{"id":37,"date":"2023-09-17T11:00:07","date_gmt":"2023-09-17T11:00:07","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/pt\/cadeia-de-regras-derivada\/"},"modified":"2023-09-17T11:00:07","modified_gmt":"2023-09-17T11:00:07","slug":"cadeia-de-regras-derivada","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/pt\/cadeia-de-regras-derivada\/","title":{"rendered":"Regra da cadeia (derivados)"},"content":{"rendered":"

Aqui voc\u00ea aprender\u00e1 o que \u00e9 a regra da cadeia e como derivar fun\u00e7\u00f5es usando a regra da cadeia. Al\u00e9m disso, voc\u00ea poder\u00e1 ver v\u00e1rios exemplos de derivadas resolvidas com a regra da cadeia e ainda poder\u00e1 praticar com exerc\u00edcios resolvidos passo a passo sobre derivadas aplicando a regra da cadeia. <\/p>\n

<\/span> Qual \u00e9 a regra da cadeia?<\/span><\/h2>\n

A regra da cadeia \u00e9 uma f\u00f3rmula usada para derivar fun\u00e7\u00f5es compostas.<\/strong> A regra da cadeia afirma que a derivada de uma fun\u00e7\u00e3o composta f(g(x))<\/em> \u00e9 igual \u00e0 derivada f'(g(x))<\/em> multiplicada pela derivada g'(x)<\/em> . <\/p>\n

\n
\"regra<\/figure>\n<\/div>\n

\u27a4<\/span> Veja:<\/strong> fun\u00e7\u00e3o composta<\/a><\/span><\/p>\n

Informalmente, costuma-se dizer que a regra da cadeia consiste em diferenciar a fun\u00e7\u00e3o e depois multiplic\u00e1-la pelo que est\u00e1 nela<\/em> .<\/p>\n

A f\u00f3rmula da regra da cadeia permite-nos diferenciar fun\u00e7\u00f5es compostas com muito mais facilidade, porque se diferenci\u00e1ssemos uma composi\u00e7\u00e3o de fun\u00e7\u00f5es utilizando o limite da defini\u00e7\u00e3o da derivada, ter\u00edamos que fazer muitos c\u00e1lculos.<\/p>\n

Por outro lado, deve-se levar em considera\u00e7\u00e3o que esta regra s\u00f3 \u00e9 utilizada para encontrar a derivada de fun\u00e7\u00f5es compostas, e n\u00e3o de qualquer tipo de fun\u00e7\u00e3o ou opera\u00e7\u00f5es com fun\u00e7\u00f5es. Por exemplo, um erro muito comum \u00e9 errar e aplicar a regra da cadeia em produtos funcionais como os seguintes:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\ln(x)\\cdot<\/p>\n

\u274c<\/p>\n

A regra da cadeia s\u00f3 pode ser usada quando temos uma fun\u00e7\u00e3o dentro de outra<\/strong> .<\/p>\n<\/p>\n

\"\\ln(x^2)\"<\/p>\n

\u2705 <\/p>\n

<\/span> Exemplos de derivadas com a regra da cadeia<\/span><\/h2>\n

Dada a defini\u00e7\u00e3o da regra da cadeia, derivaremos v\u00e1rias fun\u00e7\u00f5es com a regra da cadeia como exemplo. Lembre-se que se em algum exemplo voc\u00ea n\u00e3o entender como a fun\u00e7\u00e3o \u00e9 derivada com a regra da cadeia, pode nos perguntar nos coment\u00e1rios!<\/p>\n

Exemplo 1<\/h3>\n

Neste exemplo, usaremos a regra da cadeia para derivar o logaritmo natural de x ao quadrado:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\ln(x^2)\"<\/p>\n<\/p>\n

A derivada do logaritmo natural \u00e9 igual a 1 vezes o seu argumento, ent\u00e3o a derivada<\/p>\n<\/p>\n

\"f'\\bigl(g(x)\\bigr)\"<\/p>\n

ser:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\ln(u)<\/p>\n<\/p>\n

\"f\\bigl(g(x)\\bigr)=\\ln(x^2)<\/p>\n<\/p>\n

Por outro lado, a derivada de x elevada \u00e0 pot\u00eancia de dois \u00e9 2x:<\/p>\n<\/p>\n

\"g(x)=x^2\\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black}<\/p>\n<\/p>\n

Finalmente, calculamos a derivada de toda a fun\u00e7\u00e3o aplicando a regra da cadeia. A derivada da fun\u00e7\u00e3o composta ser\u00e1 o produto das duas derivadas que acabamos de encontrar:<\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\ln(x^2)<\/p>\n<\/p>\n

Exemplo 2<\/h3>\n

Neste segundo exemplo, derivaremos uma fun\u00e7\u00e3o potencial baseada em um polin\u00f4mio:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\left(3x^2+4x-5\\right)^3\"<\/p>\n<\/p>\n

Para derivar uma pot\u00eancia, precisamos colocar o expoente original na frente dele e subtrair uma unidade do expoente, de modo que a derivada da fun\u00e7\u00e3o potencial sem aplicar a regra da cadeia seria:<\/p>\n<\/p>\n

\"f\\bigl(g(x)\\bigr)=\\left(3x^2+4x-5\\right)^3<\/p>\n<\/p>\n

Agora deduzimos o que est\u00e1 entre par\u00eanteses:<\/p>\n<\/p>\n

\"g(x)=3x^2+4x-5\\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black}<\/p>\n<\/p>\n

E por fim, utilizamos a regra da cadeia para resolver a derivada de toda a fun\u00e7\u00e3o, que ser\u00e1 a multiplica\u00e7\u00e3o das duas derivadas calculadas anteriormente: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\left(3x^2+4x-5\\right)^3<\/p>\n<\/p>\n

Exemplo 3<\/h3>\n

Neste caso, resolveremos a derivada seno de x ao cubo mais 7x:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{sen}(x^3+7x)\"<\/p>\n<\/p>\n

Na verdade, \u00e9 uma composi\u00e7\u00e3o de fun\u00e7\u00f5es porque temos a fun\u00e7\u00e3o x 3<\/sup> +7x dentro da fun\u00e7\u00e3o seno, podemos portanto usar a regra da cadeia para encontrar a derivada da fun\u00e7\u00e3o composta.<\/p>\n

Por um lado, a derivada do seno \u00e9 o cosseno, ent\u00e3o a derivada da fun\u00e7\u00e3o exterior ser\u00e1 o cosseno com o mesmo argumento do seno:<\/p>\n<\/p>\n

\"f\\bigl(g(x)\\bigr)=\\text{sen}(x^3+7x)<\/p>\n<\/p>\n

E por outro lado, a derivada de x 3<\/sup> +7x \u00e9 3x 2<\/sup> +7.<\/p>\n<\/p>\n

\"g(x)=x^3+7x\\quad\\color{orange}\\bm{\\longrightarrow}\\quad\\color{black}<\/p>\n<\/p>\n

Portanto, a derivada da fun\u00e7\u00e3o composta \u00e9 o produto das duas derivadas: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{sen}(x^3+7x)<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Exerc\u00edcios resolvidos sobre derivadas com a regra da cadeia<\/span><\/h2>\n

Exerc\u00edcio 1<\/h3>\n

Derive a seguinte fun\u00e7\u00e3o composta usando a regra da cadeia: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\left(5x^2-6x\\right)^3\"<\/p>\n<\/p>\n

\n
Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

A fun\u00e7\u00e3o exterior \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o potencial, portanto para calcular sua derivada deve-se aplicar a seguinte f\u00f3rmula: <\/p>\n<\/p>\n

\"f\\bigl(g(x)\\bigr)=a\\bigl(g(x)\\bigr)^n<\/p>\n<\/p>\n

\"f\\bigl(g(x)\\bigr)=\\left(5x^2-6x\\right)^3\\<\/p>\n<\/p>\n

E ent\u00e3o calculamos a derivada da fun\u00e7\u00e3o interna. \u00c9 uma subtra\u00e7\u00e3o de pot\u00eancias, portanto para calcular sua derivada deve-se aplicar a seguinte f\u00f3rmula a cada um de seus termos: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=ax^n<\/p>\n<\/p>\n

\"g(x)=5x^2-6x\\<\/p>\n

\"g'(x)=2\\cdot<\/p>\n<\/p>\n

Resumindo, a derivada da fun\u00e7\u00e3o composta \u00e9 o produto das duas derivadas encontradas: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\left(5x^2-6x\\right)^3<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

Exerc\u00edcio 2<\/h3>\n

Resolva a derivada da seguinte fun\u00e7\u00e3o composta usando a regra da cadeia: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=-3\\left(5x^5+9x^3\\right)^4\"<\/p>\n<\/p>\n

\n
Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Primeiro, encontramos a derivada da fun\u00e7\u00e3o exterior:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{aligned}<\/p>\n<\/p>\n

E agora resolvemos a derivada da fun\u00e7\u00e3o interior:<\/p>\n<\/p>\n

\"g(x)=5x^5+9x^3\\<\/p>\n<\/p>\n

A derivada de toda a fun\u00e7\u00e3o \u00e9, portanto: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=-3\\left(5x^5+9x^3\\right)^4<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

Exerc\u00edcio 3<\/h3>\n

Calcule a derivada da seguinte composi\u00e7\u00e3o de fun\u00e7\u00f5es com a regra da cadeia: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=e^{2x^3}\"<\/p>\n<\/p>\n

\n
Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

\u00c9 uma fun\u00e7\u00e3o exponencial, portanto para calcular sua derivada deve-se aplicar a seguinte f\u00f3rmula: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=e^{x}<\/p>\n<\/p>\n

\"f\\bigl(g(x)\\bigr)=e^{2x^3}<\/p>\n<\/p>\n

Tamb\u00e9m diferenciamos a fun\u00e7\u00e3o do expoente da fun\u00e7\u00e3o:<\/p>\n<\/p>\n

\"g(x)=2x^3<\/p>\n<\/p>\n

E usamos a regra da cadeia para encontrar a derivada da fun\u00e7\u00e3o composta inteira: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=e^{2x^3}<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

Exerc\u00edcio 4<\/h3>\n

Encontre a derivada da seguinte fun\u00e7\u00e3o composta usando a regra da cadeia: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\sqrt[3]{\\text{sen}(x)<\/p>\n<\/p>\n

\n
Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Esta \u00e9 uma composi\u00e7\u00e3o de fun\u00e7\u00f5es, pois temos uma fun\u00e7\u00e3o senoidal e uma fun\u00e7\u00e3o linear no argumento de uma fun\u00e7\u00e3o irracional. Ent\u00e3o primeiro calculamos a derivada da raiz: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\sqrt[n]{x}<\/p>\n<\/p>\n

\"f\\bigl(g(x)\\bigr)=\\sqrt[3]{\\text{sen}(x)<\/p>\n<\/p>\n

E agora derivamos o argumento do radical. \u00c9 uma soma de fun\u00e7\u00f5es, ent\u00e3o a derivada ser\u00e1 a soma das derivadas de cada termo:<\/p>\n<\/p>\n

\"g(x)=\\text{sen}(x)<\/p>\n<\/p>\n

Assim, a derivada de toda a fun\u00e7\u00e3o \u00e9 igual \u00e0 multiplica\u00e7\u00e3o das duas derivadas calculadas: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{aligned}f(x)=\\sqrt[3]{\\text{sen}(x)+x}<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

Exerc\u00edcio 5<\/h3>\n

Derive a seguinte composi\u00e7\u00e3o de fun\u00e7\u00f5es usando a regra da cadeia: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=3^{x^2+5}\"<\/p>\n<\/p>\n

\n
Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Para aplicar a regra da cadeia, voc\u00ea deve encontrar a derivada da pot\u00eancia e do polin\u00f4mio e depois multiplic\u00e1-los. Assim, derivamos a pot\u00eancia usando a f\u00f3rmula correspondente: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=a^x<\/p>\n<\/p>\n

\"f\\bigl(g(x)\\bigr)=3^{x^2+5}<\/p>\n<\/p>\n

Segundo, derivamos a fun\u00e7\u00e3o polinomial do expoente:<\/p>\n<\/p>\n

\"g(x)=x^2+5<\/p>\n<\/p>\n

E a regra da cadeia nos diz que a derivada de toda a fun\u00e7\u00e3o \u00e9 o produto das derivadas que acabamos de encontrar: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=3^{x^2+5}<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

Exerc\u00edcio 6 <\/h3>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\ln<\/p>\n<\/p>\n

\n
Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Obviamente, a fun\u00e7\u00e3o neste problema \u00e9 composta, pois no argumento do logaritmo natural temos o produto de dois tipos diferentes de fun\u00e7\u00f5es. Ent\u00e3o primeiro diferenciamos o logaritmo: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\ln(x)<\/p>\n<\/p>\n

\"f\\bigl(g(x)\\bigr)=\\ln<\/p>\n<\/p>\n

Segundo, derivamos a fun\u00e7\u00e3o do argumento do logaritmo. Esta \u00e9 uma multiplica\u00e7\u00e3o de duas fun\u00e7\u00f5es, ent\u00e3o voc\u00ea deve usar a seguinte f\u00f3rmula para fazer a deriva\u00e7\u00e3o: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f(x)<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{aligned}g(x)=4x^2<\/p>\n<\/p>\n

Assim, a derivada de toda a fun\u00e7\u00e3o, segundo a regra da cadeia, ser\u00e1 o produto das duas derivadas: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{aligned}f'(x)&=<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

Exerc\u00edcio 7<\/h3>\n

Resolva a derivada da seguinte fun\u00e7\u00e3o usando a regra da cadeia: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\log_9<\/p>\n<\/p>\n

\n
Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Esta \u00e9 uma composi\u00e7\u00e3o de fun\u00e7\u00f5es, portanto vamos diferenciar o logaritmo e seu argumento separadamente e depois multiplicar as derivadas.<\/p>\n

Ent\u00e3o, primeiro, diferenciamos o logaritmo na base 9: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\log_a<\/p>\n<\/p>\n

\"f\\bigl(g(x)\\bigr)=\\log_9<\/p>\n<\/p>\n

E agora calculamos a derivada do argumento do logaritmo. Observe que o n\u00famero e possui uma fun\u00e7\u00e3o em seu argumento, ou seja, \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o composta, portanto tamb\u00e9m precisamos aplicar a regra da cadeia para derivar esta fun\u00e7\u00e3o: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"h(x)=e^{x^2}<\/p>\n<\/p>\n

Assim, a derivada do argumento inteiro do logaritmo ser\u00e1:<\/p>\n<\/p>\n

\"g(x)=<\/p>\n<\/p>\n

E finalmente, a derivada de toda a fun\u00e7\u00e3o ser\u00e1 o produto de f'(g(x)) e g'(x): <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{aligned}f'(x)&=\\cfrac{1}{\\bigl(e^{x^2}-6x^7\\bigr)\\cdot<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

Exerc\u00edcio 8<\/h3>\n

Derive a seguinte fun\u00e7\u00e3o composta usando a regra da cadeia: <\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\text{sen}\\biggl(<\/p>\n<\/p>\n

\n
Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Neste exerc\u00edcio temos uma composi\u00e7\u00e3o de diversas fun\u00e7\u00f5es, portanto teremos que aplicar a regra da cadeia diversas vezes. Primeiro derivamos a fun\u00e7\u00e3o trigonom\u00e9trica do seno, cuja derivada \u00e9 cosseno:<\/p>\n<\/p>\n

\"f\\bigl(g(x)\\bigr)=\\text{sen}\\biggl(<\/p>\n<\/p>\n

E agora calculamos a derivada do argumento do seno usando a regra da cadeia: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{aligned}<\/p>\n<\/p>\n

Finalmente, obtemos a derivada de toda a composi\u00e7\u00e3o de fun\u00e7\u00f5es aplicando novamente a regra da cadeia: <\/p>\n<\/p>\n

\"z(x)=f\\bigl(g(x)\\bigr)<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{f'(x)=\\cos<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

<\/span> Prova de Regra da Cadeia<\/span><\/h2>\n

Finalmente, provaremos a f\u00f3rmula da regra da cadeia. Para fazer isso, partiremos da defini\u00e7\u00e3o matem\u00e1tica de uma derivada:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Seja z<\/em> uma fun\u00e7\u00e3o composta por duas fun\u00e7\u00f5es:<\/p>\n<\/p>\n

\"z=f\\bigl(g(x)\\bigr)\"<\/p>\n<\/p>\n

Ent\u00e3o a derivada da fun\u00e7\u00e3o z<\/em> aplicando a defini\u00e7\u00e3o seria:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Como voc\u00ea j\u00e1 sabe, voc\u00ea pode multiplicar e dividir uma fra\u00e7\u00e3o pelo mesmo termo, pois isso n\u00e3o altera o resultado. Podemos, portanto, passar para a pr\u00f3xima etapa:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Reorganizamos os denominadores das fra\u00e7\u00f5es:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Ao aplicar as propriedades dos limites, podemos dividir o limite acima em dois. Como o limite de um produto \u00e9 igual ao produto dos limites:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

E esta express\u00e3o \u00e9 equivalente ao seguinte:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

A f\u00f3rmula da regra da cadeia est\u00e1, portanto, comprovada, uma vez que chegamos a ela a partir da defini\u00e7\u00e3o da derivada.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Aqui voc\u00ea aprender\u00e1 o que \u00e9 a regra da cadeia e como derivar fun\u00e7\u00f5es usando a regra da cadeia. Al\u00e9m disso, voc\u00ea poder\u00e1 ver v\u00e1rios exemplos de derivadas resolvidas com a regra da cadeia e ainda poder\u00e1 praticar com exerc\u00edcios resolvidos passo a passo sobre derivadas aplicando a regra da cadeia. Qual \u00e9 a regra …<\/p>\n

Regra da cadeia (derivados)<\/span> Leia mais »<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[11],"tags":[],"class_list":["post-37","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-derivados"],"yoast_head":"\n\u25b7 Regra da cadeia (derivadas): exerc\u00edcios resolvidos<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Explicamos como derivar fun\u00e7\u00f5es compostas com a regra da cadeia. 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