{"id":289,"date":"2023-07-06T18:52:35","date_gmt":"2023-07-06T18:52:35","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/pt\/determinantes-4x4-por-exemplos-complementares-e-exercicios-resolvidos\/"},"modified":"2023-07-06T18:52:35","modified_gmt":"2023-07-06T18:52:35","slug":"determinantes-4x4-por-exemplos-complementares-e-exercicios-resolvidos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/pt\/determinantes-4x4-por-exemplos-complementares-e-exercicios-resolvidos\/","title":{"rendered":"Como calcular o determinante de uma matriz 4×4 por complementos ou cofatores"},"content":{"rendered":"

Nesta p\u00e1gina veremos como resolver um determinante por adi\u00e7\u00f5es ou cofatores<\/strong> e tamb\u00e9m como calcular o determinante de uma matriz de dimens\u00e3o 4\u00d74<\/strong> . Por\u00e9m, para resolver o determinante de uma matriz de ordem 4, voc\u00ea deve primeiro saber como calcular um determinante usando os adjuntos de uma linha ou coluna. Veremos, portanto, primeiro como encontrar um determinante por adjuntos ou cofatores e, em seguida, como fazer um determinante de ordem 4 .<\/strong><\/p>\n

Como calcular um determinante por adi\u00e7\u00f5es ou cofatores?<\/h2>\n

Um determinante pode ser calculado somando os produtos dos elementos de qualquer linha ou coluna pelos seus respectivos complementos (ou cofatores)<\/strong> .<\/p>\n

Este m\u00e9todo \u00e9 chamado de resolu\u00e7\u00e3o de um determinante por adjuntos ou cofatores, ou h\u00e1 at\u00e9 matem\u00e1ticos que tamb\u00e9m contam a regra de Laplace (ou teorema de Laplace).<\/p>\n

Exemplo de resolu\u00e7\u00e3o de um determinante por deputados:<\/h3>\n

Vejamos um exemplo pr\u00e1tico de resolu\u00e7\u00e3o do determinante de uma matriz 3 \u00d7 3<\/a> por adjuntos. Vamos fazer o seguinte determinante:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}<\/p>\n<\/p>\n

Primeiro, precisamos escolher uma coluna ou linha do determinante. Neste caso, escolhemos a primeira coluna<\/strong> , pois possui 0 e portanto ser\u00e1 mais f\u00e1cil de resolver.<\/p>\n

Devemos agora multiplicar os elementos da primeira coluna pelos seus respectivos deputados<\/strong> :<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}<\/p>\n<\/p>\n

O complemento de 0 n\u00e3o precisa ser calculado, pois multiplic\u00e1-lo por 0 o cancelar\u00e1. Podemos, portanto, simplificar:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Agora procedemos ao c\u00e1lculo dos complementos<\/strong> : <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\n

Lembre-se que para calcular o deputado<\/strong> de<\/p>\n<\/p>\n

\"a_{ij}\"<\/p>\n

, ou seja, item de linha<\/p>\n

\"i\"<\/p>\n

e a coluna<\/p>\n

\"j\"<\/p>\n

, a seguinte f\u00f3rmula deve ser aplicada:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{Adjunto<\/p>\n<\/p>\n

onde o complementar menor de<\/p>\n<\/p>\n

\"a_{ij}\"<\/p>\n

\u00e9 o determinante da matriz removendo a linha<\/p>\n

\"i\"<\/p>\n

e a coluna<\/p>\n

\"j\"<\/p>\n

.<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n

Resolvemos as pot\u00eancias e os determinantes:<\/p>\n<\/p>\n

\"=<\/p>\n<\/p>\n

\"=<\/p>\n<\/p>\n

E operamos com a calculadora:<\/p>\n<\/p>\n

\"=<\/p>\n<\/p>\n

\"=<\/p>\n<\/p>\n

Portanto, o resultado do determinante \u00e9 -3.<\/strong><\/p>\n

Observe que se calcularmos o determinante com a regra de Sarrus, obtemos o mesmo resultado:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{aligned}<\/p>\n<\/p>\n

Depois de sabermos como um determinante \u00e9 calculado pelos deputados, podemos agora ver como encontrar o resultado de um determinante de ordem 4:<\/p>\n

Como calcular um determinante 4\u00d74?<\/h2>\n

Para resolver o determinante de uma matriz de ordem 4<\/strong> devemos aplicar o procedimento que acabamos de ver para os deputados. Ou seja, escolhemos qualquer linha ou coluna e somamos os produtos dos seus elementos pelos seus respectivos complementos.<\/p>\n

No entanto, usando este procedimento com um determinante 4 \u00d7 4, muitos determinantes 3 \u00d7 3 devem ser calculados, e estes tendem a levar muito tempo. Portanto, antes de calcular os adjuntos , s\u00e3o realizadas transforma\u00e7\u00f5es nas retas<\/strong> , semelhante ao m\u00e9todo gaussiano. J\u00e1 que uma linha de um determinante pode ser substitu\u00edda pela soma da mesma linha mais outra linha multiplicada por um n\u00famero.<\/p>\n

Portanto, para calcular um determinante de ordem 4 por deputados, deve-se escolher a coluna que cont\u00e9m mais zeros<\/strong> , pois isso facilitar\u00e1 os c\u00e1lculos. E ent\u00e3o realizamos opera\u00e7\u00f5es internas nas linhas, de modo que todos os elementos da coluna sejam nulos, exceto um.<\/p>\n

Vamos ver como \u00e9 feito um determinante 4×4 com um exemplo:<\/p>\n

Exemplo de resolu\u00e7\u00e3o de um determinante 4\u00d74:<\/h3>\n

Resolveremos este determinante da seguinte matriz quadrada 4\u00d74:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}<\/p>\n<\/p>\n

Neste caso, a coluna com mais zeros \u00e9 a primeira coluna. Portanto, escolhemos a primeira coluna.<\/strong><\/p>\n

E aproveitando que existe 1 nesta coluna, vamos converter todos os outros elementos da primeira coluna para 0. J\u00e1 que \u00e9 mais f\u00e1cil fazer c\u00e1lculos com a linha que tem 1.<\/p>\n

Portanto, para transformar todos os outros elementos da coluna em 0, adicionamos a primeira linha \u00e0 segunda linha<\/strong> e subtra\u00edmos a primeira linha multiplicada por 2 da quarta linha<\/strong> . A terceira linha n\u00e3o precisa ser alterada, pois j\u00e1 possui 0 na primeira coluna. <\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}<\/p>\n<\/p>\n

\n
<\/div>\n<\/div>\n

Depois de convertermos todos os elementos da coluna escolhida em 0, exceto um, calculamos o determinante por deputados. Ou seja , somamos os produtos dos elementos da coluna pelos seus respectivos deputados:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}<\/p>\n<\/p>\n

Os termos multiplicados por 0 s\u00e3o cancelados, ent\u00e3o os simplificamos: <\/p>\n<\/p>\n

\"=1\\bm{\\cdot}<\/p>\n<\/p>\n

\"=1\\bm{\\cdot}<\/p>\n<\/p>\n

\"=\\text{Adj(1)}\"<\/p>\n<\/p>\n

\u00c9, portanto, suficiente calcular o adjunto de 1:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Calculamos o determinante com a regra de Sarrus e a pot\u00eancia: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\inlinestyle<\/p>\n<\/p>\n

\"=3<\/p>\n<\/p>\n

E finalmente resolvemos as opera\u00e7\u00f5es com a calculadora: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Exerc\u00edcios resolvidos de determinantes 4\u00d74<\/h2>\n

Exerc\u00edcio 1<\/h3>\n

Resolva o seguinte determinante de ordem 4: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\n
veja solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Encontraremos o resultado do determinante 4\u00d74 com o m\u00e9todo do cofator. Mas primeiro fazemos opera\u00e7\u00f5es com as linhas para definir todos os elementos de uma coluna como zero, exceto um:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}<\/p>\n<\/p>\n

E agora resolvemos o determinante 4\u00d74 por conjun\u00e7\u00f5es com a \u00faltima coluna:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}<\/p>\n<\/p>\n

Simplificamos os termos: <\/p>\n<\/p>\n

\"=<\/p>\n<\/p>\n

\"=<\/p>\n<\/p>\n

Calculamos o adjunto de 1:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

E, por fim, calculamos o determinante 3\u00d73 com a regra de Sarrus: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

Exerc\u00edcio 2<\/h3>\n

Calcule o seguinte determinante de ordem 4: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\n
veja solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Calcularemos o determinante 4\u00d74 por cofatores. Mas para fazer isso, primeiro realizamos opera\u00e7\u00f5es com as linhas para definir todos os elementos de uma coluna como zero, exceto um:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}<\/p>\n<\/p>\n

Agora resolvemos o determinante 4\u00d74 por conjun\u00e7\u00f5es com a segunda coluna:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}<\/p>\n<\/p>\n

Simplificamos os termos: <\/p>\n<\/p>\n

\"=<\/p>\n<\/p>\n

\"=<\/p>\n<\/p>\n

Calculamos o adjunto de 1:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

E, por fim, calculamos o determinante 3\u00d73 com a regra de Sarrus e a calculadora: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n

Exerc\u00edcio 3<\/h3>\n

Encontre o resultado do seguinte determinante de ordem 4: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\n
veja solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Resolveremos o determinante 4\u00d74 pelos deputados. Embora primeiro fa\u00e7amos opera\u00e7\u00f5es com as linhas para converter todos os elementos de uma coluna, exceto um, em zero:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}2<\/p>\n<\/p>\n

Agora resolvemos o determinante 4\u00d74 por deputados com a terceira coluna:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}6<\/p>\n<\/p>\n

Simplificamos os termos: <\/p>\n<\/p>\n

\"=<\/p>\n<\/p>\n

\"=<\/p>\n<\/p>\n

Calculamos o adjunto de 1:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

E por fim, resolvemos o determinante 3\u00d73 com a regra de Sarrus e a calculadora: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

Exerc\u00edcio 4<\/h3>\n

Calcule o resultado do seguinte determinante de ordem 4: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\n
veja solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Resolveremos o determinante 4\u00d74 usando a regra de Laplace. Mas voc\u00ea deve primeiro fazer opera\u00e7\u00f5es com as linhas para definir todos os elementos de uma coluna como zero, exceto um:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}3<\/p>\n<\/p>\n

Agora resolvemos por deputados o determinante 4\u00d74 com a primeira coluna:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{vmatrix}0<\/p>\n<\/p>\n

Simplificamos os termos: <\/p>\n<\/p>\n

\"=<\/p>\n<\/p>\n

\"=-<\/p>\n<\/p>\n

Calculamos o adjunto de -1:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

E por fim, resolvemos o determinante 3\u00d73 com a regra de Sarrus e a calculadora: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

Com toda essa pr\u00e1tica, voc\u00ea provavelmente j\u00e1 sabe como resolver determinantes 4×4. Fant\u00e1stico! Esperamos que com todos estes exerc\u00edcios voc\u00ea agora consiga calcular o intervalo de uma matriz de dimens\u00e3o 4\u00d74<\/a> que custa tantas pessoas.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Nesta p\u00e1gina veremos como resolver um determinante por adi\u00e7\u00f5es ou cofatores e tamb\u00e9m como calcular o determinante de uma matriz de dimens\u00e3o 4\u00d74 . Por\u00e9m, para resolver o determinante de uma matriz de ordem 4, voc\u00ea deve primeiro saber como calcular um determinante usando os adjuntos de uma linha ou coluna. Veremos, portanto, primeiro como …<\/p>\n

Como calcular o determinante de uma matriz 4×4 por complementos ou cofatores<\/span> Leia mais »<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[12],"tags":[],"class_list":["post-289","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-determinante-de-uma-matriz"],"yoast_head":"\nComo calcular o determinante de uma matriz 4\u00d74 por complementos ou cofatores - Mathority<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\/determinantes-4x4-por-exemplos-complementares-e-exercicios-resolvidos\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pt_BR\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Como calcular o determinante de uma matriz 4\u00d74 por complementos ou cofatores - Mathority\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Nesta p\u00e1gina veremos como resolver um determinante por adi\u00e7\u00f5es ou cofatores e tamb\u00e9m como calcular o determinante de uma matriz de dimens\u00e3o 4\u00d74 . 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