{"id":250,"date":"2023-07-10T11:04:37","date_gmt":"2023-07-10T11:04:37","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/pt\/planos-paralelos\/"},"modified":"2023-07-10T11:04:37","modified_gmt":"2023-07-10T11:04:37","slug":"planos-paralelos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/pt\/planos-paralelos\/","title":{"rendered":"Planos paralelos"},"content":{"rendered":"

Nesta p\u00e1gina voc\u00ea encontrar\u00e1 tudo sobre planos paralelos: quando dois planos s\u00e3o paralelos, as equa\u00e7\u00f5es de dois planos paralelos, exemplos, exerc\u00edcios resolvidos, propriedades,\u2026 <\/p>\n

<\/span> O que s\u00e3o dois planos paralelos?<\/span><\/h2>\n

Na geometria anal\u00edtica, dois planos s\u00e3o paralelos quando est\u00e3o sempre \u00e0 mesma dist\u00e2ncia. Portanto, dois planos paralelos nunca se cruzam e n\u00e3o t\u00eam nada em comum.<\/strong> <\/p>\n

\n
\"conceito<\/figure>\n<\/div>\n

Dois planos posicionados paralelamente n\u00e3o s\u00e3o a \u00fanica posi\u00e7\u00e3o relativa poss\u00edvel entre planos, uma vez que dois planos no espa\u00e7o (em R3) tamb\u00e9m podem se cruzar ou coincidir. <\/p>\n

<\/span> Como voc\u00ea sabe se dois planos s\u00e3o paralelos?<\/span><\/h2>\n

Depois de ver a defini\u00e7\u00e3o de planos paralelos, vamos ver como determinar se dois planos s\u00e3o paralelos ou n\u00e3o.<\/p>\n

Partindo da equa\u00e7\u00e3o geral (ou impl\u00edcita) de dois planos diferentes:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\pi_1<\/p>\n<\/p>\n

\"\\pi_2<\/p>\n<\/p>\n

Os 2 planos ser\u00e3o paralelos se os seus coeficientes A, B e C forem proporcionais entre si e n\u00e3o ao coeficiente D. Em outras palavras, o paralelismo entre dois planos ocorre quando a seguinte equa\u00e7\u00e3o \u00e9 satisfeita: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Exemplo de dois planos paralelos<\/span><\/h2>\n

Por exemplo, os dois planos a seguir s\u00e3o paralelos:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\pi_1<\/p>\n<\/p>\n

\"\\pi_2<\/p>\n<\/p>\n

Os planos s\u00e3o paralelos porque os coeficientes das vari\u00e1veis X, Y, Z s\u00e3o proporcionais entre si, mas n\u00e3o aos termos independentes: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\cfrac{6}{3}<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Calcule a dist\u00e2ncia entre dois planos paralelos<\/span><\/h2>\n

Dois planos paralelos est\u00e3o sempre \u00e0 mesma dist\u00e2ncia, portanto, para determinar a dist\u00e2ncia entre dois planos paralelos, podemos pegar num ponto num dos dois planos e calcular a dist\u00e2ncia desse ponto ao outro plano.<\/strong> Portanto, para calcular a dist\u00e2ncia entre 2 planos paralelos, \u00e9 necess\u00e1rio conhecer a f\u00f3rmula da dist\u00e2ncia de um ponto a um plano<\/a> . <\/p>\n

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\"dist\u00e2ncia<\/figure>\n<\/div>\n

\u00c9 um m\u00e9todo para encontrar a dist\u00e2ncia entre dois planos paralelos. Por\u00e9m, existe uma maneira ainda mais simples de fazer isso quando os coeficientes A, B e C das equa\u00e7\u00f5es dos dois planos coincidem:<\/p>\n

Considere as equa\u00e7\u00f5es gerais (ou impl\u00edcitas) de dois planos paralelos:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\pi_1<\/p>\n<\/p>\n

A f\u00f3rmula para calcular a dist\u00e2ncia entre dois planos paralelos<\/strong> \u00e9:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\color{orange}<\/p>\n<\/p>\n

Ent\u00e3o com certeza \u00e9 mais f\u00e1cil encontrar a dist\u00e2ncia entre dois planos paralelos usando a f\u00f3rmula, pois \u00e9 s\u00f3 aplicar a f\u00f3rmula e pronto, mas depende do problema. Al\u00e9m disso, achamos melhor explicar as duas formas de calcular a dist\u00e2ncia para que voc\u00ea possa escolher a que preferir.<\/p>\n

Exemplo de c\u00e1lculo da dist\u00e2ncia entre dois planos paralelos<\/h3>\n

Como exemplo, calcularemos a dist\u00e2ncia entre os dois planos a seguir:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\pi_1<\/p>\n<\/p>\n

Devemos primeiro verificar se estamos lidando com dois planos paralelos. Assim, todos os coeficientes das equa\u00e7\u00f5es planas s\u00e3o proporcionais, exceto os termos independentes, portanto s\u00e3o efetivamente dois planos paralelos.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\cfrac{4}{8}=\\cfrac{-2}{-4}=\\cfrac{-4}{-8}\\neq<\/p>\n<\/p>\n

Neste caso, os termos A, B e C das equa\u00e7\u00f5es dos dois planos n\u00e3o coincidem, mas podemos conseguir isso dividindo toda a equa\u00e7\u00e3o do segundo plano por dois:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\pi_2<\/p>\n<\/p>\n

\"\\pi_2<\/p>\n<\/p>\n

Assim, as equa\u00e7\u00f5es dos dois planos passam a ter os mesmos coeficientes A, B e C. Portanto, podemos calcular facilmente a dist\u00e2ncia entre os dois planos com a f\u00f3rmula da dist\u00e2ncia entre dois planos paralelos:<\/p>\n<\/p>\n

\"d(P,\\pi)<\/p>\n<\/p>\n

Substitu\u00edmos os valores e resolvemos as opera\u00e7\u00f5es:<\/p>\n<\/p>\n

\"d(P,\\pi)<\/p>\n<\/p>\n

Para que a dist\u00e2ncia entre um plano e outro plano seja igual \u00e0 unidade. <\/p>\n

<\/span> Propriedades de planos paralelos<\/span><\/h2>\n

As caracter\u00edsticas dos planos paralelos s\u00e3o as seguintes:<\/p>\n