{"id":320,"date":"2023-07-06T09:09:37","date_gmt":"2023-07-06T09:09:37","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/pt\/matriz-anti-hermitiana-ou-anti-hermitiana\/"},"modified":"2023-07-06T09:09:37","modified_gmt":"2023-07-06T09:09:37","slug":"matriz-anti-hermitiana-ou-anti-hermitiana","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/pt\/matriz-anti-hermitiana-ou-anti-hermitiana\/","title":{"rendered":"Matriz anti-hermitiana (ou anti-hermitiana)"},"content":{"rendered":"

Nesta p\u00e1gina voc\u00ea ver\u00e1 o que \u00e9 uma matriz anti-hermitiana, tamb\u00e9m chamada de matriz anti-hermitiana. Voc\u00ea encontrar\u00e1 exemplos de matrizes anti-Hermitianas, todas as suas propriedades e a forma deste tipo de matrizes quadradas complexas. Finalmente, voc\u00ea encontrar\u00e1 a explica\u00e7\u00e3o de como decompor qualquer matriz complexa na soma de uma matriz anti-Hermitiana mais outra matriz Hermitiana.<\/p>\n

O que \u00e9 uma matriz anti-hermitiana ou anti-hermitiana? <\/h2>\n
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Uma matriz anti-Hermitiana<\/strong> , ou tamb\u00e9m chamada de matriz anti-Hermitiana, \u00e9 uma matriz quadrada com n\u00fameros complexos cuja transposta conjugada \u00e9 igual \u00e0 mesma matriz, mas de sinais diferentes.<\/p>\n<\/p>\n

\"A^*=-A\"<\/p>\n<\/p>\n

Ouro<\/p>\n<\/p>\n

\"A^*\"<\/p>\n

\u00e9 a matriz conjugada transposta<\/a> de<\/p>\n

\"A\"<\/p>\n

.<\/p>\n<\/div>\n

A t\u00edtulo de curiosidade, este tipo de matriz \u00e9 assim chamada porque preenche a condi\u00e7\u00e3o oposta da matriz Hermitiana<\/a> , cujo nome vem do importante matem\u00e1tico franc\u00eas Charles Hermite, professor e pesquisador de matem\u00e1tica do s\u00e9culo XIX que fez importantes estudos inclusive em o campo da \u00e1lgebra linear.<\/p>\n

Exemplos de matrizes anti-hermitianas<\/h2>\n

Depois de vermos a defini\u00e7\u00e3o de matriz anti-hermitiana (ou matriz anti-hermitiana) veremos alguns exemplos de matrizes anti-hermitianas de diferentes dimens\u00f5es:<\/p>\n

Exemplo de uma matriz anti-Hermitiana de ordem 2\u00d72<\/span> <\/p>\n

\n
\"matriz<\/figure>\n<\/div>\n

Exemplo de uma matriz anti-hermitiana de dimens\u00e3o 3\u00d73<\/span> <\/p>\n

\n
\"matriz<\/figure>\n<\/div>\n

Exemplo de uma matriz anti-hermitiana de tamanho 4\u00d74<\/span> <\/p>\n

\n
\"matriz<\/figure>\n<\/div>\n

Como voc\u00ea pode ver, as matrizes A, B e C s\u00e3o anti-Hermitianas porque a matriz transposta conjugada de cada uma \u00e9 igual \u00e0 pr\u00f3pria matriz, mas com todos os elementos alterados de sinal.<\/p>\n

Estrutura de uma matriz anti-hermitiana<\/h2>\n

Se voc\u00ea j\u00e1 viu os exemplos anteriores, as matrizes anti-Hermitianas sempre t\u00eam a mesma estrutura: s\u00e3o compostas por n\u00fameros imagin\u00e1rios (sem parte real) na diagonal principal, e o elemento complexo localizado na i-\u00e9sima linha e na j-\u00e9sima linha linha. coluna deve ter a mesma parte imagin\u00e1ria e a mesma parte real, mas com sinal alterado como o elemento da j-\u00e9sima linha e da i-\u00e9sima coluna.<\/p>\n

Embora isto possa parecer um pouco complicado, certamente \u00e9 melhor compreendido pelo exemplo a seguir:<\/p>\n

Estrutura de uma matriz anti-hermitiana de dimens\u00e3o 2\u00d72<\/strong><\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Como voc\u00ea pode ver, os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-Hermitiana s\u00e3o totalmente imagin\u00e1rios e os elementos da diagonal secund\u00e1ria possuem a mesma parte imagin\u00e1ria e a parte real mudou de sinal.<\/p>\n

Portanto, a parte real de uma matriz anti-Hermitiana deve ser antissim\u00e9trica e a parte imagin\u00e1ria sim\u00e9trica.<\/p>\n

Propriedades da matriz anti-hermitiana<\/h2>\n

Veremos agora quais s\u00e3o as propriedades deste tipo de matriz quadrada complexa:<\/p>\n