{"id":366,"date":"2023-07-04T11:55:40","date_gmt":"2023-07-04T11:55:40","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/pt\/teorema-de-weierstrass\/"},"modified":"2023-07-04T11:55:40","modified_gmt":"2023-07-04T11:55:40","slug":"teorema-de-weierstrass","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/pt\/teorema-de-weierstrass\/","title":{"rendered":"Teorema de weierstrass"},"content":{"rendered":"

Neste artigo voc\u00ea encontrar\u00e1 a defini\u00e7\u00e3o do teorema de Weierstrass. Al\u00e9m disso, voc\u00ea poder\u00e1 praticar diversos exerc\u00edcios resolvidos passo a passo do teorema de Weierstrass para entend\u00ea-lo perfeitamente. <\/p>\n

<\/span> Declara\u00e7\u00e3o do teorema de Weierstrass<\/span><\/h2>\n

O teorema de Weierstrass diz que se uma fun\u00e7\u00e3o \u00e9 cont\u00ednua num intervalo fechado, essa fun\u00e7\u00e3o tem um m\u00e1ximo absoluto e um m\u00ednimo absoluto nesse intervalo.<\/strong><\/p>\n

\u27a4<\/span> Veja:<\/strong> O que \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o cont\u00ednua?<\/a><\/span><\/p>\n

O teorema de Weierstrass afirma apenas que existe um m\u00e1ximo e um m\u00ednimo, mas n\u00e3o \u00e9 \u00fatil calcular os valores desses pontos. <\/p>\n

\n
\"teorema<\/figure>\n<\/div>\n

Por exemplo, a fun\u00e7\u00e3o representada graficamente acima \u00e9 cont\u00ednua no intervalo [a,b] e tem um m\u00ednimo e um m\u00e1ximo neste intervalo. Embora n\u00e3o possamos saber as coordenadas exatas destes dois pontos, sabemos que a fun\u00e7\u00e3o tem estes dois pontos finais no intervalo.<\/p>\n

\u27a4<\/span> Veja:<\/strong> como calcular o m\u00e1ximo e o m\u00ednimo de uma fun\u00e7\u00e3o<\/a><\/span><\/p>\n

Como a fun\u00e7\u00e3o \u00e9 cont\u00ednua ao longo de todo o intervalo, isso significa que ela tamb\u00e9m assumir\u00e1 todos os valores poss\u00edveis entre o m\u00ednimo absoluto e o m\u00e1ximo absoluto nesse mesmo intervalo.<\/p>\n

Al\u00e9m disso, como consequ\u00eancia do teorema de Weierstrass, pode-se deduzir que qualquer fun\u00e7\u00e3o cont\u00ednua em um intervalo fechado \u00e9 limitada acima e abaixo de<\/strong> , e os limites superior e inferior da fun\u00e7\u00e3o s\u00e3o o m\u00e1ximo e o m\u00ednimo absolutos, respectivamente.<\/p>\n

Matematicamente, o teorema de Weierstrass pode ser expresso da seguinte forma:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x_1)\\leq<\/p>\n<\/p>\n

Ouro<\/p>\n<\/p>\n

\"x_1\"<\/p>\n

E<\/p>\n

\"x_2\"<\/p>\n

s\u00e3o dois pontos inclu\u00eddos (o m\u00ednimo absoluto e o m\u00e1ximo absoluto respectivamente) no intervalo fechado<\/p>\n

\"[a,b]\"<\/p>\n

em que a fun\u00e7\u00e3o \u00e9 definida.<\/p>\n

A prova do teorema de Weierstrass \u00e9 bastante complicada e n\u00e3o contribui muito para o conceito, por isso n\u00e3o a explicaremos neste artigo. O importante \u00e9 que voc\u00ea entenda o que \u00e9 o teorema de Weierstrass e para que serve. <\/p>\n

<\/span> Problemas resolvidos pelo teorema de Weierstrass<\/span><\/h2>\n

Exerc\u00edcio 1<\/h3>\n

Determine se a seguinte fun\u00e7\u00e3o est\u00e1 limitada ao intervalo proposto:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\log_3(x-4)<\/p>\n<\/p>\n

\u27a4<\/span> Veja:<\/strong> dom\u00ednio de uma fun\u00e7\u00e3o logar\u00edtmica<\/a><\/span> <\/p>\n

\n
veja solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Podemos determinar se a fun\u00e7\u00e3o \u00e9 limitada no intervalo [5,10] aplicando o teorema de Weierstrass. Devemos portanto saber se a fun\u00e7\u00e3o \u00e9 cont\u00ednua neste intervalo, para isso calculamos o dom\u00ednio da fun\u00e7\u00e3o logar\u00edtmica: <\/p>\n<\/p>\n

\"x-40″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”14″ width=”73″ style=”vertical-align: -2px;”><\/p>\n<\/p>\n

\"x4″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”14″ width=”43″ style=”vertical-align: -2px;”><\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{Dom<\/p>\n<\/p>\n

A fun\u00e7\u00e3o \u00e9 cont\u00ednua para todos os valores maiores que x=4, portanto \u00e9 cont\u00ednua no intervalo [5,10].<\/p>\n

Portanto, a fun\u00e7\u00e3o satisfaz o teorema de Weierstrass no intervalo [5,10], o que significa que ela \u00e9 limitada acima e abaixo deste intervalo.<\/p>\n

<\/div>\n

Exerc\u00edcio 2<\/h3>\n

Determine se a seguinte fun\u00e7\u00e3o tem m\u00e1ximo e\/ou m\u00ednimo no intervalo proposto:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\cfrac{3x^2-4}{2x-4}<\/p>\n<\/p>\n

\u27a4<\/span> Veja:<\/strong> dom\u00ednio de uma fun\u00e7\u00e3o racional<\/a><\/span> <\/p>\n

\n
veja solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Primeiro, analisamos a continuidade da fun\u00e7\u00e3o racional: <\/p>\n<\/p>\n

\"2x-4=0\"<\/p>\n<\/p>\n

\"2x=4\"<\/p>\n<\/p>\n

\"x=\\cfrac{4}{2}=2\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{Dom<\/p>\n<\/p>\n

Por\u00e9m, a fun\u00e7\u00e3o apresenta uma descontinuidade em x=2, o que implica que ela n\u00e3o \u00e9 cont\u00ednua no intervalo [-3,3].<\/p>\n

Resumindo, a fun\u00e7\u00e3o n\u00e3o satisfaz o teorema de Weierstrass e por isso n\u00e3o podemos dizer se tem m\u00ednimo ou m\u00e1ximo neste intervalo.<\/p>\n

<\/div>\n

Exerc\u00edcio 3<\/h3>\n

Determine se a seguinte fun\u00e7\u00e3o tem m\u00e1ximo e\/ou m\u00ednimo no intervalo proposto e calcule estes pontos:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=x^2+3<\/p>\n<\/p>\n

\u27a4<\/span> Veja:<\/strong> caracter\u00edsticas das fun\u00e7\u00f5es quadr\u00e1ticas<\/a><\/span> <\/p>\n

\n
veja solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

O dom\u00ednio de qualquer fun\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica s\u00e3o todos os n\u00fameros reais:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{Dom<\/p>\n<\/p>\n

A fun\u00e7\u00e3o \u00e9, portanto, cont\u00ednua no intervalo [0,4] e satisfaz o teorema de Weierstrass. A fun\u00e7\u00e3o, portanto, tem um m\u00ednimo absoluto e um m\u00e1ximo absoluto neste intervalo.<\/p>\n

Al\u00e9m disso, o v\u00e9rtice desta par\u00e1bola est\u00e1 exatamente em x=0, ent\u00e3o a fun\u00e7\u00e3o \u00e9 estritamente crescente no intervalo [0,4] e, conseq\u00fcentemente, o m\u00ednimo est\u00e1 em x=0 e o m\u00e1ximo em x= 4 . <\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{M\\'inimo<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{M\\'aximo<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

<\/span> Karl Weierstrass<\/span><\/h2>\n

Depois de vermos o que significa o teorema de Weierstrass, explicaremos brevemente quem foi o invent\u00e1rio deste teorema.<\/p>\n

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass<\/strong> foi um matem\u00e1tico alem\u00e3o muito importante do s\u00e9culo XIX, mais precisamente, nasceu em 31 de outubro de 1815 em Ostenfelde e morreu em 19 de fevereiro de 1897 em Berlim.<\/p>\n

Al\u00e9m do teorema de Weierstrass, ele tamb\u00e9m \u00e9 conhecido por suas outras contribui\u00e7\u00f5es \u00e0 matem\u00e1tica. Entre eles, deu as defini\u00e7\u00f5es de continuidade, limite e derivada, tr\u00eas conceitos de fun\u00e7\u00f5es muito importantes.<\/p>\n

Da mesma forma, conseguiu demonstrar certos teoremas que ainda n\u00e3o eram verificados matematicamente naquela \u00e9poca, como o teorema de Bolzano-Weierstrass, o teorema do valor m\u00e9dio ou o teorema de Heine-Borel.<\/p>\n

Como curiosidade, existe uma cratera lunar e um asteroide com o nome de Weierstrass em sua homenagem.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Neste artigo voc\u00ea encontrar\u00e1 a defini\u00e7\u00e3o do teorema de Weierstrass. Al\u00e9m disso, voc\u00ea poder\u00e1 praticar diversos exerc\u00edcios resolvidos passo a passo do teorema de Weierstrass para entend\u00ea-lo perfeitamente. Declara\u00e7\u00e3o do teorema de Weierstrass O teorema de Weierstrass diz que se uma fun\u00e7\u00e3o \u00e9 cont\u00ednua num intervalo fechado, essa fun\u00e7\u00e3o tem um m\u00e1ximo absoluto e um …<\/p>\n

Teorema de weierstrass<\/span> Leia mais »<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[22],"tags":[],"class_list":["post-366","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-representacao-de-funcao"],"yoast_head":"\nTeorema de Weierstrass - Mathoridade<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\/teorema-de-weierstrass\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pt_BR\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Teorema de Weierstrass - Mathoridade\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Neste artigo voc\u00ea encontrar\u00e1 a defini\u00e7\u00e3o do teorema de Weierstrass. 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