{"id":245,"date":"2023-07-10T13:40:44","date_gmt":"2023-07-10T13:40:44","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/pt\/ponto-simetrico-respeitando-outro-ponto-em-uma-linha-e-em-um-plano-de-formula\/"},"modified":"2023-07-10T13:40:44","modified_gmt":"2023-07-10T13:40:44","slug":"ponto-simetrico-respeitando-outro-ponto-em-uma-linha-e-em-um-plano-de-formula","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/pt\/ponto-simetrico-respeitando-outro-ponto-em-uma-linha-e-em-um-plano-de-formula\/","title":{"rendered":"Ponto sim\u00e9trico em rela\u00e7\u00e3o a outro ponto, uma reta e um plano"},"content":{"rendered":"

Aqui voc\u00ea descobrir\u00e1 como calcular o ponto de simetria em rela\u00e7\u00e3o a outro ponto, em rela\u00e7\u00e3o a uma reta e em rela\u00e7\u00e3o a um plano. Al\u00e9m disso, voc\u00ea poder\u00e1 ver exemplos e exerc\u00edcios resolvidos passo a passo. <\/p>\n

<\/span> Ponto sim\u00e9trico a outro ponto<\/span><\/h2>\n

Antes de vermos como o ponto sim\u00e9trico \u00e9 calculado, vamos revisar o que exatamente \u00e9 um ponto sim\u00e9trico em rela\u00e7\u00e3o a outro ponto:<\/p>\n

O ponto A’ \u00e9 o ponto sim\u00e9trico do ponto A em rela\u00e7\u00e3o a outro ponto M se o ponto A’ estiver localizado simetricamente \u00e0 mesma dist\u00e2ncia do ponto M que a dist\u00e2ncia entre os pontos A e M. Portanto, M \u00e9 o ponto m\u00e9dio do segmento formado por pontos A e A’.<\/strong> <\/p>\n

\n
\"ponto<\/figure>\n<\/div>\n

\"d(A,M)<\/p>\n<\/p>\n

Por outro lado, dizemos tamb\u00e9m que o ponto M \u00e9 o centro de simetria.<\/p>\n

Assim, para calcular as coordenadas do ponto de simetria, utilizaremos a f\u00f3rmula do ponto m\u00e9dio de um segmento<\/a> :<\/p>\n<\/p>\n

\"\\cfrac{A+A'}{2}=M\"<\/p>\n<\/p>\n

Desta equa\u00e7\u00e3o extra\u00edmos o ponto desconhecido A’ e obtemos a f\u00f3rmula para o ponto sim\u00e9trico em rela\u00e7\u00e3o a outro ponto:<\/strong> <\/p>\n<\/p>\n

\"\\color{orange}<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Exemplo de encontrar o ponto sim\u00e9trico em rela\u00e7\u00e3o a outro ponto<\/span><\/h3>\n

Como exemplo, calcularemos o ponto de simetria do ponto A em rela\u00e7\u00e3o ao ponto M. Considere os dois pontos:<\/p>\n<\/p>\n

\"A(1,3,0)<\/p>\n<\/p>\n

Para determinar o ponto de simetria entre esses dois pontos, aplicamos a f\u00f3rmula do ponto de simetria em rela\u00e7\u00e3o a outro:<\/p>\n<\/p>\n

\"A'<\/p>\n<\/p>\n

Agora substitu\u00edmos os pontos na f\u00f3rmula:<\/p>\n<\/p>\n

\"A'<\/p>\n<\/p>\n

E operamos: <\/p>\n<\/p>\n

\"A'<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{A'=(-3,5,4)}\"<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> ponto sim\u00e9trico a uma linha reta<\/span><\/h2>\n

Acabamos de ver a no\u00e7\u00e3o de um ponto que \u00e9 sim\u00e9trico em rela\u00e7\u00e3o a outro ponto. Bem, o ponto sim\u00e9trico de um ponto em rela\u00e7\u00e3o a uma reta \u00e9 muito semelhante:<\/p>\n

O ponto A’ \u00e9 o ponto sim\u00e9trico do ponto A em rela\u00e7\u00e3o a uma reta se os dois pontos A’ e A est\u00e3o na mesma reta perpendicular \u00e0 reta e, al\u00e9m disso, a dist\u00e2ncia entre o ponto A’ e a reta \u00e9 igual \u00e0 dist\u00e2ncia entre o ponto A e a reta.<\/strong> <\/p>\n

\n
\"ponto<\/figure>\n<\/div>\n

\"d(A,r)=<\/p>\n<\/p>\n

Portanto, a reta r<\/em> tamb\u00e9m \u00e9 um eixo de simetria entre os pontos.<\/p>\n

Assim, para determinar o ponto de simetria do ponto A em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 reta r<\/em> , devemos seguir o seguinte procedimento:<\/p>\n

    \n
  1. \n
  2. Encontramos o plano perpendicular \u00e0 reta r<\/em> que passa pelo ponto A (plano \u03c0 da representa\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica anterior). Para isso, devemos utilizar o vetor dire\u00e7\u00e3o da reta, que ser\u00e1 o vetor normal do plano.<\/span><\/li>\n
  3. Calculamos o ponto de intersec\u00e7\u00e3o<\/a> entre o plano encontrado e a reta (ponto M na imagem anterior).<\/span><\/li>\n
  4. Usamos a f\u00f3rmula ponto sobre ponto sim\u00e9trico (vista na se\u00e7\u00e3o acima) para encontrar o ponto sim\u00e9trico do ponto A em rela\u00e7\u00e3o ao ponto M. O resultado \u00e9 o ponto sim\u00e9trico que procur\u00e1vamos.<\/span> <\/li>\n<\/ol>\n

    <\/span> Exemplo de c\u00e1lculo do ponto de simetria em rela\u00e7\u00e3o a uma reta<\/span><\/h3>\n

    Assim que soubermos calcular o ponto de simetria de outro ponto em rela\u00e7\u00e3o a uma reta, veremos um exerc\u00edcio resolvido como exemplo:<\/p>\n