{"id":345,"date":"2023-07-06T02:05:07","date_gmt":"2023-07-06T02:05:07","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/pt\/exemplos-e-propriedades-de-matrizes-antissimetricas\/"},"modified":"2023-07-06T02:05:07","modified_gmt":"2023-07-06T02:05:07","slug":"exemplos-e-propriedades-de-matrizes-antissimetricas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/pt\/exemplos-e-propriedades-de-matrizes-antissimetricas\/","title":{"rendered":"Matriz antisim\u00e9trica"},"content":{"rendered":"<p>Nesta p\u00e1gina explicamos o que s\u00e3o matrizes antissim\u00e9tricas. Al\u00e9m disso, voc\u00ea poder\u00e1 ver v\u00e1rios exemplos, bem como sua estrutura t\u00edpica para entend\u00ea-lo perfeitamente. Explicamos tamb\u00e9m a particularidade de calcular o determinante de uma matriz antissim\u00e9trica e todas as propriedades deste tipo de matriz. E, finalmente, voc\u00ea descobrir\u00e1 como decompor qualquer matriz quadrada na soma de uma matriz sim\u00e9trica mais outra matriz antissim\u00e9trica. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/que-sont-les-matrices-antisymetriques-.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-3594\" width=\"201\" height=\"201\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> O que \u00e9 uma matriz antissim\u00e9trica?<\/h2>\n<p> A defini\u00e7\u00e3o de matriz antissim\u00e9trica \u00e9 a seguinte: <\/p>\n<div style=\"background-color:#dff6ff;padding-top: 20px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 40px; padding-left: 30px\" class=\"has-background\">\n<p style=\"text-align:left\"> Uma <strong>matriz antissim\u00e9trica<\/strong> \u00e9 uma matriz quadrada cuja transposta \u00e9 igual ao negativo da matriz.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7af2e0eb5d0007196810dfded8574ec2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A^t = -A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"70\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:left\"> Ouro<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-afd3cedfe0f405ed9f2d585b5ac1d8cb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A^t\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"18\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> representa a matriz transposta de<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> E<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3d09b2a922b3d10a159833112b4f3487_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"26\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e9 a matriz<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> com todos os seus elementos alterados de sinal.<\/p>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Exemplos de matrizes antissim\u00e9tricas<\/h2>\n<p> Assim que conhecermos o conceito de matriz antissim\u00e9trica, veremos v\u00e1rios exemplos de matrizes antissim\u00e9tricas para melhor entend\u00ea-la:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#1976d2\"> <span style=\"text-decoration: underline;\">Exemplo de uma matriz antissim\u00e9trica de ordem 2 \u00d7 2<\/span> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemples-de-matrices-antisymetriques-22152-1.webp\" alt=\"exemplo de matriz antissim\u00e9trica de dimens\u00e3o 2x2\" class=\"wp-image-3596\" width=\"136\" height=\"76\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-de-matrice-antisymetrique-22152-1.webp\" alt=\"exerc\u00edcio resolvido de matriz antissim\u00e9trica de dimens\u00e3o 2x2\" class=\"wp-image-3597\" width=\"144\" height=\"73\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#1976d2\"> <span style=\"text-decoration: underline;\">Exemplo de uma matriz antissim\u00e9trica de dimens\u00e3o 3\u00d73<\/span> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-antisymetrique-32153-1.webp\" alt=\"exemplo de matriz antissim\u00e9trica de dimens\u00e3o 3x3\" class=\"wp-image-3600\" width=\"195\" height=\"113\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-de-matrice-antisymetrique-32153-1.webp\" alt=\"exerc\u00edcio resolvido de matriz antissim\u00e9trica de dimens\u00e3o 3x3\" class=\"wp-image-3599\" width=\"201\" height=\"111\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#1976d2\"> <span style=\"text-decoration: underline;\">Exemplo de uma matriz antissim\u00e9trica de tamanho 4\u00d74<\/span> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-antisymetrique-42154-1.webp\" alt=\"exemplo de matriz antissim\u00e9trica de dimens\u00e3o 4x4\" class=\"wp-image-3601\" width=\"249\" height=\"146\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-resolu-de-matrice-antisymetrique-42154-1.webp\" alt=\"exerc\u00edcio resolvido de matriz antissim\u00e9trica de dimens\u00e3o 4x4\" class=\"wp-image-3602\" width=\"253\" height=\"144\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Ao transpor essas tr\u00eas matrizes, verificamos que elas s\u00e3o antissim\u00e9tricas, pois as matrizes transpostas s\u00e3o equivalentes \u00e0s suas respectivas matrizes originais de sinal alterado.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Estrutura de uma matriz antissim\u00e9trica<\/h2>\n<p> Para que a condi\u00e7\u00e3o da matriz antissim\u00e9trica seja atendida, elas devem ter sempre o mesmo tipo de estrutura: os n\u00fameros da diagonal principal s\u00e3o todos iguais a zero e o elemento da linha <em>i<\/em> e da coluna <em>j<\/em> \u00e9 o negativo do elemento da linha <em>j<\/em> e da coluna <em>eu<\/em> . Em outras palavras, a forma das matrizes antissim\u00e9tricas \u00e9 a seguinte:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-21250d80d061affcf74ef1338b4d1314_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{pmatrix} 0 &amp; a &amp; b &amp; \\cdots &amp; c\\\\[1.1ex]-a &amp; 0 &amp; d &amp; \\cdots &amp;e\\\\[1.1ex]-b &amp; -d &amp; 0 &amp; \\cdots &amp; f\\\\[1.1ex]\\vdots &amp; \\vdots &amp; \\vdots &amp; \\ddots &amp; \\vdots\\\\[1.1ex] -c &amp; -e &amp; -f &amp; \\cdots &amp; 0\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"149\" width=\"191\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Portanto, a diagonal principal de uma matriz antissim\u00e9trica atua como eixo de antissimetria. \u00c9 da\u00ed que vem o nome desta matriz espec\u00edfica.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Determinante de uma matriz antissim\u00e9trica<\/h2>\n<p> O determinante de uma matriz antissim\u00e9trica depende da dimens\u00e3o da referida matriz. Isso se deve \u00e0s propriedades dos determinantes:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ba35ef7bdf1aed516219ba1d9bbf9244_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\text{det}(A)=\\text{det}(A^t)=\\text{det}(-A)=(-1)^n \\text{det}(A)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"342\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Assim, <strong>se a matriz antissim\u00e9trica for de ordem \u00edmpar, seu determinante ser\u00e1 igual a 0<\/strong> . Por outro lado, se a matriz antissim\u00e9trica tiver dimens\u00e3o par, o determinante pode assumir qualquer valor.<\/p>\n<p> Portanto, uma matriz antissim\u00e9trica de dimens\u00e3o \u00edmpar \u00e9 uma matriz singular ou degenerada. Por outro lado, uma matriz antissim\u00e9trica de ordem par \u00e9 uma matriz regular.<\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:px; text-align:\"><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Propriedades de matrizes antissim\u00e9tricas<\/h2>\n<p> As caracter\u00edsticas das matrizes antissim\u00e9tricas s\u00e3o as seguintes:<\/p>\n<ul>\n<li> Adicionar (ou subtrair) duas matrizes antissim\u00e9tricas resulta em outra matriz antissim\u00e9trica. Visto que transpor duas matrizes adicionadas (ou subtra\u00eddas) \u00e9 equivalente a transpor cada matriz separadamente:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7bd08c2680bc7fe6806bd8b6f93c2952_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\left(A+B\\right)^t = A^t+B^t = -A-B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"239\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Qualquer matriz antissim\u00e9trica multiplicada por um escalar tamb\u00e9m d\u00e1 origem a outra matriz antissim\u00e9trica.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> O poder de uma matriz antissim\u00e9trica \u00e9 equivalente a uma matriz antissim\u00e9trica ou a uma matriz sim\u00e9trica. Se o expoente for um n\u00famero par, o resultado da pot\u00eancia ser\u00e1 uma matriz sim\u00e9trica, mas se o expoente for um n\u00famero \u00edmpar, o resultado da pot\u00eancia ser\u00e1 uma matriz antissim\u00e9trica. Voc\u00ea pode consultar neste link <a href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\/exemplos-e-propriedades-de-matrizes-simetricas\/\">o que \u00e9 uma matriz sim\u00e9trica<\/a> .<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> O tra\u00e7o de uma matriz antissim\u00e9trica \u00e9 sempre igual a zero.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> A soma de qualquer matriz antissim\u00e9trica mais a <a href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\">matriz unit\u00e1ria<\/a> d\u00e1 origem a uma matriz invert\u00edvel.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d364455bbe71272e507da222e9f1cee9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\text{det}(A+I)\\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"115\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Todos os autovalores reais (ou autovalores) de uma matriz antissim\u00e9trica s\u00e3o 0. No entanto, uma matriz antissim\u00e9trica tamb\u00e9m pode ter autovalores complexos.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Todas as matrizes antissim\u00e9tricas s\u00e3o matrizes normais. Portanto, est\u00e3o sujeitos ao teorema espectral, que diz que uma matriz antissim\u00e9trica pode ser diagonalizada por uma matriz unit\u00e1ria. <\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-118\"><\/div>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Decomposi\u00e7\u00e3o de uma matriz quadrada em uma matriz sim\u00e9trica e uma matriz antissim\u00e9trica<\/h2>\n<p> Uma caracter\u00edstica especial das matrizes quadradas \u00e9 que elas podem ser decompostas na soma de uma matriz sim\u00e9trica mais uma matriz antissim\u00e9trica.<\/p>\n<p> A f\u00f3rmula que nos permite fazer isso \u00e9 a seguinte:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a3b9aa2b7ed0e9ce31587d4f00f1144e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{array}{c} C = S + A \\\\[2ex] S = \\cfrac{1}{2}\\cdot (C+C^t) \\qquad A = \\cfrac{1}{2} \\cdot (C-C^t)\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"76\" width=\"293\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Onde C \u00e9 a matriz quadrada que queremos decompor, C <sup>t<\/sup> sua transposta e finalmente S e A s\u00e3o respectivamente as matrizes sim\u00e9trica e antissim\u00e9trica nas quais a matriz C \u00e9 decomposta.<\/p>\n<p> Abaixo voc\u00ea tem um exerc\u00edcio resolvido para demonstrar a f\u00f3rmula. Vamos decompor a seguinte matriz:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5534c773c54b15eab3d0ab4a5823ce6c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle C=\\begin{pmatrix} 1&amp; 5 \\\\[1.1ex] -3 &amp;2\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"109\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Calculamos a matriz sim\u00e9trica e antissim\u00e9trica com as f\u00f3rmulas:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f44ecbf11344f1de645aed313f801fa0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle S=\\cfrac{1}{2}\\cdot (C+C^t)= \\begin{pmatrix} 1&amp; 1 \\\\[1.1ex] 1 &amp;2\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"210\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8bc3c78415b6596b99186207efde54e7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A=\\cfrac{1}{2}\\cdot (C-C^t)= \\begin{pmatrix} 0&amp; 4 \\\\[1.1ex] -4 &amp;0\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"225\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E podemos verificar se a equa\u00e7\u00e3o \u00e9 cumprida somando as duas matrizes: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f2a938eebbcc10adb3c3392634a62fbf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle C=S+A \\quad ?\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"110\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2725b1e3a2de74b4446145ef32b61d1f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\begin{pmatrix} 1&amp; 1 \\\\[1.1ex] 1 &amp;2\\end{pmatrix}+\\begin{pmatrix} 0&amp; 4 \\\\[1.1ex] -4 &amp;0\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix} 1&amp; 5 \\\\[1.1ex] -3 &amp;2\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"251\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4d009f71f52fd49559eefc457d18a8be_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle C=S+A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"84\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<p> \u2705<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Nesta p\u00e1gina explicamos o que s\u00e3o matrizes antissim\u00e9tricas. Al\u00e9m disso, voc\u00ea poder\u00e1 ver v\u00e1rios exemplos, bem como sua estrutura t\u00edpica para entend\u00ea-lo perfeitamente. Explicamos tamb\u00e9m a particularidade de calcular o determinante de uma matriz antissim\u00e9trica e todas as propriedades deste tipo de matriz. 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