{"id":271,"date":"2023-07-10T00:32:54","date_gmt":"2023-07-10T00:32:54","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/pt\/posicoes-relativas-de-uma-reta-e-de-um-plano\/"},"modified":"2023-07-10T00:32:54","modified_gmt":"2023-07-10T00:32:54","slug":"posicoes-relativas-de-uma-reta-e-de-um-plano","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/pt\/posicoes-relativas-de-uma-reta-e-de-um-plano\/","title":{"rendered":"Posi\u00e7\u00f5es relativas de uma linha e de um plano"},"content":{"rendered":"<p>Nesta p\u00e1gina voc\u00ea encontrar\u00e1 as posi\u00e7\u00f5es relativas de uma linha e de um plano. Explicamos como se calcula a posi\u00e7\u00e3o relativa entre uma reta e um plano (2 m\u00e9todos) e, al\u00e9m disso, voc\u00ea poder\u00e1 ver exemplos e exerc\u00edcios resolvidos passo a passo. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfcuales-son-las-posiciones-relativas-entre-una-recta-y-un-plano\"><\/span> Quais s\u00e3o as posi\u00e7\u00f5es relativas entre uma linha e um plano?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Antes de examinar todas as posi\u00e7\u00f5es relativas poss\u00edveis entre uma reta e um plano, obviamente precisamos saber <a href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\/definicao-de-tipos-de-caracteristicas-de-linha-exemplos-de-linha-reta\/\">o que s\u00e3o retas<\/a> e <a href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\/geometria-plana\/\">o que \u00e9 um plano<\/a> . Portanto, se voc\u00ea ainda n\u00e3o tem esses dois conceitos muito claros, recomendamos que primeiro d\u00ea uma olhada nas p\u00e1ginas vinculadas onde eles s\u00e3o explicados detalhadamente.<\/p>\n<p> Assim, na geometria anal\u00edtica, existem apenas tr\u00eas posi\u00e7\u00f5es relativas no espa\u00e7o entre uma linha e um plano:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Reta contida no plano<\/strong> : quando a reta est\u00e1 contida no plano significa que elas possuem um n\u00famero infinito de pontos em comum.<\/li>\n<li> <strong>Reta e plano paralelos<\/strong> : Uma reta e um plano s\u00e3o paralelos quando n\u00e3o t\u00eam ponto em comum.<\/li>\n<li> <strong>Intersec\u00e7\u00e3o entre linha e plano<\/strong> : Uma linha e um plano se cruzam quando a linha intercepta o plano em um ponto. Ent\u00e3o eles s\u00f3 t\u00eam uma coisa em comum. <\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/positions-relatives-dune-droite-et-dun-plan.webp\" alt=\"\" class=\"wp-image-4014\" width=\"651\" height=\"400\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Por outro lado, quando a reta est\u00e1 contida no plano ou quando s\u00e3o paralelas entre si, o \u00e2ngulo que formam ser\u00e1 0\u00ba. Por outro lado, quando a reta e o plano se cruzam, o \u00e2ngulo entre os dois elementos geom\u00e9tricos pode variar de 0\u00ba (n\u00e3o inclu\u00eddo) a 90\u00ba (inclusive). <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfcomo-calcular-la-posicion-relativa-de-una-recta-y-un-plano\"><\/span> Como calcular a posi\u00e7\u00e3o relativa de uma linha e de um plano?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Existem principalmente dois m\u00e9todos para encontrar a posi\u00e7\u00e3o relativa entre uma linha e um plano no espa\u00e7o: <strong>por intervalos<\/strong> ou <strong>por vetores<\/strong> .<\/p>\n<p> Quando a reta \u00e9 expressa como uma equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita (ou geral), \u00e9 mais f\u00e1cil usar o m\u00e9todo de classifica\u00e7\u00e3o. Por outro lado, se a reta for dada com outro tipo de equa\u00e7\u00e3o, por exemplo quando estiver na forma de uma equa\u00e7\u00e3o vetorial, param\u00e9trica ou cont\u00ednua, \u00e9 mais r\u00e1pido utilizar o m\u00e9todo vetorial.<\/p>\n<p> Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra como s\u00e3o as equa\u00e7\u00f5es da reta, deixamos uma p\u00e1gina onde voc\u00ea pode consultar <a href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\/equacoes-de-linha-todas-as-formulas-exemplos-exercicios-resolvidos\/\">todas as equa\u00e7\u00f5es da reta<\/a> . Aqui voc\u00ea encontrar\u00e1 todas as equa\u00e7\u00f5es da reta, uma f\u00f3rmula para encontrar rapidamente a equa\u00e7\u00e3o de uma reta que passa por dois pontos, exemplos e exerc\u00edcios resolvidos passo a passo.<\/p>\n<p> Portanto, \u00e9 mais pr\u00e1tico utilizar um m\u00e9todo ou outro dependendo do problema, por isso recomendamos que voc\u00ea saiba fazer os dois procedimentos. Abaixo est\u00e1 a explica\u00e7\u00e3o de ambos os m\u00e9todos com exemplos. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"cuando-la-recta-esta-en-forma-de-ecuacion-implicita-o-general\"><\/span> Quando a reta est\u00e1 na forma de uma equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita (ou geral)<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Uma maneira de determinar a posi\u00e7\u00e3o relativa entre uma linha e um plano \u00e9 calcular a classifica\u00e7\u00e3o de duas matrizes.<\/p>\n<p> Se a reta for definida por suas equa\u00e7\u00f5es impl\u00edcitas (ou gerais):<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-90fc7032d2804ef53ac3136f01ee9d86_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle r: \\ \\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\\\[2ex] A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"256\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E o plano tamb\u00e9m \u00e9 expresso na forma de uma equa\u00e7\u00e3o geral:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d3bdc521630479fe27eb3873cd5b21b5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi : \\ A_3x+B_3y+C_3z+D_3=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"242\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Chamaremos de A a matriz composta pelos coeficientes A, B e C das equa\u00e7\u00f5es do plano e da reta:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e697e27706489cb97d773b722c84ad37_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A =\\begin{pmatrix} A_1&amp;B_1&amp;C_1\\\\[1.1ex] A_2&amp;B_2&amp;C_2\\\\[1.1ex] A_3&amp;B_3&amp;C_3\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"158\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E a matriz A&#8217; ser\u00e1 a matriz expandida com todos os coeficientes das duas equa\u00e7\u00f5es:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6c87c6559e077c5bedb08d62e386f0bb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A' =\\begin{pmatrix} A_1&amp;B_1&amp;C_1&amp;D_1\\\\[1.1ex] A_2&amp;B_2&amp;C_2&amp;D_2\\\\[1.1ex] A_3&amp;B_3&amp;C_3&amp;D_3\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"201\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ent\u00e3o, a posi\u00e7\u00e3o relativa entre a reta e o plano \u00e9 determinada pelo valor da extens\u00e3o das duas matrizes anteriores de acordo com a tabela a seguir: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/position-relative-entre-une-ligne-et-un-plan-par-intervalles.webp\" alt=\"estudar a posi\u00e7\u00e3o relativa entre uma linha e um plano no espa\u00e7o por intervalos\" class=\"wp-image-4019\" width=\"623\" height=\"194\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Que as posi\u00e7\u00f5es relativas dependem das classifica\u00e7\u00f5es dessas duas matrizes pode ser mostrado no toerem de Rouche-Frobenius (um teorema usado para resolver sistemas de equa\u00e7\u00f5es lineares). Por\u00e9m, nesta p\u00e1gina n\u00e3o faremos a demonstra\u00e7\u00e3o porque n\u00e3o \u00e9 necess\u00e1rio conhec\u00ea-la e tamb\u00e9m n\u00e3o fornece muita coisa.<\/p>\n<h4 class=\"wp-block-heading\"> Exemplo de como encontrar a posi\u00e7\u00e3o relativa de uma linha e um plano por intervalos<\/h4>\n<p> Para que voc\u00ea veja exatamente como isso \u00e9 feito, vamos resolver um exerc\u00edcio como exemplo:<\/p>\n<ul>\n<li> Estude a posi\u00e7\u00e3o relativa entre a seguinte linha e o seguinte plano:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-794d91d1740ca80c422936e5e06abefd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle r: \\ \\begin{cases}2x+y+z+3=0 \\\\[2ex] 4x-y+5z+2=0\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"198\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-14576ddb5ea954ab6ac03ddfa4719d21_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi : \\ 2x+2y-6=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"153\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> A reta \u00e9 definida por dois planos que se cruzam, ou seja, \u00e9 expressa como uma equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita. Portanto, usaremos o m\u00e9todo de classifica\u00e7\u00e3o para estudar a posi\u00e7\u00e3o relativa entre a reta e o plano.<\/p>\n<p> A primeira coisa a fazer \u00e9 construir a matriz A e a matriz estendida A&#8217; com os coeficientes das equa\u00e7\u00f5es:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-819af000774ddbc89e11df809bcb2a28_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle A =\\begin{pmatrix} 2&amp;1&amp;1\\\\[1.1ex] 4&amp;-1&amp;5\\\\[1.1ex] 2&amp;2&amp;0\\end{pmatrix} \\qquad \\qquad A' =\\begin{pmatrix} 2&amp;1&amp;1&amp;3\\\\[1.1ex] 4&amp;-1&amp;5&amp;2\\\\[1.1ex] 2&amp;2&amp;0&amp;-6\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"394\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E agora precisamos calcular a classifica\u00e7\u00e3o de cada matriz. Primeiro encontramos a extens\u00e3o da matriz A por determinantes: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5db59e1c8bbf94b95483870d47cea1b2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"rg(A) = \\ ?\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-997e4d9c9bd1522795a581d0fb62cfdf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{vmatrix} 2&amp;1&amp;1\\\\[1.1ex] 4&amp;-1&amp;5\\\\[1.1ex] 2&amp;2&amp;0\\end{vmatrix} =0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"115\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-169fab3e064b8bb744ef9cc546bfe201_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{vmatrix} 2&amp;1\\\\[1.1ex] 4&amp;-1\\end{vmatrix} =-6 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"54\" width=\"136\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef18656c1a261aa20598fc8f6a587323_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"rg(A) = 2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p>O determinante da matriz A \u00e9 zero, mas cont\u00e9m uma submatriz 2\u00d72 cujo determinante \u00e9 diferente de zero, portanto \u00e9 uma matriz de posto 2.<\/p>\n<p> Por outro lado, tamb\u00e9m \u00e9 necess\u00e1rio calcular o posto da matriz A&#8217;. E o contradom\u00ednio da matriz estendida A&#8217; ser\u00e1 sempre pelo menos igual ao da matriz A, ent\u00e3o s\u00f3 precisamos verificar se ela \u00e9 de posto 3 ou 2: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e8e886877bcaa4124dd444188a5cc66a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"rg(A') = \\ ?\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ae375c2cd910e2e52f242facef2aecec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{vmatrix} 2&amp;1&amp;3\\\\[1.1ex] 4&amp;-1&amp;2\\\\[1.1ex] 2&amp;2&amp;-6\\end{vmatrix} =62 \\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"170\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8f38f92bcbb2288e43932ccd835e99d4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"rg(A') = 3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Por outro lado, a matriz estendida A&#8217; possui um subdeterminante 3\u00d73 diferente de 0, sendo portanto de posto 3.<\/p>\n<p> Portanto, como a matriz A \u00e9 de posto 2 e a matriz A&#8217; \u00e9 de posto 3, <strong>a reta e o plano s\u00e3o paralelos<\/strong> . <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"cuando-la-recta-esta-en-forma-de-otro-tipo-de-ecuacion\"><\/span> Quando a reta est\u00e1 na forma de outro tipo de equa\u00e7\u00e3o<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Quando a reta \u00e9 expressa por uma equa\u00e7\u00e3o diferente da impl\u00edcita, seja a equa\u00e7\u00e3o vetorial, param\u00e9trica ou cont\u00ednua, \u00e9 prefer\u00edvel utilizar o m\u00e9todo que explicamos a seguir.<\/p>\n<p> Assim, se a reta \u00e9 dada na forma de uma equa\u00e7\u00e3o vetorial, de equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas ou de uma equa\u00e7\u00e3o cont\u00ednua, significa que conhecemos um ponto que pertence \u00e0 reta e, tamb\u00e9m, seu vetor diretor.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a5a0fe0918b9eb196b470ffde6dffb81_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle r: \\ \\begin{cases} \\vv{\\text{v}}_r \\\\[2ex] P\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"60\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Por outro lado, tamb\u00e9m sabemos qual \u00e9 o vetor normal (ou perpendicular) ao plano:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-123a18c0a20e53d6401b932e47192df0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{n} \\perp \\pi\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"45\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ent\u00e3o, a partir dos 2 vetores e do ponto da reta, a posi\u00e7\u00e3o relativa entre a reta e o plano pode ser calculada da seguinte forma:<\/p>\n<ul style=\"color:#ff6f00; font-weight: bold;list-style-type:disc\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Se o produto escalar entre o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano for diferente de zero, isso significa que a reta \u00e9 secante ao plano.<\/span>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-29625866e04f656f7067ec4fe6139bd9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{v}}_r\\cdot \\vv{n} \\neq 0 \\ \\color{orange}\\longrightarrow \\color{black} \\ \\text{recta y plano secantes}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"388\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/li>\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Mas se o produto escalar entre o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano for igual a zero, existem duas possibilidades: a reta est\u00e1 contida no plano ou s\u00e3o paralelos. E para saber qual \u00e9 o caso, devemos substituir as coordenadas de um ponto da reta na equa\u00e7\u00e3o do plano.<\/span>\n<ul style=\"list-style-type:circle\">\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Se o ponto satisfaz a equa\u00e7\u00e3o do plano, a reta est\u00e1 contida no plano.<\/span><\/li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-67bea80768d5723b1a1a79404b6dad60_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left.\\begin{array}{c} \\vv{\\text{v}}_r\\cdot \\vv{n} = 0\\\\[2ex]P \\in \\pi   \\end{array} \\right\\}  \\color{orange}\\longrightarrow \\color{black}\\ \\text{recta contenida en el plano}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"448\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Por outro lado, se o ponto n\u00e3o satisfaz a equa\u00e7\u00e3o do plano, a reta e o plano s\u00e3o paralelos.<\/span><\/li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1eccf7b373d59c89e835ae6c64e3d980_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left.\\begin{array}{c} \\vv{\\text{v}}_r\\cdot \\vv{n} = 0\\\\[2ex] P \\ \\cancel{\\in} \\ \\pi \\end{array} \\right\\} \\color{orange}\\longrightarrow \\color{black} \\ \\text{recta y plano paralelos}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"415\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<h4 class=\"wp-block-heading\"> Exemplo de determina\u00e7\u00e3o da posi\u00e7\u00e3o relativa de uma linha reta e de um plano usando vetores<\/h4>\n<p> Depois de vermos a teoria deste m\u00e9todo, vamos agora ver um exerc\u00edcio resolvido passo a passo:<\/p>\n<ul>\n<li> Encontre a posi\u00e7\u00e3o relativa entre a seguinte linha e o seguinte plano:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7df9c39f91ee48f9c11804e81a7cb57a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle r: \\ \\begin{cases}x=2-3t \\\\[1.7ex] y=-1+2t \\\\[1.7ex] z=-2t\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"107\" width=\"137\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d98be29c4b72b8126b336e9fb89ddf78_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\pi : \\ 2x+y-2z-3=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"184\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Primeiro, a reta \u00e9 definida como equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas, ent\u00e3o seu vetor de dire\u00e7\u00e3o e um ponto pelo qual ela passa s\u00e3o:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c38a901be64fc1a358200bc95c6cafc6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle r: \\ \\begin{cases} \\vv{\\text{v}}_r =(-3,2,-2) \\\\[2ex] P(2,-1,0) \\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"168\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> E, por outro lado, o vetor normal ao plano \u00e9:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3d1147a5141ab6b378f2cc901e565685_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{n} =(2,1,-2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"104\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Uma vez conhecido o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano, devemos calcular o produto escalar entre os dois:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cffc4ca748ea137ce81d1cb185c28b1b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} \\vv{\\text{v}}_r \\cdot \\vv{n} &amp; = (-3,2,-2) \\cdot (2,1,-2) \\\\[2ex] &amp; = -3 \\cdot 2+2 \\cdot 1 -2\\cdot (-2) \\\\[2ex] &amp;= -6 +2 +4 \\\\[2ex] &amp; = 0\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"140\" width=\"240\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> O resultado do produto escalar \u00e9 zero, ent\u00e3o a reta s\u00f3 pode estar contida no plano ou ser paralela a ele. Ent\u00e3o, para descobrir qual \u00e9 o caso, substitu\u00edmos as coordenadas cartesianas do ponto da reta na equa\u00e7\u00e3o do plano: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-90c28414930db38453e927e36128fccd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2x+y-2z-3=0 \\ \\xrightarrow{P(2,-1,0)} \\ 2\\cdot 2 -1 -2 \\cdot 0 -3 = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"422\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-65009666a542c5d85d27cde1024f9c7e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"4- 1 -0 -3 = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"133\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bb23fb46aaefcb8f5b4dfd612098620b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"0 = 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"42\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Substituindo o ponto da reta na equa\u00e7\u00e3o do plano obtemos uma igualdade, pois o ponto respeita a equa\u00e7\u00e3o do plano e, consequentemente, <strong>a reta est\u00e1 contida no plano<\/strong> .<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Nesta p\u00e1gina voc\u00ea encontrar\u00e1 as posi\u00e7\u00f5es relativas de uma linha e de um plano. Explicamos como se calcula a posi\u00e7\u00e3o relativa entre uma reta e um plano (2 m\u00e9todos) e, al\u00e9m disso, voc\u00ea poder\u00e1 ver exemplos e exerc\u00edcios resolvidos passo a passo. Quais s\u00e3o as posi\u00e7\u00f5es relativas entre uma linha e um plano? 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