{"id":319,"date":"2023-07-06T09:24:32","date_gmt":"2023-07-06T09:24:32","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/pt\/matriz-hermitiana-ou-hermitiana\/"},"modified":"2023-07-06T09:24:32","modified_gmt":"2023-07-06T09:24:32","slug":"matriz-hermitiana-ou-hermitiana","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/pt\/matriz-hermitiana-ou-hermitiana\/","title":{"rendered":"Matriz hermitiana (ou hermitiana)"},"content":{"rendered":"<p>Nesta p\u00e1gina voc\u00ea pode aprender o que \u00e9 uma matriz Hermitiana, tamb\u00e9m conhecida como matriz Hermitiana. Voc\u00ea encontrar\u00e1 exemplos de matrizes hermitianas, todas as suas propriedades e a forma que esses tipos de matrizes possuem para entend\u00ea-las perfeitamente. Finalmente, tamb\u00e9m explicamos como decompor qualquer matriz complexa na soma de uma matriz Hermitiana mais uma matriz anti-Hermitiana.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> O que \u00e9 uma matriz Hermitiana ou Hermitiana? <\/h2>\n<div style=\"background-color:#dff6ff;padding-top: 20px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 40px; padding-left: 30px\" class=\"has-background\">\n<p style=\"text-align:left\"> Uma <strong>matriz Hermitiana<\/strong> , ou tamb\u00e9m chamada de matriz Hermitiana, \u00e9 uma matriz quadrada com n\u00fameros complexos que tem a caracter\u00edstica de ser igual \u00e0 sua <a href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\/conjugado-de-matriz-complexa-e-conjugado-transposto\/\">transposta conjugada<\/a> .<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-30b1f42fa0ce4bd6ccc8246e80f5ac19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A=A^*\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"56\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:left\"> Ouro<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0d4c81a666954cf4d9d7889c69274641_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A^*\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"19\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> \u00e9 a matriz transposta conjugada de<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25b206f25506e6d6f46be832f7119ffa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"13\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> .<\/p>\n<\/div>\n<p> A t\u00edtulo de curiosidade, este tipo de matriz tem esse nome em homenagem a Charles Hermite, um matem\u00e1tico franc\u00eas do s\u00e9culo XIX que fez importantes pesquisas em matem\u00e1tica, particularmente na \u00e1rea de \u00e1lgebra linear.<\/p>\n<p> A raz\u00e3o para nomear esta matriz desta forma foi que ela mostrou que os autovalores (ou autovalores) dessas matrizes particulares s\u00e3o sempre n\u00fameros reais, mas explicaremos isso com mais detalhes em Propriedades das Matrizes Hermitianas.<\/p>\n<p> Finalmente, esta matriz \u00e0s vezes tamb\u00e9m pode ser chamada de matriz autoadjunta, embora isso seja muito raro.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Exemplos de matrizes Hermitianas<\/h2>\n<p> Depois de vermos a defini\u00e7\u00e3o da matriz Hermitiana (ou matriz Hermitiana), vejamos alguns exemplos de matrizes Hermitianas de diferentes dimens\u00f5es:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#1976d2\"> <span style=\"text-decoration: underline;\">Exemplo de matriz Hermitiana de ordem 2\u00d72<\/span> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/hermitienne-ou-matrice-hermitienne-de-dimension-22152-1.webp\" alt=\"Matriz Hermitiana ou Hermitiana de dimens\u00e3o 2x2\" class=\"wp-image-2263\" width=\"154\" height=\"68\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#1976d2\"> <span style=\"text-decoration: underline;\">Exemplo de uma matriz Hermitiana de dimens\u00e3o 3 \u00d7 3<\/span> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/hermitienne-ou-matrice-hermitienne-de-dimension-32153-1.webp\" alt=\"Matriz Hermitiana ou Hermitiana de dimens\u00e3o 3x3\" class=\"wp-image-2264\" width=\"211\" height=\"102\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color has-medium-font-size\" style=\"color:#1976d2\"> <span style=\"text-decoration: underline;\">Exemplo de uma matriz Hermitiana de tamanho 4\u00d74<\/span> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/hermitienne-ou-matrice-hermitienne-de-dimension-42154-1.webp\" alt=\"Matriz Hermitiana ou Hermitiana de dimens\u00e3o 4x4\" class=\"wp-image-2265\" width=\"292\" height=\"140\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Todas essas matrizes s\u00e3o hermitianas porque a matriz transposta conjugada de cada uma \u00e9 igual \u00e0 pr\u00f3pria matriz.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Estrutura de uma matriz Hermitiana<\/h2>\n<p> As matrizes hermitianas possuem uma estrutura muito f\u00e1cil de lembrar: s\u00e3o formadas por n\u00fameros reais na diagonal principal, e o elemento complexo localizado na i-\u00e9sima linha e na j-\u00e9sima coluna deve ser o conjugado do elemento encontrado na j-\u00e9sima linha e a i-\u00e9sima coluna.<\/p>\n<p> Aqui est\u00e3o alguns exemplos de estruturas de matriz Hermitiana. <\/p>\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-11\">\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color\" style=\"color:#1976d2\"> <strong>Estrutura hermitiana 2&#215;2<\/strong> <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a7c3eb7e683eabc86f70d307886a25f6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{pmatrix}a&amp; b\\\\[1.1ex] \\overline{b} &amp; c \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"53\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color\" style=\"color:#1976d2\"> <strong>Estrutura Hermitiana 3\u00d73<\/strong> <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6f7d10b69e2e0edf09a8dd5eca195c00_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{pmatrix}a&amp; b &amp; c \\\\[1.1ex] \\overline{b} &amp; d &amp; e \\\\[1.1ex] \\overline{c} &amp; \\overline{e} &amp; f\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"83\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<p class=\"has-text-align-center has-text-color\" style=\"color:#1976d2\"> <strong>Estrutura hermitiana 4\u00d74<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8d2a67c9e5748a431c83128df2b720df_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{pmatrix}a&amp; b &amp; c &amp; d \\\\[1.1ex] \\overline{b} &amp; e &amp; f &amp; g \\\\[1.1ex] \\overline{c} &amp; \\overline{f} &amp; h &amp; i \\\\[1.1ex] \\overline{d} &amp; \\overline{g} &amp; \\overline{i} &amp; j \\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"117\" width=\"110\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Propriedades da matriz Hermitiana<\/h2>\n<p> Veremos agora quais s\u00e3o as propriedades deste tipo de matriz quadrada complexa:<\/p>\n<ul>\n<li> Qualquer matriz hermitiana \u00e9 uma <a href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\/matriz-normal\/\">matriz normal<\/a> . Embora nem todas as matrizes normais sejam matrizes Hermitianas.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Qualquer matriz hermitiana \u00e9 diagonaliz\u00e1vel. Al\u00e9m disso, a matriz diagonal resultante cont\u00e9m apenas elementos reais.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Portanto, os autovalores (ou autovalores) de uma matriz Hermitiana s\u00e3o sempre n\u00fameros reais. Esta propriedade foi descoberta por Charles Hermite, e por esta raz\u00e3o ele teve a honra de chamar esta matriz t\u00e3o especial de Hermitiana.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Da mesma forma, os autoespa\u00e7os de uma matriz Hermitiana s\u00e3o ortogonais dois por dois: existe uma base ortonormal de\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bc61a7b2bce8192ab9946341daf2177a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\mathbb{C}^n\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"21\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> consistindo em vetores pr\u00f3prios (vetores pr\u00f3prios) da matriz.<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Uma matriz de n\u00fameros reais, ou seja, que nenhum elemento tem parte imagin\u00e1ria, \u00e9 hermitiana se e somente se for uma matriz sim\u00e9trica. Como por exemplo a <a href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\">matriz identidade 2\u00d72<\/a> .<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li> Uma matriz Hermitiana pode ser expressa como a soma de uma matriz sim\u00e9trica real e uma <a href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\/exemplos-e-propriedades-de-matrizes-antissimetricas\/\">matriz antissim\u00e9trica<\/a> imagin\u00e1ria. <\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6665f14b3ae5de02e85e92f2a15ba1d9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A =B+Ci\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"93\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:px; text-align:\"><\/div>\n<ul>\n<li> A soma (ou subtra\u00e7\u00e3o) de duas matrizes Hermitianas \u00e9 igual a outra matriz Hermitiana, porque:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5ce5d6e5007ded4d8c7c740a9a1a63d6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(A\\pm B)^* = A^*\\pm B^* = A \\pm B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"231\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> O resultado do produto de uma matriz Hermitiana por um escalar \u00e9 outra matriz Hermitiana se o escalar for um n\u00famero real.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4244f2ea9895585bd55fd0f9732034b3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(k \\cdot A)^* = \\overline{k}\\cdot A^* = k \\cdot A\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"183\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> O produto de duas matrizes Hermitianas geralmente n\u00e3o \u00e9 mais Hermitiano. Por\u00e9m, o produto \u00e9 hermitiano quando as duas matrizes s\u00e3o comut\u00e1veis, ou seja, quando o resultado da multiplica\u00e7\u00e3o das duas matrizes \u00e9 o mesmo independente da dire\u00e7\u00e3o em que s\u00e3o multiplicadas, pois ent\u00e3o a seguinte condi\u00e7\u00e3o das opera\u00e7\u00f5es com transposta conjugada matrizes:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ebe46eaf703e2b0c322383991dcfd10d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(A \\cdot B)^* = B^*\\cdot A^* = B \\cdot A = A \\cdot B\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"268\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Se uma matriz Hermitiana for invert\u00edvel, sua inversa tamb\u00e9m ser\u00e1 uma matriz Hermitiana.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-49f97d0c351dcca3d6dd325c016d8f48_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(A^{-1})^* = (A^*)^{-1} = A^{-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"183\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> O determinante de uma matriz Hermitiana \u00e9 sempre equivalente a um n\u00famero real. Aqui est\u00e1 a prova desta propriedade:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2131a8de361ad2b31e22f5a61333347c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"det(A) = det(A^t) \\ \\longrightarrow \\ det(A^*) = \\overline{det(A)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"315\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Sedento<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-671e0d35eb1b321fb9eb2c728815e8f9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"A = A^*\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"56\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> :<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2b726da4490306c53066a62df96765c4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"det(A) = \\overline{det(A)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"126\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Portanto, para que esta condi\u00e7\u00e3o seja atendida, o determinante de uma matriz Hermitiana deve necessariamente ser um n\u00famero real. Desta forma, o conjugado do resultado \u00e9 igual ao pr\u00f3prio resultado.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> Decomposi\u00e7\u00e3o de uma matriz complexa em uma matriz Hermitiana e uma matriz anti-Hermitiana<\/h2>\n<p> Qualquer matriz com elementos complexos pode ser <strong>decomposta na soma de uma matriz Hermitiana mais outra <a href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\/matriz-anti-hermitiana-ou-anti-hermitiana\/\">matriz anti-Hermitiana<\/a><\/strong> . Mas para isso voc\u00ea precisa conhecer as seguintes particularidades desses tipos de matrizes:<\/p>\n<ul>\n<li> A soma de uma matriz quadrada complexa mais seu conjugado transposto d\u00e1 uma matriz Hermitiana.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-57572ba6df31f7ad03d06358f2dcf50c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"C + C^* = \\text{Matriz Hermitiana}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"227\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> A diferen\u00e7a entre uma matriz quadrada complexa e seu conjugado transposto d\u00e1 uma matriz anti-Hermitiana (ou anti-Hermitiana).<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-70585e93ed3cecd58925a5a0c33ab14a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"C - C^* = \\text{Matriz Antihermitiana}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"258\" style=\"vertical-align: -1px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Portanto, todas as matrizes complexas podem ser decompostas na soma de uma matriz Hermitiana e uma matriz anti-Hermitiana. Este teorema \u00e9 conhecido como <span style=\"color:#1976d2;\"><strong>decomposi\u00e7\u00e3o de Teoplitz<\/strong><\/span> :<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-74e1d9a0d55d77dd927109e42986c200_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{array}{c} C = A + B \\\\[2ex] A =  \\cfrac{1}{2}\\cdot (C+C^*) \\qquad B = \\cfrac{1}{2} \\cdot (C-C^*)\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"76\" width=\"299\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Onde C \u00e9 a matriz complexa que queremos decompor, C* seu conjugado transposto e finalmente A e B s\u00e3o respectivamente as matrizes Hermitiana e anti-Hermitiana nas quais a matriz C \u00e9 decomposta.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Nesta p\u00e1gina voc\u00ea pode aprender o que \u00e9 uma matriz Hermitiana, tamb\u00e9m conhecida como matriz Hermitiana. Voc\u00ea encontrar\u00e1 exemplos de matrizes hermitianas, todas as suas propriedades e a forma que esses tipos de matrizes possuem para entend\u00ea-las perfeitamente. 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