{"id":365,"date":"2023-07-04T12:33:10","date_gmt":"2023-07-04T12:33:10","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/pt\/funcoes-limitadas\/"},"modified":"2023-07-04T12:33:10","modified_gmt":"2023-07-04T12:33:10","slug":"funcoes-limitadas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/pt\/funcoes-limitadas\/","title":{"rendered":"Fun\u00e7\u00f5es limitadas"},"content":{"rendered":"

Neste artigo explicamos o que s\u00e3o fun\u00e7\u00f5es limitadas (superiores e inferiores). Al\u00e9m disso, mostraremos o que significa uma fun\u00e7\u00e3o ser limitada em um ponto e, por fim, voc\u00ea encontrar\u00e1 as propriedades desse tipo de fun\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

<\/span> O que \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o limitada?<\/span><\/h2>\n

Uma fun\u00e7\u00e3o limitada<\/strong> \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o cujo gr\u00e1fico est\u00e1 dentro dos limites. Ou seja, uma fun\u00e7\u00e3o \u00e9 limitada acima se existe um n\u00famero K tal que n\u00e3o h\u00e1 valor da fun\u00e7\u00e3o maior que K (f(x)\u2264K), e uma fun\u00e7\u00e3o \u00e9 limitada abaixo se existe um n\u00famero K tal que \u00e9 menor que todos os valores da fun\u00e7\u00e3o (f(x)\u2265K). Portanto, uma fun\u00e7\u00e3o limitada \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o limitada acima e abaixo. <\/p>\n

\n
\"fun\u00e7\u00e3o<\/figure>\n<\/div>\n

Por exemplo, a fun\u00e7\u00e3o seno trigonom\u00e9trica, representada graficamente acima, \u00e9 limitada na parte superior por f(x)=1 e \u00e9 limitada na parte inferior por f(x)=-1 (linhas pontilhadas vermelhas), uma vez que todos os valores do fun\u00e7\u00e3o est\u00e3o dentro desses dois limites. Voc\u00ea pode ver mais propriedades desta fun\u00e7\u00e3o no seguinte link:<\/p>\n

\u27a4<\/span> Veja:<\/strong> Caracter\u00edsticas da fun\u00e7\u00e3o seno<\/a><\/span> <\/p>\n

<\/span>fun\u00e7\u00e3o limitada acima<\/span><\/h2>\n

No entanto, nem todas as fun\u00e7\u00f5es s\u00e3o limitadas acima e abaixo; uma fun\u00e7\u00e3o s\u00f3 pode ser limitada acima ou abaixo.<\/p>\n

As fun\u00e7\u00f5es limitadas acima<\/strong> s\u00e3o aquelas que n\u00e3o ultrapassam um determinado valor, ou seja, a seguinte condi\u00e7\u00e3o \u00e9 atendida:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)\\leq<\/p>\n<\/p>\n

onde o valor K \u00e9 o limite superior da fun\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

Por exemplo, a seguinte par\u00e1bola<\/a><\/span> \u00e9 limitada na parte superior por K=7, mas a fun\u00e7\u00e3o n\u00e3o \u00e9 limitada na parte inferior, uma vez que os seus ramos se estendem at\u00e9 ao infinito. <\/p>\n

\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n

Logicamente, se a fun\u00e7\u00e3o for limitada por K=7, ela tamb\u00e9m ser\u00e1 limitada por K=8 e valores superiores.<\/p>\n

O menor limite superior \u00e9 chamado de limite superior e \u00e9 representado por sup(f)<\/em> . Al\u00e9m disso, se a fun\u00e7\u00e3o atingir o referido limite superior no seu dom\u00ednio, diremos que este ponto \u00e9 o m\u00e1ximo absoluto<\/strong> da fun\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

\u27a4<\/span> Veja:<\/strong> quais s\u00e3o os m\u00e1ximos e m\u00ednimos de uma fun\u00e7\u00e3o?<\/a><\/span><\/p>\n

No nosso caso, a fun\u00e7\u00e3o \u00e9 geometricamente limitada por K=7, sendo portanto o extremo superior e o m\u00e1ximo absoluto da fun\u00e7\u00e3o. <\/p>\n

<\/span>fun\u00e7\u00e3o delimitada abaixo<\/span><\/h2>\n

As fun\u00e7\u00f5es delimitadas a seguir<\/strong> s\u00e3o aquelas que n\u00e3o possuem valor inferior a um determinado n\u00famero, ou seja, satisfazem a seguinte express\u00e3o matem\u00e1tica:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)\\geq<\/p>\n<\/p>\n

Onde o valor K \u00e9 o limite inferior da fun\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

Abaixo voc\u00ea tem a representa\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica de uma fun\u00e7\u00e3o exponencial que \u00e9 delimitada abaixo por K=3: <\/p>\n

\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n

Obviamente, a fun\u00e7\u00e3o tamb\u00e9m \u00e9 limitada por valores menores que K=3.<\/p>\n

Como antes, o maior limite inferior \u00e9 chamado de limite inferior e \u00e9 representado por inf(f)<\/em> . Al\u00e9m disso, se a fun\u00e7\u00e3o atingir o referido extremo inferior no seu dom\u00ednio, diremos que este ponto \u00e9 o m\u00ednimo absoluto<\/strong> da fun\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

Neste caso, K=3 n\u00e3o \u00e9 o m\u00ednimo absoluto da fun\u00e7\u00e3o, pois a fun\u00e7\u00e3o atinge este valor no infinito e, portanto, est\u00e1 fora do seu dom\u00ednio. Em outras palavras, f(x)=3 \u00e9 uma ass\u00edntota horizontal da fun\u00e7\u00e3o<\/a><\/span> .<\/p>\n

Existe um teorema que permite saber se uma fun\u00e7\u00e3o \u00e9 limitada na parte superior e inferior sem sua representa\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica. Clique aqui para ver o que \u00e9 o teorema de Weierstrass.<\/p>\n

\u27a4<\/span> Veja:<\/strong> Teorema de Weierstrass<\/a><\/span> <\/p>\n

<\/span> Fun\u00e7\u00e3o limitada em um ponto<\/span><\/h2>\n

Acabamos de estudar a no\u00e7\u00e3o de delimita\u00e7\u00e3o de uma fun\u00e7\u00e3o em geral, mas tamb\u00e9m \u00e9 poss\u00edvel analisar se uma fun\u00e7\u00e3o \u00e9 ou n\u00e3o limitada numa vizinhan\u00e7a menor, ou seja, numa parte da fun\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

Sim<\/p>\n<\/p>\n

\"a\"<\/p>\n

\u00e9 um ponto no dom\u00ednio da fun\u00e7\u00e3o e<\/p>\n

\"r\"<\/p>\n

qualquer valor, diremos que a fun\u00e7\u00e3o \u00e9 limitada acima\/abaixo no ponto<\/p>\n

\"a\"<\/p>\n

se houver um ambiente<\/p>\n

\"V(a,r)\"<\/p>\n

onde a fun\u00e7\u00e3o \u00e9 limitada acima\/abaixo.<\/p>\n

Portanto, uma fun\u00e7\u00e3o \u00e9 limitada no ponto<\/strong><\/p>\n<\/p>\n

\"a\"<\/p>\n

se for delimitado na parte superior e inferior de uma vizinhan\u00e7a<\/p>\n

\"V(a,r).\"<\/p>\n<\/p>\n

Obviamente, se uma fun\u00e7\u00e3o \u00e9 limitada em geral, tamb\u00e9m o ser\u00e1 em cada um dos seus pontos. Por\u00e9m, o oposto \u00e9 falso, ou seja, uma fun\u00e7\u00e3o pode ser limitada em cada um dos seus pontos e n\u00e3o em todo o seu dom\u00ednio.<\/p>\n

Por exemplo, a seguinte fun\u00e7\u00e3o afim \u00e9 parcialmente limitada em cada um dos seus pontos, mas n\u00e3o \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o limitada. <\/p>\n

\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n

<\/span> Propriedades de fun\u00e7\u00f5es limitadas<\/span><\/h2>\n

Fun\u00e7\u00f5es limitadas t\u00eam as seguintes propriedades:<\/p>\n