{"id":352,"date":"2023-07-06T00:37:26","date_gmt":"2023-07-06T00:37:26","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/pt\/exemplos-de-matrizes-propriedades-nilpotentes\/"},"modified":"2023-07-06T00:37:26","modified_gmt":"2023-07-06T00:37:26","slug":"exemplos-de-matrizes-propriedades-nilpotentes","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/pt\/exemplos-de-matrizes-propriedades-nilpotentes\/","title":{"rendered":"Matriz nilpotente"},"content":{"rendered":"<p>Nesta p\u00e1gina voc\u00ea encontrar\u00e1 uma explica\u00e7\u00e3o do que \u00e9 uma matriz nilpotente, al\u00e9m de v\u00e1rios exemplos para que voc\u00ea possa entend\u00ea-la e n\u00e3o ter d\u00favidas. Al\u00e9m disso, voc\u00ea poder\u00e1 ver as estruturas das matrizes nilpotentes e todas as propriedades desses tipos de matrizes.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> O que \u00e9 uma matriz nilpotente?<\/h2>\n<p> A defini\u00e7\u00e3o de matriz nilpotente \u00e9 a seguinte: <\/p>\n<div style=\"background-color:#dff6ff;padding-top: 20px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 40px; padding-left: 30px\" class=\"has-background\">\n<p style=\"text-align:left\"> Uma <strong>matriz nilpotente<\/strong> \u00e9 uma matriz quadrada que elevada a um n\u00famero inteiro d\u00e1 a <a href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\/matriz-nula-zero\/\">matriz zero<\/a> .<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4028c70ed3edfc0f2a8f7458ecce6580_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"N^k =0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"57\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:left\"> Ouro<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5793832f979c2268e3694c246d53b1bb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"N\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e9 a matriz nilpotente e<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3422b6bb5c160593658b7c39425d9880_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> o expoente da pot\u00eancia que d\u00e1 a matriz zero.<\/p>\n<\/div>\n<p> Esta condi\u00e7\u00e3o n\u00e3o significa que a pot\u00eancia de uma matriz nilpotente sempre d\u00ea zero independente do expoente, mas sim que se existir pelo menos uma pot\u00eancia da matriz cujo resultado seja uma matriz cheia de 0s, ent\u00e3o a matriz \u00e9 nilpotente.<\/p>\n<p> Por outro lado, o <strong>\u00edndice de nilpot\u00eancia<\/strong> de uma matriz nilpotente \u00e9 o menor n\u00famero com o qual a condi\u00e7\u00e3o de nilpot\u00eancia \u00e9 satisfeita. Podemos dizer tamb\u00e9m que a matriz nilpotente \u00e9 de ordem <em>k<\/em> , onde <em>k<\/em> \u00e9 o seu \u00edndice de nilpot\u00eancia.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Exemplos de matrizes nilpotentes<\/h2>\n<p> Para finalizar a compreens\u00e3o do conceito de matriz nilpotente, veremos v\u00e1rios exemplos desse tipo de matriz:<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Exemplo de uma matriz nilpotente 2 \u00d7 2<\/h3>\n<p> A seguinte matriz quadrada de dimens\u00e3o 2\u00d72 \u00e9 nilpotente: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-nilpotente-22152-1.webp\" alt=\"exemplo de uma matriz nilpotente de dimens\u00e3o 2x2\" class=\"wp-image-3769\" width=\"133\" height=\"132\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> A matriz \u00e9 nilpotente porque ao elevar ao quadrado a matriz A obtemos como resultado a matriz zero:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fde370dd31b0e2a533fdf1e9d23cf2c9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A^2=\\begin{pmatrix} 2 &amp;-4 \\\\[1.1ex] 1 &amp; -2 \\end{pmatrix}\\cdot \\begin{pmatrix} 2 &amp;-4 \\\\[1.1ex] 1 &amp; -2 \\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix} \\bm{0} &amp;\\bm{0} \\\\[1.1ex] \\bm{0} &amp; \\bm{0} \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"291\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> \u00c9 portanto uma matriz nilpotente e seu \u00edndice de nilpot\u00eancia \u00e9 2, pois a matriz zero \u00e9 obtida elevada \u00e0 segunda pot\u00eancia.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Exemplo de uma matriz nilpotente 3\u00d73<\/h3>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:px; text-align:\"><\/div>\n<p> A seguinte <a href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\/matriz-quadrada\/\">matriz quadrada<\/a> de ordem 3 \u00e9 nilpotente: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-nilpotente-32153-1.webp\" alt=\"exemplo de uma matriz nilpotente de dimens\u00e3o 3x3\" class=\"wp-image-3773\" width=\"201\" height=\"112\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Embora elevando a matriz para 2 n\u00e3o obtenhamos a matriz zero:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fbad4ccc270e2960ae50cc23eacc7530_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle B^2=\\begin{pmatrix}1&amp;-2&amp;1\\\\[1.1ex] 3&amp;0&amp;3\\\\[1.1ex] -1&amp;2&amp;-1\\end{pmatrix}\\cdot \\begin{pmatrix}1&amp;-2&amp;1\\\\[1.1ex] 3&amp;0&amp;3\\\\[1.1ex] -1&amp;2&amp;-1\\end{pmatrix}= \\begin{pmatrix}-6&amp;0&amp;-6\\\\[1.1ex]0&amp;0&amp;0\\\\[1.1ex] 6&amp;0&amp;6\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"458\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Mas ao calcular o cubo da matriz, obtemos uma matriz com todos os elementos iguais a 0:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-da876a04b14d80c156e24c95bd22372e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle B^3= \\begin{pmatrix}-6&amp;0&amp;-6\\\\[1.1ex]0&amp;0&amp;0\\\\[1.1ex] 6&amp;0&amp;6\\end{pmatrix}\\cdot\\begin{pmatrix}1&amp;-2&amp;1\\\\[1.1ex] 3&amp;0&amp;3\\\\[1.1ex] -1&amp;2&amp;-1\\end{pmatrix}= \\begin{pmatrix}\\bm{0}&amp;\\bm{0}&amp;\\bm{0}\\\\[1.1ex]\\bm{0}&amp;\\bm{0}&amp;\\bm{0}\\\\[1.1ex] \\bm{0}&amp;\\bm{0}&amp;\\bm{0}\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"416\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Portanto, a matriz B \u00e9 uma matriz nilpotente, e como a matriz zero \u00e9 elevada \u00e0 pot\u00eancia de 3, seu \u00edndice de nilpot\u00eancia \u00e9 3.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Estrutura de uma matriz nilpotente 2 \u00d7 2<\/h2>\n<p> Abaixo voc\u00ea pode ver a estrutura de todas as matrizes nilpotentes. Sua prova \u00e9 um pouco tediosa, ent\u00e3o deixamos para voc\u00eas diretamente a <strong>f\u00f3rmula para obter uma matriz nilpotente de ordem 2:<\/strong> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/formule-de-la-matrice-nilpotente-1.webp\" alt=\"estrutura e f\u00f3rmula de uma matriz nilpotente 2x2\" class=\"wp-image-3789\" width=\"412\" height=\"161\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Portanto, qualquer matriz que satisfa\u00e7a a f\u00f3rmula acima ser\u00e1 uma matriz nilpotente. Para isso, os valores<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> E<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"b\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> eles podem ser arbitr\u00e1rios, desde que sejam n\u00fameros reais.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Propriedades de matrizes nilpotentes<\/h2>\n<p> As matrizes nilpotentes possuem as seguintes caracter\u00edsticas:<\/p>\n<ul>\n<li> O tra\u00e7o de uma matriz nilpotente \u00e9 sempre zero.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Da mesma forma, o determinante de qualquer matriz nilpotente \u00e9 sempre 0. Por\u00e9m, o inverso n\u00e3o \u00e9 verdadeiro, ou seja, o determinante de uma matriz \u00e9 zero n\u00e3o implica que a matriz seja nilpotente.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> A \u00fanica matriz nilpotente que pode ser diagonalizada \u00e9 a matriz zero.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> O \u00edndice de nilpot\u00eancia de uma matriz nilpotente de dimens\u00e3o <em>n\u00d7n<\/em> \u00e9 sempre igual ou menor que <em>n<\/em> . \u00c9 por isso que o \u00edndice de nilpot\u00eancia de uma matriz nilpotente 2 \u00d7 2 ser\u00e1 sempre 2.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Uma matriz nilpotente n\u00e3o \u00e9 invert\u00edvel.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Qualquer <a href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\/matriz-triangular-superior-inferior\/\">matriz triangular<\/a> com zeros na diagonal principal tamb\u00e9m \u00e9 uma matriz nilpotente. <\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-118\"><\/div>\n<\/div>\n<ul>\n<li> Existe um teorema que diz que se a matriz\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5793832f979c2268e3694c246d53b1bb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"N\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e9 nilpotente, ent\u00e3o a matriz<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-63ce5395b5ca090528c69a062886ee6f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"N+I\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"47\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<p> \u00e9 invert\u00edvel, onde<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-18b5e45cb4a1ee02e81b9a980f828db8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"I\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e9 a matriz identidade. Al\u00e9m disso, sua matriz inversa pode ser encontrada com a seguinte f\u00f3rmula:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2b1cf043663e9cbfac772bf812359a18_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle(N+I)^{-1} = \\sum_{m = 0}^\\infty (-N)^m=I-N+N^2-N^3+\\cdots\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"391\" style=\"vertical-align: -21px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Equivalentemente, se\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5793832f979c2268e3694c246d53b1bb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"N\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e9 uma matriz nilpotente, ent\u00e3o o inverso da matriz pode ser calculado<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-af0178ac2726008cea43b8cb2390e1a6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"N-I\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"47\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> com a seguinte equa\u00e7\u00e3o:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a87795d57f3ee25346a24219f59b813c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle(N-I)^{-1} = \\sum_{m = 0}^\\infty (N)^m=I+N+N^2+N^3+\\cdots\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"378\" style=\"vertical-align: -21px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Qualquer matriz singular, ou seja, n\u00e3o invert\u00edvel, pode ser decomposta no produto de matrizes nilpotentes.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Todos os autovalores (ou autovalores) de uma matriz nilpotente s\u00e3o zero.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-44fc8cf9845415c9f1e7a86c1b01f085_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lambda=0 \\qquad \\forall \\ \\lambda\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"104\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Por fim, a t\u00edtulo de curiosidade, existe tamb\u00e9m o conceito de transforma\u00e7\u00e3o nilpotente, que define uma aplica\u00e7\u00e3o linear\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-66a9f474fc3c52efdfb0ba6a70199ee8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"L\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"12\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> de um espa\u00e7o vetorial tal que<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-71cac750ba2e7b5a3b7c1184f6115e4d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"L^k=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"53\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> .<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Nesta p\u00e1gina voc\u00ea encontrar\u00e1 uma explica\u00e7\u00e3o do que \u00e9 uma matriz nilpotente, al\u00e9m de v\u00e1rios exemplos para que voc\u00ea possa entend\u00ea-la e n\u00e3o ter d\u00favidas. 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