{"id":264,"date":"2023-07-10T04:25:24","date_gmt":"2023-07-10T04:25:24","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/pt\/equacoes-planas-no-espaco\/"},"modified":"2023-07-10T04:25:24","modified_gmt":"2023-07-10T04:25:24","slug":"equacoes-planas-no-espaco","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/pt\/equacoes-planas-no-espaco\/","title":{"rendered":"Equa\u00e7\u00f5es planas no espa\u00e7o"},"content":{"rendered":"

Nesta p\u00e1gina voc\u00ea encontrar\u00e1 as f\u00f3rmulas para todas as equa\u00e7\u00f5es do plano e como elas s\u00e3o calculadas. Voc\u00ea tamb\u00e9m descobrir\u00e1 como encontrar a equa\u00e7\u00e3o de qualquer plano com seu vetor normal. Al\u00e9m disso, voc\u00ea poder\u00e1 ver exemplos e praticar com exerc\u00edcios resolvidos das equa\u00e7\u00f5es do plano. <\/p>\n

<\/span> Qual \u00e9 a equa\u00e7\u00e3o do plano?<\/span><\/h2>\n

Na geometria anal\u00edtica, a equa\u00e7\u00e3o de um plano<\/strong> \u00e9 uma equa\u00e7\u00e3o que permite que qualquer plano seja expresso matematicamente. Ent\u00e3o, para encontrar a equa\u00e7\u00e3o de um plano, voc\u00ea s\u00f3 precisa de um ponto e dois vetores linearmente independentes pertencentes a esse plano.<\/p>\n

Antes de continuar com a explica\u00e7\u00e3o das equa\u00e7\u00f5es planas, \u00e9 fundamental que voc\u00ea entenda o que \u00e9 plano (geometria)<\/a> , pois caso contr\u00e1rio haver\u00e1 coisas que voc\u00ea n\u00e3o entender\u00e1. Caso n\u00e3o tenha ficado totalmente claro, voc\u00ea pode conferir neste link, onde concentramos tudo o que voc\u00ea precisa saber sobre o plano. <\/p>\n

<\/span> Quais s\u00e3o as equa\u00e7\u00f5es do plano?<\/span><\/h2>\n

Como vimos na defini\u00e7\u00e3o da equa\u00e7\u00e3o de um plano, qualquer ponto de um plano pode ser expresso como uma combina\u00e7\u00e3o linear de 1 ponto e 2 vetores. <\/p>\n

\n
\"equa\u00e7\u00e3o<\/figure>\n<\/div>\n

Por\u00e9m, uma condi\u00e7\u00e3o necess\u00e1ria para que a equa\u00e7\u00e3o corresponda a um plano \u00e9 que os dois vetores do plano tenham independ\u00eancia linear, ou seja, os dois vetores n\u00e3o podem ser paralelos entre si.<\/p>\n

Assim, todos os tipos de equa\u00e7\u00f5es do plano s\u00e3o: a equa\u00e7\u00e3o vetorial<\/strong> , as equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas<\/strong> , a equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita (ou geral)<\/strong> e a equa\u00e7\u00e3o can\u00f4nica (ou segmental)<\/strong> do plano.<\/p>\n

A seguir veremos detalhadamente a explica\u00e7\u00e3o e f\u00f3rmula de todas as equa\u00e7\u00f5es do plano. <\/p>\n

<\/span> Equa\u00e7\u00e3o vetorial do plano<\/span><\/h3>\n

Considere um ponto e dois vetores de dire\u00e7\u00e3o de um plano:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{array}{c}<\/p>\n<\/p>\n

A f\u00f3rmula para a equa\u00e7\u00e3o vetorial de um plano<\/strong> \u00e9:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}<\/p>\n<\/p>\n

Ou equivalente:<\/p>\n<\/p>\n

\"(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+\\lambda<\/p>\n<\/p>\n

Ouro<\/p>\n<\/p>\n

\"\\lambda\"<\/p>\n

E<\/p>\n

\"\\mu\"<\/p>\n

s\u00e3o dois escalares, ou seja, dois n\u00fameros reais. <\/p>\n

<\/span> Equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas do plano<\/span><\/h3>\n

A equa\u00e7\u00e3o param\u00e9trica de um plano pode ser determinada a partir de sua equa\u00e7\u00e3o vetorial. Abaixo voc\u00ea pode ver a demonstra\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

Seja a equa\u00e7\u00e3o vetorial de qualquer plano:<\/p>\n<\/p>\n

\"(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+\\lambda<\/p>\n<\/p>\n

Operamos e primeiro realizamos os produtos dos vetores pelos escalares:<\/p>\n<\/p>\n

\"(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+<\/p>\n<\/p>\n

A seguir, adicionamos os componentes:<\/p>\n<\/p>\n

\"(x,y,z)=(P_x+\\lambda<\/p>\n<\/p>\n

E, por fim, obtemos as equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas do plano assimilando as coordenadas correspondentes a cada vari\u00e1vel separadamente:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}<\/p>\n<\/p>\n

Ouro:<\/p>\n