite quando x tende para 4 pela esquerda, tomamos um valor menor que 4, mas muito pr\u00f3ximo dele, por exemplo 3.999:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Portanto, o limite lateral quando x se aproxima de 4 pela esquerda \u00e9 mais infinito.<\/p>\n

E para resolver o limite quando x tende para 4 pela direita, avaliamos a fun\u00e7\u00e3o em um valor maior que 4 mas muito pr\u00f3ximo dele, por exemplo 4.001:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Portanto, o limite lateral quando x se aproxima de 4 pela direita \u00e9 menos infinito.<\/p>\n

<\/div>\n

Exerc\u00edcio 4<\/h3>\n

Encontre o limite, se existir, da seguinte fun\u00e7\u00e3o por partes definida no ponto x=2: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle2 \\end{array} \\right.” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”75″ width=”235″ style=”vertical-align: 0px;”><\/p>\n<\/p>\n

\n
veja solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Neste caso, a defini\u00e7\u00e3o do problema pede-nos para determinar o limite onde a fun\u00e7\u00e3o por partes muda de express\u00e3o, por isso precisamos de determinar o limite no lado esquerdo utilizando a primeira express\u00e3o e o limite no lado direito utilizando a segunda express\u00e3o. <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

O limite da fun\u00e7\u00e3o em x=2 \u00e0 esquerda coincide com o limite da fun\u00e7\u00e3o \u00e0 direita, ent\u00e3o o limite da fun\u00e7\u00e3o existe e \u00e9 igual a 1: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Neste artigo explicamos o que \u00e9 o limite lateral de uma fun\u00e7\u00e3o (com exemplos). Tamb\u00e9m ensinamos como calcular os limites laterais esquerdo e direito de uma fun\u00e7\u00e3o, tanto gr\u00e1fica quanto numericamente. Al\u00e9m disso, voc\u00ea poder\u00e1 treinar com exerc\u00edcios resolvidos passo a passo dos limites laterais. Quais s\u00e3o os limites laterais? Os limites laterais de uma …<\/p>\n

Limites laterais<\/span> Leia mais »<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[16],"tags":[],"class_list":["post-373","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-limites-de-funcao"],"yoast_head":"\nLimites laterais - Matoridade<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\/limites-laterais\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pt_BR\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Limites laterais - Matoridade\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Neste artigo explicamos o que \u00e9 o limite lateral de uma fun\u00e7\u00e3o (com exemplos). 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