{"id":343,"date":"2023-07-06T02:49:35","date_gmt":"2023-07-06T02:49:35","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/pt\/exemplos-e-propriedades-de-matrizes-simetricas\/"},"modified":"2023-07-06T02:49:35","modified_gmt":"2023-07-06T02:49:35","slug":"exemplos-e-propriedades-de-matrizes-simetricas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/pt\/exemplos-e-propriedades-de-matrizes-simetricas\/","title":{"rendered":"Matriz sim\u00e9trica"},"content":{"rendered":"<p>Nesta p\u00e1gina voc\u00ea encontrar\u00e1 a explica\u00e7\u00e3o do que s\u00e3o matrizes sim\u00e9tricas. Al\u00e9m disso, mostramos como identificar rapidamente quando uma matriz \u00e9 sim\u00e9trica, junto com diversos exemplos para que voc\u00ea n\u00e3o tenha d\u00favidas. Voc\u00ea tamb\u00e9m encontrar\u00e1 todas as propriedades das matrizes sim\u00e9tricas. E por fim, explicamos uma caracter\u00edstica particular que qualquer matriz quadrada possui: ela pode ser decomposta na soma de uma matriz sim\u00e9trica e de uma matriz antissim\u00e9trica.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> O que \u00e9 uma matriz sim\u00e9trica?<\/h2>\n<p> A defini\u00e7\u00e3o de uma matriz sim\u00e9trica \u00e9 a seguinte: <\/p>\n<div style=\"background-color:#dff6ff;padding-top: 20px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 40px; padding-left: 30px\" class=\"has-background\">\n<p style=\"text-align:left\"> Uma <strong>matriz sim\u00e9trica<\/strong> \u00e9 uma matriz quadrada cuja transposta \u00e9 igual \u00e0 pr\u00f3pria matriz.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9d91251629a6f0241682eed5c4d82847_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A^t = A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"56\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:left\"> Ouro<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-afd3cedfe0f405ed9f2d585b5ac1d8cb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A^t\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"18\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> representa a matriz transposta de<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> .<\/p>\n<\/div>\n<p> Depois de conhecermos o conceito de matriz sim\u00e9trica, veremos como qualquer matriz sim\u00e9trica pode ser facilmente identificada:<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Quando uma matriz \u00e9 sim\u00e9trica?<\/h2>\n<p> Reconhecer a estrutura de uma matriz sim\u00e9trica \u00e9 muito simples: o elemento da linha <em>i<\/em> e da coluna <em>j<\/em> deve ser id\u00eantico ao elemento da linha <em>j<\/em> e da coluna <em>i<\/em> . E os valores da diagonal principal da matriz podem ser quaisquer.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Exemplos de matrizes sim\u00e9tricas<\/h2>\n<p> Aqui est\u00e3o v\u00e1rios exemplos de matrizes sim\u00e9tricas para ajud\u00e1-lo a entender:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#1976d2\"> <span style=\"text-decoration: underline;\">Exemplo de uma matriz sim\u00e9trica de ordem 2 \u00d7 2<\/span> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-symetrique-de-dimension-22152-1.webp\" alt=\"exemplo de uma matriz sim\u00e9trica de dimens\u00e3o 2x2\" class=\"wp-image-3524\" width=\"77\" height=\"71\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#1976d2\"> <span style=\"text-decoration: underline;\">Exemplo de uma matriz sim\u00e9trica de dimens\u00e3o 3\u00d73<\/span> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-tridimensionnelle-symetrique3-1.webp\" alt=\"exemplo de uma matriz sim\u00e9trica de dimens\u00e3o 3x3\" class=\"wp-image-3525\" width=\"112\" height=\"118\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#1976d2\"> <span style=\"text-decoration: underline;\">Exemplo de uma matriz sim\u00e9trica de tamanho 4\u00d74<\/span> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrice-symetrique-de-dimension-42154-1.webp\" alt=\"exemplo de uma matriz sim\u00e9trica de dimens\u00e3o 4x4\" class=\"wp-image-3526\" width=\"206\" height=\"138\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Ao transpor estas tr\u00eas matrizes verificamos que elas s\u00e3o sim\u00e9tricas, pois as matrizes transpostas s\u00e3o equivalentes \u00e0s suas respectivas matrizes originais.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Por que \u00e9 chamada de matriz sim\u00e9trica?<\/h2>\n<p> Se voc\u00ea observar atentamente os exemplos anteriores, a diagonal principal de uma matriz sim\u00e9trica \u00e9 um eixo de simetria, ou em outras palavras, atua como um espelho entre os n\u00fameros acima da diagonal e os abaixo. Por esse motivo, esses tipos de matrizes s\u00e3o chamados de sim\u00e9tricas.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Propriedades de matrizes sim\u00e9tricas<\/h2>\n<p> As caracter\u00edsticas das matrizes sim\u00e9tricas s\u00e3o as seguintes:<\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:px; text-align:\"><\/div>\n<ul>\n<li> Adicionar (ou subtrair) duas matrizes sim\u00e9tricas resulta em outra matriz sim\u00e9trica. Visto que transpor duas matrizes adicionadas (ou subtra\u00eddas) \u00e9 equivalente a transpor cada matriz separadamente:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9942bb6c2d0b3b406e42f6b1365e7151_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\left(A+B\\right)^t = A^t+B^t = A+B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"225\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Qualquer matriz sim\u00e9trica multiplicada por um escalar tamb\u00e9m d\u00e1 origem a outra matriz sim\u00e9trica.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Da mesma forma, o produto matricial entre duas matrizes sim\u00e9tricas nem sempre \u00e9 igual a outra matriz sim\u00e9trica, apenas se e somente se as duas matrizes puderem ser comutadas. Esta condi\u00e7\u00e3o pode ser provada com a propriedade de multiplica\u00e7\u00e3o de matrizes transpostas:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-03f81c2643b3093a4db891724660c3b6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\left(A\\cdot B\\right)^t = B^t\\cdot A^t = BA=AB\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"237\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> A pot\u00eancia de uma matriz sim\u00e9trica d\u00e1 origem a outra matriz sim\u00e9trica, desde que o expoente seja um n\u00famero inteiro.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Obviamente, a <a href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\">matriz unit\u00e1ria<\/a> e a matriz zero s\u00e3o exemplos de matrizes sim\u00e9tricas.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Uma matriz congruente com uma matriz sim\u00e9trica tamb\u00e9m deve ser sim\u00e9trica.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Se uma matriz sim\u00e9trica for regular ou invert\u00edvel, ent\u00e3o sua matriz inversa tamb\u00e9m ser\u00e1 sim\u00e9trica.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> O mesmo acontece com a matriz adjunta de uma matriz sim\u00e9trica: a matriz adjunta de uma matriz sim\u00e9trica fornece outra matriz sim\u00e9trica como solu\u00e7\u00e3o.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Uma matriz verdadeiramente sim\u00e9trica tamb\u00e9m \u00e9 uma matriz normal.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Como as matrizes sim\u00e9tricas s\u00e3o um caso especial de matrizes Hermitianas, todos os autovalores (ou autovalores) de uma matriz sim\u00e9trica s\u00e3o n\u00fameros reais.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> O teorema espectral nos diz que todas as matrizes cujos elementos s\u00e3o reais s\u00e3o matrizes diagonaliz\u00e1veis e, al\u00e9m disso, a diagonaliza\u00e7\u00e3o \u00e9 realizada por meio de uma matriz ortogonal. Portanto, todas as matrizes sim\u00e9tricas reais s\u00e3o diagonalizadas ortogonalmente.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Por outro lado, matrizes sim\u00e9tricas com n\u00fameros complexos podem ser diagonalizadas atrav\u00e9s de uma matriz unit\u00e1ria.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> A matriz Hessiana \u00e9 sempre sim\u00e9trica. <\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-118\"><\/div>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Decomposi\u00e7\u00e3o de uma matriz quadrada em uma matriz sim\u00e9trica e uma matriz antissim\u00e9trica<\/h2>\n<p> Uma caracter\u00edstica especial das matrizes quadradas \u00e9 que elas podem ser decompostas na soma de uma matriz sim\u00e9trica mais uma matriz antissim\u00e9trica.<\/p>\n<p> A f\u00f3rmula que nos permite fazer isso \u00e9 a seguinte:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a3b9aa2b7ed0e9ce31587d4f00f1144e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{array}{c} C = S + A \\\\[2ex] S = \\cfrac{1}{2}\\cdot (C+C^t) \\qquad A = \\cfrac{1}{2} \\cdot (C-C^t)\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"76\" width=\"293\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Onde C \u00e9 a matriz quadrada que queremos decompor, C <sup>t<\/sup> sua transposta e, finalmente, S e A s\u00e3o respectivamente as matrizes sim\u00e9tricas e antissim\u00e9tricas nas quais a matriz C \u00e9 decomposta.<\/p>\n<p> Abaixo voc\u00ea tem um exerc\u00edcio resolvido para ver como isso \u00e9 feito. Vamos decompor a seguinte matriz:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-852a7267895a7f332ad3f28f8a8dda0d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle C=\\begin{pmatrix} 2&amp; -1 \\\\[1.1ex] 3 &amp;0\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"109\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Calculamos a matriz sim\u00e9trica e antissim\u00e9trica com as f\u00f3rmulas:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-994670ecc17b3bc8757482f1656e543e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle S=\\cfrac{1}{2}\\cdot (C+C^t)= \\begin{pmatrix} 2&amp; 1 \\\\[1.1ex] 1 &amp;0\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"210\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d87e1d30d2bc657c20535f45c0fb7be6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A=\\cfrac{1}{2}\\cdot (C-C^t)= \\begin{pmatrix} 0&amp; -2 \\\\[1.1ex] 2 &amp;0\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"225\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E podemos verificar se a equa\u00e7\u00e3o \u00e9 cumprida somando as duas matrizes: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f2a938eebbcc10adb3c3392634a62fbf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle C=S+A \\quad ?\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"110\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7cfdbffec6801c13041cd2996da13e96_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\begin{pmatrix} 2&amp; 1 \\\\[1.1ex] 1 &amp;0\\end{pmatrix}+\\begin{pmatrix} 0&amp; -2 \\\\[1.1ex] 2 &amp;0\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix} 2&amp; -1 \\\\[1.1ex] 3 &amp;0\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"251\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4d009f71f52fd49559eefc457d18a8be_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle C=S+A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"84\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<p> \u2705<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Nesta p\u00e1gina voc\u00ea encontrar\u00e1 a explica\u00e7\u00e3o do que s\u00e3o matrizes sim\u00e9tricas. 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