{"id":268,"date":"2023-07-10T02:22:55","date_gmt":"2023-07-10T02:22:55","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/pt\/o-que-sao-vetores-matematica-fisica-exemplos\/"},"modified":"2023-07-10T02:22:55","modified_gmt":"2023-07-10T02:22:55","slug":"o-que-sao-vetores-matematica-fisica-exemplos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/pt\/o-que-sao-vetores-matematica-fisica-exemplos\/","title":{"rendered":"O que s\u00e3o vetores (matem\u00e1tica)?"},"content":{"rendered":"<p>Nesta p\u00e1gina voc\u00ea encontrar\u00e1 tudo sobre vetores: o que s\u00e3o, suas caracter\u00edsticas, como s\u00e3o calculados, como fazer opera\u00e7\u00f5es com vetores, os diferentes tipos que existem,\u2026<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-un-vector\"><\/span> O que \u00e9 um vetor?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> A defini\u00e7\u00e3o matem\u00e1tica de um vetor \u00e9 a seguinte:<\/p>\n<p> Em matem\u00e1tica, <strong>um vetor \u00e9 um segmento direcionado que vai de um ponto (chamado de origem) a outro ponto (chamado de fim).<\/strong><\/p>\n<p> Por exemplo, no gr\u00e1fico abaixo, voc\u00ea pode ver que o vetor<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-243865b783ec40e03ec861ac2ebcb279_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{AB}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"13\" width=\"27\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Tem o ponto A como origem e o ponto B como ponto final. <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/quest-ce-quun-vecteur.webp\" alt=\"o que \u00e9 um vetor matem\u00e1tico\" class=\"wp-image-3678\" width=\"176\" height=\"176\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<p> Os vetores s\u00e3o usados principalmente em matem\u00e1tica, particularmente em geometria e f\u00edsica, para representar graficamente for\u00e7as vetoriais. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"caracteristicas-de-un-vector\"><\/span> Caracter\u00edsticas de um vetor<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Depois de vermos qual \u00e9 o significado matem\u00e1tico dos vetores, vamos agora ver quais s\u00e3o suas propriedades.<\/p>\n<p> Cada vetor possui as seguintes caracter\u00edsticas geom\u00e9tricas:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Dire\u00e7\u00e3o<\/strong> : A dire\u00e7\u00e3o de um vetor \u00e9 a dire\u00e7\u00e3o da reta que cont\u00e9m o vetor ou de qualquer reta paralela a ele. Em outras palavras, a dire\u00e7\u00e3o de um vetor \u00e9 a reta sobre a qual ele se encontra.<\/li>\n<li> <strong>Dire\u00e7\u00e3o<\/strong> : a dire\u00e7\u00e3o de um vetor \u00e9 a orienta\u00e7\u00e3o do referido vetor, indicada por sua seta.<\/li>\n<li> <strong>M\u00f3dulo<\/strong> (ou magnitude): o m\u00f3dulo de um vetor \u00e9 o seu comprimento e corresponde ao valor num\u00e9rico do vetor. Portanto, quanto maior o vetor significa, maior ser\u00e1 a quantidade vetorial que ele representa.<\/li>\n<li> <strong>Ponto de aplica\u00e7\u00e3o<\/strong> : o ponto de aplica\u00e7\u00e3o de um vetor \u00e9 a origem do referido vetor. <\/li>\n<\/ul>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/caracteristiques-d-un-vecteur.webp\" alt=\"caracter\u00edsticas geom\u00e9tricas de vetores\" class=\"wp-image-3682\" width=\"332\" height=\"313\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<p> As no\u00e7\u00f5es de dire\u00e7\u00e3o e sentido de um vetor s\u00e3o muitas vezes confusas, por isso \u00e9 importante distinguir a diferen\u00e7a entre elas. Veja o exemplo a seguir com dois vetores, ambos t\u00eam a mesma dire\u00e7\u00e3o, mas seus significados s\u00e3o diferentes: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/sens-et-direction-d-un-vecteur.webp\" alt=\"significado do significado e dire\u00e7\u00e3o de um vetor\" class=\"wp-image-3686\" width=\"446\" height=\"181\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<p> Os dois vetores t\u00eam a mesma dire\u00e7\u00e3o porque s\u00e3o paralelos. Em vez disso, suas dire\u00e7\u00f5es s\u00e3o opostas porque est\u00e3o voltadas para tr\u00e1s.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"componentes-de-un-vector\"><\/span> Componentes de um vetor<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Acabamos de ver que os vetores s\u00e3o representados graficamente por setas, mas os vetores tamb\u00e9m podem ser representados numericamente pelas componentes (ou coordenadas) de um vetor.<\/p>\n<p> Por exemplo, se tivermos o seguinte vetor representado em um gr\u00e1fico: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/vecteur-exemples.webp\" alt=\"exemplos de vetores\" class=\"wp-image-3692\" width=\"316\" height=\"283\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<p> Para calcular as componentes do vetor, devemos primeiro identificar as coordenadas de sua origem e fim, ou seja, os pontos onde ele come\u00e7a e onde termina. Neste caso, a origem e o fim do vetor s\u00e3o:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> Origem do vetor: A(2,1)<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> Ponto final do vetor: B(5,6)<\/p>\n<p> Ent\u00e3o, para encontrar as coordenadas ou componentes do vetor, basta subtrair o ponto final menos a origem:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fba10729c8ded7f7c7051cfda5c12eab_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} \\vv{AB} &amp; = B- A \\\\[2ex] &amp; = (5,6)- (2,1) \\\\[2ex] &amp;= (5-2 \\ , \\ 6-1) \\\\[2ex] &amp;= (3,5) \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"144\" width=\"163\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Portanto, as componentes do vetor representado no gr\u00e1fico s\u00e3o: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8fbf31faea8cf602f9556fa80f618515_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\bm{AB}}\\bm{=(3,5)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"85\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"operaciones-con-vectores\"><\/span> Opera\u00e7\u00f5es vetoriais <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"suma-de-vectores\"><\/span> adicionando vetor<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Para somar numericamente dois vetores, voc\u00ea deve somar seus respectivos componentes. Ou em outras palavras, as coordenadas X dos dois vetores s\u00e3o somadas e iguais \u00e0s coordenadas Y.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d97d089a143f6e30d987b0ed74c56dfe_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \\newtcbox{\\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.4pt, boxsep=2mm,     #1} \\begin{empheq}[box={\\mymath[colback=white,shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \\begin{array}{c} \\vv{\\text{u}} = (\\text{u}_x,\\text{u}_y) \\qquad \\vv{\\text{v}}=(\\text{v}_x, \\text{v}_y)\\\\[4ex]\\vv{\\text{u}} + \\vv{\\text{v}} = (\\text{u}_x + \\text{v}_x \\ , \\ \\text{u}_y + \\text{v}_y) \\end{array} \\end{empheq}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"313\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Para que voc\u00ea possa ver como isso \u00e9 feito, adicionaremos os dois vetores a seguir:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d5107f1a0b5a49b0ffd79eb20211c48b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}} = (2,3) \\qquad \\vv{\\text{v}}=(4, -1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"194\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-24ac65138e4d395f7773aa19ba806a49_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} \\vv{\\text{u}} + \\vv{\\text{v}}&amp; =(2,3) +(4,-1) \\\\[2ex] &amp; = (2+4,3+(-1)) \\\\[2ex] &amp; = \\bm{(6,2)} \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"103\" width=\"192\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dois vetores tamb\u00e9m podem ser adicionados a partir de suas representa\u00e7\u00f5es gr\u00e1ficas. Para isso, normalmente utiliza-se a regra ou lei do paralelogramo, mas existem muitos m\u00e9todos. Voc\u00ea pode ver exemplos e exerc\u00edcios resolvidos sobre <a href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\/soma-de-vetores-exemplos-resolvidos-graficamente-numericamente-exercicios-adicionar\/\">como adicionar dois vetores graficamente<\/a> aqui.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"resta-de-vectores\"><\/span> subtra\u00e7\u00e3o vetorial<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Para subtrair analiticamente dois vetores, voc\u00ea deve subtrair seus respectivos componentes. Ou seja, as coordenadas X dos dois vetores s\u00e3o subtra\u00eddas uma da outra e iguais \u00e0s coordenadas Y.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c755aca302ff1c1b956ca3d91bac1095_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \\newtcbox{\\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.4pt, boxsep=2mm,     #1} \\begin{empheq}[box={\\mymath[colback=white,shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \\begin{array}{c} \\vv{\\text{u}} = (\\text{u}_x,\\text{u}_y) \\qquad \\vv{\\text{v}}=(\\text{v}_x, \\text{v}_y)\\\\[4ex]\\vv{\\text{u}} - \\vv{\\text{v}} = (\\text{u}_x - \\text{v}_x \\ , \\ \\text{u}_y - \\text{v}_y) \\end{array} \\end{empheq}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"313\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Como exemplo, subtrairemos os dois vetores a seguir:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0e6976699c55e7cb1372aca76313b056_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}} = (3,1) \\qquad \\vv{\\text{v}}=(2, -4)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"194\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5693a8287adebc3a4553358f8a8b0969_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} \\vv{\\text{u}} - \\vv{\\text{v}}&amp; =(3,1) -(2,-4) \\\\[2ex] &amp; = (3-2,1-(-4)) \\\\[2ex]&amp; = (3-2,1+4) \\\\[2ex] &amp; = \\bm{(1,5)} \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"145\" width=\"192\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Assim como a adi\u00e7\u00e3o, voc\u00ea tamb\u00e9m pode subtrair 2 vetores usando suas representa\u00e7\u00f5es. Para isso, costuma-se utilizar a regra ou lei do tri\u00e2ngulo, mas existem v\u00e1rios m\u00e9todos. Voc\u00ea pode ver todos eles com exemplos e exerc\u00edcios resolvidos sobre <a href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\/subtrair-vetores-numericamente-exemplos-graficos-exercicio-resolvido-subtrair\/\">como subtrair dois vetores graficamente<\/a> .<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"modulo-de-un-vector\"><\/span> m\u00f3dulo de um vetor<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Como vimos no in\u00edcio desta p\u00e1gina, a norma de um vetor corresponde ao comprimento desse vetor. Bem, o comprimento (ou magnitude) de um vetor pode ser determinado a partir de seus componentes.<\/p>\n<p> Considere qualquer vetor:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d4b2f8c9cdb09377a66fbce8392c30ec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}} = (\\text{u}_x,\\text{u}_y)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"91\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Para encontrar a magnitude de um vetor no plano, devemos aplicar a seguinte f\u00f3rmula:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-95466c107aed66569925d4b89a3a939b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \\newtcbox{\\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.4pt, boxsep=2mm,     #1} \\begin{empheq}[box={\\mymath[colback=white,shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \\displaystyle \\lvert \\vv{\\text{u}} \\rvert = \\sqrt{ \\text{u}_x^2+\\text{u}_y^2} \\end{empheq}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"329\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Por exemplo, calcularemos a magnitude do seguinte vetor usando a f\u00f3rmula:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6273ca0b37b024bc5684ec07237607bd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}} = (3,-4)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"86\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d78c0f573a5d2db399d099ebc4a3cb85_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lvert \\vv{\\text{u}} \\rvert =\\sqrt{3^2+(-4)^2} = \\sqrt{9+16}=\\sqrt{25} = \\bm{5}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"316\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Embora pare\u00e7a muito simples, determinar a magnitude de um vetor pode ser complicado. Se quiser ver mais exemplos e praticar com <a href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\/modulo-de-uma-formula-vetorial-exemplos-de-exercicios-resolvidos\/\">exerc\u00edcios resolvidos do m\u00f3dulo de um vetor<\/a> , recomendamos que visite esta p\u00e1gina vinculada. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"multiplicacion-de-un-vector-por-un-escalar\"><\/span> Multiplica\u00e7\u00e3o de um vetor por um escalar<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Para calcular numericamente o produto de um vetor por um n\u00famero (ou escalar), cada componente do vetor deve ser multiplicado por esse n\u00famero.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dc2018686141332d7620fe51d93dae8b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \\newtcbox{\\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.4pt, boxsep=2mm,     #1} \\begin{empheq}[box={\\mymath[colback=white,shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \\begin{array}{c}\\vv{\\text{u}} = (\\text{u}_x,\\text{u}_y)\\\\[4ex]k\\cdot \\vv{\\text{u}} =(k\\cdot \\text{u}_x \\ , \\ k\\cdot \\text{u}_y) \\end{array} \\end{empheq}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"313\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> No exemplo gen\u00e9rico a seguir voc\u00ea pode ver como a dire\u00e7\u00e3o do vetor \u00e9 mantida independentemente do sinal do escalar. Por outro lado, a dire\u00e7\u00e3o do vetor depende do sinal do n\u00famero que ele multiplica. <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/multiplication-ou-produit-dun-nombre-ou-dun-scalaire-par-un-vecteur.webp\" alt=\"multiplica\u00e7\u00e3o ou produto de um n\u00famero ou escalar por um vetor\" class=\"wp-image-283\" width=\"298\" height=\"201\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<p> Abaixo voc\u00ea pode ver um exemplo num\u00e9rico de como encontrar o produto de um vetor e um n\u00famero: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6c2dd0a37f737f7c82d6da8b971ca0f0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}} =(3,-2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"86\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-87282d0a06c534058bd4b64120bdf391_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"4\\cdot \\vv{\\text{u}} =(4 \\cdot 3 \\ , \\ 4 \\cdot (-2)) = \\bm{(12,-8)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"262\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"producto-escalar\"><\/span> Produto escalar<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Na geometria anal\u00edtica, o produto escalar \u00e9 uma opera\u00e7\u00e3o vetorial que multiplica dois vetores e os transforma em um n\u00famero real.<\/p>\n<p> Assim, a f\u00f3rmula para o produto escalar de dois vetores \u00e9 a seguinte:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1f09930024fc5c410889bea53d06982e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \\newtcbox{\\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.4pt, boxsep=2mm,     #1} \\begin{empheq}[box={\\mymath[colback=white,shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \\displaystyle  \\vv{\\text{u}} \\cdot \\vv{\\text{v}} = \\text{u}_x\\cdot \\text{v}_x + \\text{u}_y\\cdot \\text{v}_y \\end{empheq}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"329\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Abaixo voc\u00ea tem um exemplo onde o resultado do produto escalar entre dois vetores \u00e9 calculado:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7437bf59c08f823d3a9ca8b5f32a3f13_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}} = (4,2) \\qquad \\vv{\\text{v}} = (-1,3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"194\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d2a8137101f391be2b197764b8b21223_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle  \\begin{aligned} \\vv{\\text{u}} \\cdot \\vv{\\text{v}}&amp;=(4,2)\\cdot (-1,3) \\\\[1.5ex]&amp;=4\\cdot (-1) + 2 \\cdot 3 \\\\[1.5ex] &amp; = -4+6  \\\\[1.5ex] &amp; =\\bm{10} \\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"129\" width=\"166\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Neste link voc\u00ea pode ver mais <a href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\/calcular-o-produto-escalar-entre-dois-vetores-exemplos-exercicios-resolvidos\/\">exemplos do produto escalar<\/a> . Al\u00e9m disso, voc\u00ea encontrar\u00e1 outra forma de encontrar o produto escalar entre dois vetores, as propriedades desse tipo de opera\u00e7\u00e3o com vetores e exerc\u00edcios resolvidos passo a passo.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"producto-vectorial\"><\/span> produto vetorial<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Embora sejam muito semelhantes em nome, o produto escalar e o produto vetorial s\u00e3o completamente diferentes.<\/p>\n<p> <strong>Produto vetorial<\/strong> , tamb\u00e9m chamado de produto vetorial, \u00e9 uma opera\u00e7\u00e3o entre dois vetores no espa\u00e7o (em R3), ou seja, s\u00e3o vetores de tr\u00eas coordenadas.<\/p>\n<p> Ent\u00e3o, se tivermos dois vetores tridimensionais:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-581394386a4c68ca2bfa92fb4e2445ac_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}}= (\\text{u}_x,\\text{u}_y,\\text{u}_z) \\qquad \\vv{\\text{v}}= (\\text{v}_x,\\text{v}_y,\\text{v}_z)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"267\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> O produto vetorial dos dois vetores \u00e9 igual ao resultado do seguinte determinante 3\u00d73:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6c85dc2dfb37842b31dea465c8887bc1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \\newtcbox{\\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.4pt, boxsep=2mm,     #1} \\begin{empheq}[box={\\mymath[colback=white,shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \\displaystyle   \\vv{\\text{u}} \\times \\vv{\\text{v}}=\\begin{vmatrix} \\vv{i}&amp; \\vv{j}&amp; \\vv{k} \\\\[1.1ex] \\text{u}_x &amp; \\text{u}_y &amp; \\text{u}_z \\\\[1.1ex] \\text{v}_x &amp;\\text{v}_y&amp;\\text{v}_z \\end{vmatrix}  \\end{empheq}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"313\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> onde os vetores<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-899f7cb82c85508ac2129e2393976f80_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{i}, \\vv{j},\\vv{k}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> s\u00e3o os vetores unit\u00e1rios nas dire\u00e7\u00f5es dos eixos X, Y, Z, respectivamente.<\/p>\n<p> Al\u00e9m disso, a dire\u00e7\u00e3o do vetor resultante \u00e9 perpendicular aos dois vetores multiplicados.<\/p>\n<p> Como voc\u00ea pode imaginar, resolver esse tipo de opera\u00e7\u00e3o \u00e9 mais dif\u00edcil que as anteriores e, por isso, temos uma p\u00e1gina inteira com uma explica\u00e7\u00e3o detalhada de como \u00e9 calculado o produto vetorial entre dois vetores. Portanto, caso tenha interesse, recomendamos que voc\u00ea o visite e pratique com os <a href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\/produto-vetorial-de-dois-vetores-exemplos-de-formulas-cruzadas-exercicios-resolvidos\/\">exerc\u00edcios de produto vetorial resolvidos<\/a> .<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"producto-mixto\"><\/span> produto misto<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> O <strong>produto misto<\/strong> de tr\u00eas vetores, tamb\u00e9m chamado de produto escalar triplo, \u00e9 uma multiplica\u00e7\u00e3o sucessiva entre tr\u00eas vetores envolvendo dois tipos diferentes de opera\u00e7\u00f5es: o produto escalar e o produto vetorial. Portanto, a combina\u00e7\u00e3o das duas opera\u00e7\u00f5es vetoriais d\u00e1 um escalar (um n\u00famero real).<\/p>\n<p> Concretamente, o produto misto consiste em calcular o produto vetorial de dois vetores e, posteriormente, multiplicar vetorialmente o resultado obtido por um terceiro vetor. Veja a f\u00f3rmula:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-20bc6ca73caab65fbe6dafc458258ae7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \\newtcbox{\\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.3pt, boxsep=2mm,     #1} \\begin{empheq}[box={\\mymath[colback=white,shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \\displaystyle   \\bigl[\\vv{\\text{u}},\\vv{\\text{v}},\\vv{\\text{w}}\\bigr] = \\vv{\\text{u}} \\cdot ( \\vv{\\text{v}}\\times \\vv{\\text{w}}) \\end{empheq}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"329\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Tal como acontece com o produto vetorial, resolver o produto misto entre vetores n\u00e3o \u00e9 f\u00e1cil. Por isso recomendamos que voc\u00ea d\u00ea uma olhada nesta explica\u00e7\u00e3o do <a href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\/exemplos-de-produtos-mistos-de-tres-vetores-ou-produtos-escalares-triplos\/\">produto misto de tr\u00eas vetores<\/a> , onde encontrar\u00e1 exemplos, exerc\u00edcios resolvidos e o significado geom\u00e9trico desta opera\u00e7\u00e3o vetorial.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"tipos-de-vectores\"><\/span> tipos de vetores<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Existem muitos tipos diferentes de vetores, mas as defini\u00e7\u00f5es mais importantes a saber s\u00e3o:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Vetor unit\u00e1rio<\/strong> : vetor cujo m\u00f3dulo \u00e9 igual a 1.<\/li>\n<li> <strong>Vetor fixo<\/strong> : Um vetor \u00e9 fixo quando a origem do vetor \u00e9 aplicada a um ponto fixo.<\/li>\n<li> <strong>Vetor livre<\/strong> : Um vetor \u00e9 livre quando seu ponto de aplica\u00e7\u00e3o n\u00e3o est\u00e1 definido, mas \u00e9 um ponto livre.<\/li>\n<li> <strong>Vetores colineares<\/strong> : dois ou mais vetores s\u00e3o colineares se compartilham a mesma linha de a\u00e7\u00e3o (linha onde o vetor est\u00e1 localizado).<\/li>\n<li> <strong>Vetores equivalentes<\/strong> : dois vetores s\u00e3o equipol\u00eanicos se tiverem o mesmo tamanho, mesmo sentido e mesma dire\u00e7\u00e3o (embora possam ter diferentes pontos de aplica\u00e7\u00e3o).<\/li>\n<li> <strong>Vetores vinculados<\/strong> : Vetores vinculados s\u00e3o vetores equip\u00f3len que tamb\u00e9m atuam na mesma linha.<\/li>\n<li> <strong>Vetores opostos<\/strong> : dois vetores s\u00e3o opostos se tiverem a mesma magnitude e a mesma dire\u00e7\u00e3o, mas uma dire\u00e7\u00e3o diferente.<\/li>\n<li> <strong>Vetor posi\u00e7\u00e3o<\/strong> : o vetor posi\u00e7\u00e3o \u00e9 o vetor cuja origem \u00e9 o ponto (0,0) (origem das coordenadas).<\/li>\n<li> <strong>Vetores concorrentes<\/strong> : dois ou mais vetores s\u00e3o concorrentes quando suas linhas de a\u00e7\u00e3o passam pelo mesmo ponto, ou seja, se cruzam.<\/li>\n<li> <strong>Vetores paralelos<\/strong> : dois ou mais vetores s\u00e3o paralelos se tiverem a mesma dire\u00e7\u00e3o, independentemente de suas dire\u00e7\u00f5es.<\/li>\n<li> <strong>Vetores perpendiculares<\/strong> : Dois vetores s\u00e3o perpendiculares (ou ortogonais) quando suas dire\u00e7\u00f5es formam um \u00e2ngulo de 90\u00ba.<\/li>\n<li> <strong>Vetores ortonormais<\/strong> : Dois ou mais vetores s\u00e3o ortonormais se forem perpendiculares entre si e, al\u00e9m disso, forem unit\u00e1rios (sua magnitude \u00e9 igual \u00e0 unidade).<\/li>\n<li> <strong>Vetores coplanares<\/strong> : dois ou mais vetores s\u00e3o coplanares quando contidos no mesmo plano. <\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"angulo-entre-dos-vectores\"><\/span> \u00c2ngulo entre dois vetores<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Para encontrar o \u00e2ngulo entre dois vetores dados, devemos aplicar a seguinte f\u00f3rmula:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-67007d32353dedf96eb6b965b16c5489_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  \\newtcbox{\\mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1.4pt, boxsep=2mm,     #1} \\begin{empheq}[box={\\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*}      \\cos(\\alpha) =\\cfrac{\\vv{\\text{u}} \\cdot \\vv{\\text{v}}}{\\lvert \\vv{\\text{u}} \\rvert \\cdot \\lvert \\vv{\\text{v}} \\rvert} \\end{empheq}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"329\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Ouro<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4501274336c637b37c6332eae5c6c229_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lvert \\vv{\\text{u}} \\rvert\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"16\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> E<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9a59cd4f2581db3318d38a2a77340a64_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lvert \\vv{\\text{v}} \\rvert\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"15\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> s\u00e3o os m\u00f3dulos dos vetores<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cac24ae79c1e4cbc459f01ed5e4f824e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> E<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-391ac2e3ba0b7f327ba5a0edc1ba162d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{v}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> respectivamente.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Nesta p\u00e1gina voc\u00ea encontrar\u00e1 tudo sobre vetores: o que s\u00e3o, suas caracter\u00edsticas, como s\u00e3o calculados, como fazer opera\u00e7\u00f5es com vetores, os diferentes tipos que existem,\u2026 O que \u00e9 um vetor? 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