{"id":247,"date":"2023-07-10T12:56:19","date_gmt":"2023-07-10T12:56:19","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/pt\/posicao-relativa-de-duas-linhas-no-espaco-r3-exemplos-de-exercicios-resolvidos\/"},"modified":"2023-07-10T12:56:19","modified_gmt":"2023-07-10T12:56:19","slug":"posicao-relativa-de-duas-linhas-no-espaco-r3-exemplos-de-exercicios-resolvidos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/pt\/posicao-relativa-de-duas-linhas-no-espaco-r3-exemplos-de-exercicios-resolvidos\/","title":{"rendered":"Posi\u00e7\u00e3o relativa de duas linhas no espa\u00e7o"},"content":{"rendered":"
Aqui voc\u00ea encontrar\u00e1 todas as posi\u00e7\u00f5es relativas de duas linhas no espa\u00e7o (em R3). Al\u00e9m disso, explica como encontrar a posi\u00e7\u00e3o relativa entre duas retas utilizando os 2 m\u00e9todos poss\u00edveis: por intervalos ou a partir de um ponto e um vetor de cada reta. Voc\u00ea ainda poder\u00e1 ver exemplos e exerc\u00edcios resolvidos passo a passo. <\/p>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
<\/span> Quais s\u00e3o as posi\u00e7\u00f5es relativas de duas linhas no espa\u00e7o? <\/span><\/h2>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
Na geometria anal\u00edtica, ao trabalhar num espa\u00e7o tridimensional (em R3) existem 4 posi\u00e7\u00f5es relativas poss\u00edveis entre duas retas: duas retas podem ser retas mescladas<\/strong> , retas paralelas<\/strong> , retas secantes<\/strong> ou retas secantes<\/strong> . <\/p>\n
\n
\n
Linhas paralelas<\/strong> <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Duas linhas s\u00e3o paralelas se t\u00eam a mesma dire\u00e7\u00e3o, mas n\u00e3o t\u00eam ponto comum. Al\u00e9m disso, as linhas paralelas est\u00e3o sempre \u00e0 mesma dist\u00e2ncia umas das outras. <\/p>\n<\/div>\n
\n
linhas coincidentes<\/strong> <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Duas retas coincidem se tiverem a mesma dire\u00e7\u00e3o e, al\u00e9m disso, se todos os seus pontos forem comuns. <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
\n
\n
linhas que se cruzam<\/strong> <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Duas linhas que se cruzam t\u00eam dire\u00e7\u00f5es diferentes, mas se tocam em um ponto. <\/p>\n<\/div>\n
\n
Linhas de interse\u00e7\u00e3o<\/strong> <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Duas linhas que se cruzam t\u00eam dire\u00e7\u00f5es diferentes e n\u00e3o se cruzam em nenhum ponto. Portanto, duas linhas cruzadas n\u00e3o est\u00e3o no mesmo plano. Por exemplo, na representa\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica acima da linha<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
est\u00e1 sempre \u00e0 frente da linha<\/p>\n
<\/p>\n
, ent\u00e3o eles nunca se tocar\u00e3o.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
Existem 2 maneiras de saber qual \u00e9 a posi\u00e7\u00e3o relativa entre duas retas, pois dependem de como as equa\u00e7\u00f5es das duas retas s\u00e3o expressas:<\/p>\n
\n
Se as retas estiverem na forma vetorial, param\u00e9trica ou de equa\u00e7\u00e3o cont\u00ednua, \u00e9 melhor calcular a posi\u00e7\u00e3o relativa a partir de um ponto e um vetor de cada reta<\/strong> (a explica\u00e7\u00e3o deste m\u00e9todo \u00e9 dada abaixo).<\/li>\n
Por outro lado, se as retas forem definidas na forma de equa\u00e7\u00f5es impl\u00edcitas (ou gerais), \u00e9 mais f\u00e1cil saber a posi\u00e7\u00e3o relativa entre as duas retas calculando o posto de duas matrizes<\/strong> (veja a explica\u00e7\u00e3o abaixo). <\/li>\n<\/ul>\n
<\/span> Determinando a posi\u00e7\u00e3o relativa de duas linhas de um ponto e um vetor <\/span><\/h2>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
Voc\u00ea pode descobrir qual posi\u00e7\u00e3o relativa existe entre duas retas com um ponto e um vetor de cada reta. Este m\u00e9todo \u00e9 apropriado para uso quando as retas s\u00e3o definidas na forma de uma equa\u00e7\u00e3o vetorial, equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas ou uma equa\u00e7\u00e3o cont\u00ednua.<\/p>\n
Assim, seja o vetor diretor e qualquer ponto em cada uma das duas retas:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Portanto, para encontrar a posi\u00e7\u00e3o relativa de duas retas, precisamos seguir o seguinte procedimento:<\/p>\n
\u2023<\/span><\/strong> A primeira coisa que precisamos fazer \u00e9 ver se os vetores das duas retas s\u00e3o proporcionais ou n\u00e3o e, dependendo do caso, fazemos o seguinte:<\/p>\n
\n
Se os dois vetores forem proporcionais, as retas podem ser paralelas ou coincidir. Devemos, portanto, verificar se o ponto de uma reta satisfaz a equa\u00e7\u00e3o da outra reta:<\/span>\n
\n
Se o ponto de uma reta satisfaz a equa\u00e7\u00e3o da outra reta, significa que as duas retas coincidem.<\/span><\/li>\n
Caso contr\u00e1rio, isso implica que as duas linhas s\u00e3o paralelas.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n
Se os dois vetores n\u00e3o forem proporcionais, as linhas podem estar se cruzando ou se cruzando. Neste caso devemos resolver o seguinte determinante 3\u00d73:<\/span>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
Se o determinante anterior for igual a zero, as duas retas se cruzam em um ponto (elas se cruzam).<\/span><\/li>\n
Se o determinante anterior for diferente de zero, as duas retas se cruzam.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n
O gr\u00e1fico a seguir resume todo o procedimento: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
<\/span> Exemplo de determina\u00e7\u00e3o da posi\u00e7\u00e3o relativa entre duas linhas<\/span><\/h3>\n
O procedimento anterior pode parecer um pouco complicado, mas para que voc\u00ea veja que \u00e9 o contr\u00e1rio, resolveremos um problema como exemplo:<\/p>\n
\n
Determine a posi\u00e7\u00e3o relativa entre as duas linhas a seguir:<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
As duas retas s\u00e3o expressas como uma equa\u00e7\u00e3o vetorial, com a qual o vetor de dire\u00e7\u00e3o de cada reta \u00e9:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
E um ponto pelo qual cada linha passa \u00e9:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Depois de conhecermos um ponto e o vetor de dire\u00e7\u00e3o de cada reta, aplicamos o m\u00e9todo visto acima. Primeiramente devemos verificar se as coordenadas dos vetores s\u00e3o proporcionais:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Como os dois vetores n\u00e3o s\u00e3o proporcionais entre si, as linhas s\u00f3 podem tocar-se ou cruzar-se. Portanto, precisamos agora resolver o seguinte determinante formado pelo vetor diretor e um ponto em cada reta:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Substitu\u00edmos os valores na f\u00f3rmula:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
E calculamos o determinante, para isso voc\u00ea pode usar qualquer m\u00e9todo (regra de Sarrus, m\u00e9todo dos complementos ou cofatores, etc.):<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Se o resultado da determina\u00e7\u00e3o tivesse sido zero, isso significaria que as linhas se cruzam (tocam). Mas o determinante \u00e9 diferente de 0, ent\u00e3o as retas se cruzam<\/strong> . <\/p>\n
<\/span> Encontre a posi\u00e7\u00e3o relativa de duas linhas por linhas<\/span><\/h2>\n
Outra forma de encontrar a posi\u00e7\u00e3o relativa de duas linhas \u00e9 calcular os postos de duas matrizes concretas, como veremos a seguir. Este m\u00e9todo \u00e9 muito \u00fatil quando as duas retas est\u00e3o na forma de equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita (ou geral).<\/p>\n
Portanto, se tivermos duas retas expressas com suas equa\u00e7\u00f5es impl\u00edcitas (ou gerais) em um espa\u00e7o tridimensional (em R3):<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Seja A a matriz composta pelos coeficientes das duas retas:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
E dada a matriz estendida A’, que \u00e9 a matriz formada por todos os par\u00e2metros das duas linhas:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Ent\u00e3o, a posi\u00e7\u00e3o relativa das duas linhas pode ser determinada pelo contradom\u00ednio das duas matrizes anteriores de acordo com a tabela a seguir: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Portanto, para encontrar a posi\u00e7\u00e3o relativa entre duas linhas teremos que calcular os postos das duas matrizes e dependendo do posto de cada matriz ser\u00e1 um caso ou outro.<\/strong><\/p>\n
Este teorema pode ser provado usando o teorema de Rouch\u00e9-Frobenius (m\u00e9todo usado para resolver sistemas de equa\u00e7\u00f5es lineares), por\u00e9m nesta p\u00e1gina n\u00e3o faremos a prova porque \u00e9 bastante complicado e n\u00e3o acrescenta muito. <\/p>\n
<\/span> Exemplo de como encontrar a posi\u00e7\u00e3o relativa de duas linhas por intervalos<\/span><\/h3>\n
Depois de vermos a teoria das posi\u00e7\u00f5es relativas entre duas linhas por linhas, vamos ver como ela \u00e9 colocada em pr\u00e1tica atrav\u00e9s de um exemplo:<\/p>\n
\n
Encontre a posi\u00e7\u00e3o relativa das duas linhas a seguir:<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
As duas retas est\u00e3o na forma de equa\u00e7\u00f5es gerais (ou impl\u00edcitas), portanto usaremos o m\u00e9todo dos postos para encontrar a posi\u00e7\u00e3o relativa entre as duas retas. Portanto, constru\u00edmos a matriz A e a matriz estendida A’ com os coeficientes das retas:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Assim que tivermos as duas matrizes, precisamos calcular a classifica\u00e7\u00e3o de cada uma. Primeiro calculamos a classifica\u00e7\u00e3o da matriz A por determinantes: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
A matriz A cont\u00e9m o determinante de uma submatriz 3\u00d73 diferente de zero, ent\u00e3o a matriz A tem classifica\u00e7\u00e3o 3<\/strong> .<\/p>\n
E agora calculamos o escopo da matriz estendida A’. A matriz A’ estar\u00e1 sempre pelo menos no posto da matriz A, que neste caso vale 3, portanto basta verificar se \u00e9 de posto 4 ou de posto 3. Para isso, resolvemos o determinante da matriz 4\u00d7 4 por adi\u00e7\u00f5es (ou cofatores): <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
O determinante de toda a matriz estendida \u00e9 zero, ent\u00e3o a matriz A’ tamb\u00e9m \u00e9 de posto 3<\/strong> .<\/p>\n
Portanto, a matriz A e a matriz A’ s\u00e3o de classifica\u00e7\u00e3o 3 e, conseq\u00fcentemente, as duas retas se cruzam<\/strong> . Ou seja, existe apenas um ponto de intersec\u00e7\u00e3o entre eles.<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Lembre-se que voc\u00ea tem acima uma tabela que resume todos os casos poss\u00edveis de posi\u00e7\u00f5es relativas entre duas linhas de acordo com os contradom\u00ednios das matrizes A e A’. <\/p>\n
<\/span> Problemas resolvidos de posi\u00e7\u00e3o relativa entre duas linhas no espa\u00e7o<\/span><\/h2>\n
Exerc\u00edcio 1<\/h3>\n
Encontre a posi\u00e7\u00e3o relativa entre as duas linhas a seguir: <\/p>\n<\/p>\n
Como ambas as retas s\u00e3o expressas como uma equa\u00e7\u00e3o vetorial, encontraremos a posi\u00e7\u00e3o relativa entre as duas retas a partir do m\u00e9todo de um ponto e de um vetor de cada reta.<\/p>\n
O vetor de dire\u00e7\u00e3o de cada linha \u00e9:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
E um ponto que pertence a cada linha \u00e9:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Assim, para aplicar o procedimento, primeiro \u00e9 necess\u00e1rio verificar se as componentes dos vetores de dire\u00e7\u00e3o s\u00e3o proporcionais:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Como os dois vetores n\u00e3o s\u00e3o proporcionais entre si, as linhas s\u00f3 podem se cruzar ou se cruzar. Portanto, precisamos agora resolver o seguinte determinante que consiste no vetor diretor e um ponto em cada reta:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Substitu\u00edmos os valores na f\u00f3rmula:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
E calculamos o determinante:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
O resultado do determinante \u00e9 equivalente a 0, ent\u00e3o as linhas se cruzam<\/strong> .<\/p>\n
<\/div>\n
Exerc\u00edcio 2<\/h3>\n
Calcule a posi\u00e7\u00e3o relativa das duas linhas a seguir: <\/p>\n<\/p>\n
A primeira linha est\u00e1 na forma de equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas e a segunda linha est\u00e1 na forma de uma equa\u00e7\u00e3o cont\u00ednua, com a qual determinaremos a posi\u00e7\u00e3o relativa entre as duas linhas a partir do m\u00e9todo do vetor de um ponto de cada linha.<\/p>\n
As coordenadas do vetor de dire\u00e7\u00e3o da direita<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
s\u00e3o os coeficientes na frente do par\u00e2metro<\/p>\n
<\/p>\n
e as coordenadas do vetor de dire\u00e7\u00e3o da linha<\/p>\n
<\/p>\n
s\u00e3o os n\u00fameros dos denominadores:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
E um ponto que pertence a cada linha \u00e9:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Assim, para aplicar o procedimento, primeiro \u00e9 necess\u00e1rio verificar se as componentes dos vetores de dire\u00e7\u00e3o s\u00e3o proporcionais:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Os dois vetores s\u00e3o proporcionais entre si, portanto as retas s\u00f3 podem ser paralelas ou coincidentes. Para tirar essa d\u00favida, \u00e9 necess\u00e1rio substituir o ponto na reta<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
na equa\u00e7\u00e3o da reta<\/p>\n
<\/p>\n
(ou vice-versa) para ver se satisfaz a referida equa\u00e7\u00e3o: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Substituindo o ponto na reta obtemos uma igualdade, de modo que o ponto de uma reta satisfaz a equa\u00e7\u00e3o da outra reta e, al\u00e9m disso, seus vetores diretores s\u00e3o proporcionais. Portanto, as duas linhas coincidem.<\/strong><\/p>\n
<\/div>\n
Exerc\u00edcio 3<\/h3>\n
Encontre a posi\u00e7\u00e3o relativa das duas linhas a seguir: <\/p>\n<\/p>\n
As duas linhas est\u00e3o na forma de equa\u00e7\u00e3o geral (ou impl\u00edcita), portanto usaremos o m\u00e9todo de classifica\u00e7\u00e3o para encontrar a posi\u00e7\u00e3o relativa entre as duas linhas. Portanto, fazemos a matriz A e a matriz expandida A’ com os coeficientes das retas:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Assim que tivermos as duas matrizes, precisamos calcular a classifica\u00e7\u00e3o de cada uma. Primeiro calculamos a classifica\u00e7\u00e3o da matriz A por determinantes: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Todos os determinantes 3×3 da matriz A s\u00e3o zero, mas h\u00e1 um determinante 2×2 diferente de zero dentro da matriz, ent\u00e3o a matriz A tem classifica\u00e7\u00e3o 2<\/strong> .<\/p>\n
E agora calculamos o escopo da matriz estendida A’. A matriz A’ sempre ser\u00e1 pelo menos o contradom\u00ednio da matriz A, que neste caso \u00e9 2, ent\u00e3o \u00e9 necess\u00e1rio verificar se ela possui um determinante 3\u00d73 que n\u00e3o se anula e tamb\u00e9m quanto \u00e9 o determinante do matriz inteira: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
A matriz estendida A’ de fato cont\u00e9m 3\u00d73 subdeterminantes diferentes de zero e, al\u00e9m disso, o determinante de toda a matriz estendida \u00e9 igual a 0, ent\u00e3o a matriz A’ tem classifica\u00e7\u00e3o 3<\/strong> .<\/p>\n
Portanto, a matriz A \u00e9 de posto 2 e a matriz A’ \u00e9 de posto 3, ent\u00e3o as duas retas s\u00e3o paralelas<\/strong> . Ou seja, eles n\u00e3o t\u00eam nada em comum.<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Lembre-se que na explica\u00e7\u00e3o do m\u00e9todo (acima) voc\u00ea tem uma tabela que resume todos os casos poss\u00edveis de posi\u00e7\u00f5es relativas entre duas linhas de acordo com os postos das matrizes A e A’.<\/p>\n
<\/div>\n
Exerc\u00edcio 4<\/h3>\n
Encontre a posi\u00e7\u00e3o relativa das duas linhas a seguir: <\/p>\n<\/p>\n
Neste caso, as duas retas est\u00e3o na forma de equa\u00e7\u00e3o cartesiana (ou impl\u00edcita), ent\u00e3o usaremos o m\u00e9todo de ordena\u00e7\u00e3o para encontrar a posi\u00e7\u00e3o relativa entre as duas retas. Portanto, constru\u00edmos a matriz A e a matriz estendida A’ com os coeficientes das retas:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Depois de conhecermos as duas matrizes, precisamos calcular a classifica\u00e7\u00e3o de cada uma. Calcularemos primeiro a classifica\u00e7\u00e3o da matriz A por determinantes: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
A matriz A cont\u00e9m uma submatriz 3\u00d73 cujo determinante \u00e9 diferente de zero, ent\u00e3o a matriz A tem classifica\u00e7\u00e3o 3<\/strong> .<\/p>\n
E agora calculamos o escopo da matriz estendida A’. A matriz A’ ser\u00e1 sempre pelo menos de posto da matriz A, que neste caso vale 3, ent\u00e3o basta verificar se \u00e9 de posto 4 ou de posto 3. Para isso, resolvemos o determinante de o conjunto da matriz 4\u00d74 por adi\u00e7\u00f5es (ou cofatores): <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
O determinante de toda a matriz estendida \u00e9 diferente de zero, ent\u00e3o a matriz A’ tem classifica\u00e7\u00e3o 4<\/strong> .<\/p>\n
Para que a matriz A seja de posto 3 e que pelo contr\u00e1rio a matriz A’ seja de posto 4, portanto as duas retas se cruzam<\/strong> em um ponto.<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Lembre-se que na explica\u00e7\u00e3o do procedimento (acima) voc\u00ea tem uma tabela onde est\u00e3o todos os casos poss\u00edveis de posi\u00e7\u00f5es relativas entre duas linhas de acordo com os postos das matrizes A e A’.<\/p>\n
Aqui voc\u00ea encontrar\u00e1 todas as posi\u00e7\u00f5es relativas de duas linhas no espa\u00e7o (em R3). Al\u00e9m disso, explica como encontrar a posi\u00e7\u00e3o relativa entre duas retas utilizando os 2 m\u00e9todos poss\u00edveis: por intervalos ou a partir de um ponto e um vetor de cada reta. Voc\u00ea ainda poder\u00e1 ver exemplos e exerc\u00edcios resolvidos passo a passo. …<\/p>\n
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