{"id":342,"date":"2023-07-06T03:16:38","date_gmt":"2023-07-06T03:16:38","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/pt\/exemplos-e-propriedades-de-matrizes-semelhantes-ou-semelhantes\/"},"modified":"2023-07-06T03:16:38","modified_gmt":"2023-07-06T03:16:38","slug":"exemplos-e-propriedades-de-matrizes-semelhantes-ou-semelhantes","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/pt\/exemplos-e-propriedades-de-matrizes-semelhantes-ou-semelhantes\/","title":{"rendered":"Matrizes semelhantes ou semelhantes"},"content":{"rendered":"<p>Nesta p\u00e1gina voc\u00ea encontrar\u00e1 a explica\u00e7\u00e3o de matrizes semelhantes, tamb\u00e9m chamadas de matrizes semelhantes. Al\u00e9m disso, mostramos um exemplo claro de duas matrizes semelhantes e todas as propriedades deste tipo de matrizes para que voc\u00ea n\u00e3o tenha d\u00favidas. Finalmente, voc\u00ea poder\u00e1 at\u00e9 ver como elas se relacionam com matrizes congruentes.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> O que s\u00e3o matrizes semelhantes (ou semelhantes)?<\/h2>\n<p> A defini\u00e7\u00e3o de matrizes semelhantes \u00e9 a seguinte: <\/p>\n<div style=\"background-color:#dff6ff;padding-top: 20px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 40px; padding-left: 30px\" class=\"has-background\">\n<p style=\"text-align:left\"> duas matrizes<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> E<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-770fd1447ccf2fc229801b486b0d8f8a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> s\u00e3o <strong>semelhantes (ou semelhantes)<\/strong> se existir uma matriz<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-650eb7688af6737ac325425b5c9a5982_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> com o qual a seguinte condi\u00e7\u00e3o \u00e9 atendida:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7a9d8fcb81e8bfa5645d23ba85832892_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P^{-1}AP = B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"97\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:left\"> Ou equivalente:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1aab9713a82d78b188aaf0e426aca74f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"AP = PB\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"79\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<p> Na verdade, a matriz<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-650eb7688af6737ac325425b5c9a5982_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> atua como uma matriz de mudan\u00e7a b\u00e1sica. Portanto, o que esta equa\u00e7\u00e3o significa \u00e9 que a matriz<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> pode ser expresso em outra base (<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-650eb7688af6737ac325425b5c9a5982_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ), o que d\u00e1 origem \u00e0 matriz<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-770fd1447ccf2fc229801b486b0d8f8a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> .<\/p>\n<p> Este termo tamb\u00e9m pode ser chamado de <em>transforma\u00e7\u00e3o de similaridade<\/em> , j\u00e1 que na verdade estamos transformando a matriz<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> na matriz<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-770fd1447ccf2fc229801b486b0d8f8a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> .<\/p>\n<p> Obviamente a matriz<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-650eb7688af6737ac325425b5c9a5982_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> deve ser uma matriz regular ou n\u00e3o degenerada (determinante diferente de zero).<\/p>\n<p> Por outro lado, podemos indicar que duas matrizes s\u00e3o semelhantes \u00e0 seguinte express\u00e3o: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/explication-des-matrices-similaires-ou-similaires.webp\" alt=\"explica\u00e7\u00e3o de matrizes semelhantes ou semelhantes\" class=\"wp-image-3488\" width=\"71\" height=\"71\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Esta classe de matrizes \u00e9 mais importante do que parece para a \u00e1lgebra linear. Eles s\u00e3o usados principalmente para matrizes diagonaliz\u00e1veis, pois o procedimento para diagonalizar qualquer matriz \u00e9 baseado no conceito de similaridade de matrizes.<\/p>\n<p> Na verdade, o processo de diagonaliza\u00e7\u00e3o de uma matriz envolve o c\u00e1lculo de uma matriz semelhante que, ao mesmo tempo, \u00e9 uma matriz diagonal. Voc\u00ea pode ver como isso \u00e9 feito em <a href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\/como-diagonalizar-uma-matriz-diagonalizavel-diagonalizacao-de-matrizes-2x2-3x3-4x4-exercicios-resolvidos-passo-a-passo\/\">como diagonalizar uma matriz<\/a> .<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Exemplo de matrizes semelhantes ou semelhantes<\/h2>\n<p> A seguir veremos um exemplo de matrizes semelhantes de dimens\u00e3o 2\u00d72 para finalizar a assimila\u00e7\u00e3o do conceito.<\/p>\n<ul>\n<li> As matrizes quadradas A e B s\u00e3o semelhantes entre si atrav\u00e9s da matriz invert\u00edvel P:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4978e1117b69063b63256a0663eaf207_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A= \\begin{pmatrix}-1&amp;2\\\\[1.1ex] 3&amp;1\\end{pmatrix} \\qquad B= \\begin{pmatrix}-5&amp;-3\\\\[1.1ex] 6&amp;5\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"275\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6344f1d5a14dd381ab105bcb52827455_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P= \\begin{pmatrix}2&amp;1\\\\[1.1ex] -1&amp;0\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"109\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Para mostrar que estas matrizes s\u00e3o mutuamente semelhantes, devemos primeiro calcular a <a href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\/matriz-inversa\/\">matriz inversa<\/a> de P:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c49a4a995246e782635e2e2b43302798_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P^{-1}= \\begin{pmatrix}0&amp;-1\\\\[1.1ex] 1&amp;2\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"128\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E agora verificamos se elas s\u00e3o semelhantes realizando o produto matricial que define a similaridade de duas matrizes: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-08a687bbdc46a46639909c263d9a9864_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P^{-1}AP = B \\quad ?\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"123\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-matrices-similaires-ou-similaires-22152-1.webp\" alt=\"exemplos de matrizes 2x2 semelhantes ou semelhantes\" class=\"wp-image-3472\" width=\"529\" height=\"73\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aa1f8005d6559c27a4c9871fbd071d34_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P^{-1}AP = B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"97\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u2705<\/p>\n<p> Sim, a rela\u00e7\u00e3o de similaridade \u00e9 cumprida, portanto s\u00e3o matrizes semelhantes.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Propriedades de matriz semelhantes<\/h2>\n<p> Duas matrizes semelhantes A e B compartilham as seguintes caracter\u00edsticas:<\/p>\n<ul>\n<li> Mesma classifica\u00e7\u00e3o.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-36c08d3b697e5c80c43bc8eca0eb994e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"rg(A)=rg(B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"113\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Os determinantes das duas matrizes s\u00e3o iguais.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-96449de60b8a83016035f562f99e2ca3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"det(A)=det(B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"126\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Mesmo rastreamento.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-39c97e89fcd3198999489af3ede0f8ec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"tr(A)=tr(B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"108\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Mesmos <a href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\/calcular-autovalores,-autovalores-e-autovetores,-autovetores-de-uma-matriz\/\">autovalores<\/a> (ou autovalores). No entanto, os autovetores (ou autovetores) geralmente s\u00e3o diferentes.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Mesmo polin\u00f4mio caracter\u00edstico e polin\u00f4mio m\u00ednimo.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> <a href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\/exemplos-de-matriz-transposta-ou-transposta-e-exercicios-resolvidos\/\">A transposi\u00e7\u00e3o de uma matriz<\/a> \u00e9 semelhante \u00e0 matriz original.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> A matriz B pode ser encontrada aplicando opera\u00e7\u00f5es elementares nas linhas da matriz A e vice-versa.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Obviamente, a semelhan\u00e7a \u00e9 refletida. Ou seja, se A \u00e9 semelhante a B, ent\u00e3o B tamb\u00e9m \u00e9 semelhante a A.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Al\u00e9m disso, a similaridade das matrizes tamb\u00e9m \u00e9 sim\u00e9trica. Ou seja, se com a matriz P pode ser obtida a matriz semelhante a A (B), a matriz semelhante a B (A) tamb\u00e9m pode ser obtida com a mesma matriz P:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b42b2b64f904396c1ab3a7c395ec1948_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"B=P^{-1}AP\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"97\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-163fd36257f7436438080e7f9fa92dfc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A=PBP^{-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"96\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Al\u00e9m disso, a semelhan\u00e7a \u00e9 transitiva. Portanto, se a matriz A \u00e9 semelhante \u00e0 matriz B e a matriz B \u00e9 semelhante \u00e0 matriz C, a matriz A tamb\u00e9m \u00e9 semelhante \u00e0 matriz C.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a9f845ee4a4c9e72220ecb4033ea9640_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left. \\begin{array}{l}A\\sim B \\\\[2ex] B \\sim C \\end{array}\\right\\} \\longrightarrow A \\sim C\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"165\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Finalmente, cada matriz \u00e9 semelhante a uma matriz dente de serra. E desta propriedade podemos deduzir o seguinte corol\u00e1rio: toda matriz quadrada \u00e9 semelhante a uma matriz triangular.<\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:px; text-align:\"><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> matrizes congruentes<\/h2>\n<p> Por outro lado, existe tamb\u00e9m outra rela\u00e7\u00e3o muito semelhante entre matrizes mas em vez de ser com a matriz inversa, \u00e9 com a matriz transposta. Isso \u00e9 chamado <strong>de congru\u00eancia<\/strong> .<\/p>\n<p> Duas matrizes A e B s\u00e3o <strong>congruentes<\/strong> se existe uma matriz invert\u00edvel P com a qual a seguinte igualdade \u00e9 satisfeita:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d41e2b46ad81b140c9f4908d5f3df744_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P^tAP = B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"84\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Como voc\u00ea pode ver, este \u00e9 o an\u00e1logo de matrizes semelhantes, mas com a matriz transposta.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Nesta p\u00e1gina voc\u00ea encontrar\u00e1 a explica\u00e7\u00e3o de matrizes semelhantes, tamb\u00e9m chamadas de matrizes semelhantes. 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