{"id":223,"date":"2023-07-11T00:06:07","date_gmt":"2023-07-11T00:06:07","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/pt\/equacao-cartesiana-geral-ou-implicita-de-uma-reta\/"},"modified":"2023-07-11T00:06:07","modified_gmt":"2023-07-11T00:06:07","slug":"equacao-cartesiana-geral-ou-implicita-de-uma-reta","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/pt\/equacao-cartesiana-geral-ou-implicita-de-uma-reta\/","title":{"rendered":"Equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita ou geral (ou cartesiana) da reta"},"content":{"rendered":"
Nesta p\u00e1gina voc\u00ea descobrir\u00e1 como a equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita da reta, tamb\u00e9m chamada de equa\u00e7\u00e3o geral ou cartesiana da reta, \u00e9 calculada. Al\u00e9m disso, voc\u00ea poder\u00e1 ver v\u00e1rios exemplos e poder\u00e1 at\u00e9 praticar com exerc\u00edcios em linha reta resolvidos passo a passo. <\/p>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
<\/span> Qual \u00e9 a equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita, geral ou cartesiana da reta?<\/span><\/h2>\n
Lembre-se de que a defini\u00e7\u00e3o matem\u00e1tica de uma reta \u00e9 um conjunto de pontos consecutivos representados na mesma dire\u00e7\u00e3o, sem curvas ou \u00e2ngulos. <\/p>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
Assim, a equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita da reta<\/strong> , tamb\u00e9m conhecida como equa\u00e7\u00e3o<\/strong> geral ou cartesiana<\/strong> , \u00e9 uma forma de expressar matematicamente qualquer reta. Para fazer isso, tudo que voc\u00ea precisa \u00e9 do vetor de dire\u00e7\u00e3o da reta e de um ponto pertencente \u00e0 reta. <\/p>\n
<\/span> F\u00f3rmula para a equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita, geral ou cartesiana da reta <\/span><\/h2>\n
\n
Sim<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
\u00e9 o vetor de dire\u00e7\u00e3o da linha e<\/p>\n
<\/p>\n
um ponto que pertence \u00e0 direita:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
A f\u00f3rmula para a equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita, geral ou cartesiana da reta<\/strong> \u00e9:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Ouro:<\/p>\n
\n
\n
<\/p>\n
E<\/p>\n
<\/p>\n
s\u00e3o as coordenadas cartesianas de qualquer ponto da linha.<\/li>\n
o coeficiente\n
<\/p>\n
\u00e9 o segundo componente do vetor de dire\u00e7\u00e3o:<\/p>\n
<\/p>\n<\/li>\n
o coeficiente\n
<\/p>\n
\u00e9 o primeiro componente do sinal alterado do vetor de dire\u00e7\u00e3o:<\/p>\n
<\/p>\n<\/li>\n
o coeficiente\n
<\/p>\n
\u00e9 calculado substituindo o ponto conhecido<\/p>\n
<\/p>\n
na equa\u00e7\u00e3o da reta. <\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Por outro lado, tenha em mente que al\u00e9m da equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita (ou geral), existem outras maneiras de expressar analiticamente uma reta: a equa\u00e7\u00e3o vetorial, as equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas, a equa\u00e7\u00e3o cont\u00ednua, a equa\u00e7\u00e3o expl\u00edcita e a equa\u00e7\u00e3o ponto-inclina\u00e7\u00e3o de Aline. Voc\u00ea pode conferir o que \u00e9 cada um deles em nosso site. <\/p>\n
<\/span> Exemplo de c\u00e1lculo da equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita, geral ou cartesiana da reta<\/span><\/h2>\n
S\u00f3 de olhar a f\u00f3rmula pode parecer que esse tipo de equa\u00e7\u00e3o da reta \u00e9 um pouco dif\u00edcil de encontrar. Mas para que voc\u00ea possa ver que \u00e9 exatamente o contr\u00e1rio, veremos como encontrar a equa\u00e7\u00e3o geral (ou impl\u00edcita) da reta atrav\u00e9s de um exemplo:<\/p>\n
\n
Encontre a equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita da reta que passa pelo ponto\n
<\/p>\n
e tem<\/p>\n
<\/p>\n
como vetor orientador:<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Como vimos na se\u00e7\u00e3o acima, a f\u00f3rmula para a equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita da reta \u00e9:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Devemos, portanto, encontrar os coeficientes A, B e C. As inc\u00f3gnitas A e B s\u00e3o obtidas a partir das coordenadas do vetor diretor da reta, pois sempre se verifica a seguinte igualdade:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Consequentemente, o coeficiente A \u00e9 a segunda coordenada do vetor, e o coeficiente B \u00e9 a primeira coordenada do sinal alterado do vetor:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
A equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita da reta ser\u00e1, portanto, a seguinte:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Portanto, s\u00f3 precisamos encontrar o coeficiente C. Para isso, devemos substituir o ponto que sabemos que pertence \u00e0 reta em sua equa\u00e7\u00e3o:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
E agora resolvemos a equa\u00e7\u00e3o resultante: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Portanto, a equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita, geral ou cartesiana da reta \u00e9: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/span> Encontre a equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita (geral ou cartesiana) da equa\u00e7\u00e3o cont\u00ednua <\/span><\/h2>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
Acabamos de ver uma maneira de determinar a equa\u00e7\u00e3o geral de uma reta. Por\u00e9m, existe outro m\u00e9todo que parte de sua equa\u00e7\u00e3o cont\u00ednua. Vamos ver como isso \u00e9 feito com um exemplo:<\/p>\n
\n
Calcule a equa\u00e7\u00e3o geral (ou impl\u00edcita) da seguinte reta definida por sua equa\u00e7\u00e3o cont\u00ednua:<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Primeiro, cruzamos e multiplicamos fra\u00e7\u00f5es:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Segundo, resolvemos os par\u00eanteses usando a propriedade distributiva:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
A seguir, movemos todos os termos para o lado esquerdo da equa\u00e7\u00e3o:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
E, por fim, agrupamos os termos e assim obtemos a equa\u00e7\u00e3o geral da reta: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/span> Problemas resolvidos da equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita ou geral (ou cartesiana)<\/span><\/h2>\n
Exerc\u00edcio 1<\/h3>\n
Escreva a equa\u00e7\u00e3o geral da reta que passa pelo ponto<\/p>\n<\/p>\n
A f\u00f3rmula para a equa\u00e7\u00e3o geral da reta \u00e9:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Devemos portanto encontrar A, B e C. As vari\u00e1veis A e B s\u00e3o obtidas a partir das coordenadas do vetor diretor da reta, pois sempre se verifica a seguinte igualdade:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Consequentemente, o coeficiente A \u00e9 a segunda coordenada do vetor, e o coeficiente B \u00e9 a primeira coordenada do sinal alterado do vetor:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
A equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita da reta ser\u00e1, portanto, a seguinte:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Portanto, precisamos apenas encontrar o coeficiente C. Para fazer isso, precisamos substituir o ponto que sabemos que pertence \u00e0 reta na equa\u00e7\u00e3o da reta e resolver a equa\u00e7\u00e3o resultante: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Resumindo, a equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita, geral ou cartesiana da reta \u00e9: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/div>\n
Exerc\u00edcio 2<\/h3>\n
Calcule a equa\u00e7\u00e3o cartesiana da seguinte reta: <\/p>\n<\/p>\n
A equa\u00e7\u00e3o \u00e9 expressa como uma equa\u00e7\u00e3o cont\u00ednua, portanto, para encontrar sua equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita, precisamos cruzar as fra\u00e7\u00f5es e colocar todos os termos em um lado da equa\u00e7\u00e3o: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/div>\n
Exerc\u00edcio 3<\/h3>\n
Determine um ponto na linha seguinte e seu vetor de dire\u00e7\u00e3o. A reta \u00e9 expressa por sua equa\u00e7\u00e3o geral: <\/p>\n<\/p>\n
As componentes do vetor dire\u00e7\u00e3o da reta podem ser obtidas a partir dos coeficientes A e B da equa\u00e7\u00e3o geral da reta: a primeira componente do vetor corresponde ao sinal alterado do coeficiente B e a segunda componente do vetor \u00e9 igual ao coeficiente A. ENT\u00c3O: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Por outro lado, para calcular um ponto na reta, \u00e9 necess\u00e1rio atribuir um valor a uma vari\u00e1vel. Por exemplo, fazemos<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
e resolvemos a equa\u00e7\u00e3o resultante: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Ent\u00e3o o ponto da reta \u00e9:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Voc\u00ea pode ter chegado a um ponto diferente porque depende do valor que voc\u00ea d\u00e1 \u00e0 vari\u00e1vel X (ou \u00e0 vari\u00e1vel Y), mas se voc\u00ea seguiu o mesmo procedimento tamb\u00e9m est\u00e1 correto. Por outro lado, o vetor dire\u00e7\u00e3o da reta deve ser id\u00eantico ao calculado.<\/p>\n
<\/div>\n
Exerc\u00edcio 4<\/h3>\n
Encontre a equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita da reta que passa pelos dois pontos a seguir: <\/p>\n<\/p>\n
Neste caso, n\u00e3o sabemos o vetor diretor da reta, ent\u00e3o primeiro precisamos encontrar seu vetor diretor e depois a equa\u00e7\u00e3o da reta.<\/p>\n
Para encontrar o vetor dire\u00e7\u00e3o da reta, basta calcular o vetor definido pelos dois pontos dados:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
E uma vez conhecido o vetor diretor da reta, podemos agora determinar sua equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita (ou geral ou cartesiana) a partir de sua f\u00f3rmula:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
As inc\u00f3gnitas A e B s\u00e3o obtidas a partir das coordenadas do vetor de dire\u00e7\u00e3o da reta, pois o coeficiente A \u00e9 a segunda coordenada do vetor, e o coeficiente B \u00e9 a primeira coordenada do sinal alterado do vetor:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
A equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita da reta ser\u00e1, portanto, a seguinte:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Basta, portanto, encontrar o coeficiente C. Para isso, devemos substituir na equa\u00e7\u00e3o da reta um ponto que sabemos que pertence \u00e0 reta e resolver a equa\u00e7\u00e3o resultante: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Finalmente, a equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita, geral ou cartesiana da reta \u00e9: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/div>\n
Exerc\u00edcio 5<\/h3>\n
Encontre a equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita da reta perpendicular \u00e0 reta<\/p>\n<\/p>\n
Duas retas perpendiculares t\u00eam vetores de dire\u00e7\u00e3o ortogonais entre si, ent\u00e3o precisamos encontrar o vetor de dire\u00e7\u00e3o da reta<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
ent\u00e3o um vetor que \u00e9 perpendicular a ele.<\/p>\n
Os componentes do vetor de dire\u00e7\u00e3o da linha<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
Eles podem ser obtidos a partir dos coeficientes A e B da equa\u00e7\u00e3o geral da reta: a primeira componente do vetor corresponde ao sinal alterado do coeficiente B e a segunda componente do vetor \u00e9 igual ao coeficiente A. <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Agora precisamos encontrar um vetor perpendicular. Para isso, basta inserir as coordenadas do vetor e alterar o sinal de uma delas:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Este ser\u00e1, portanto, o vetor diretor da reta perpendicular a<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
E uma vez conhecido o vetor diretor da reta, podemos agora determinar sua equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita (ou geral ou cartesiana) a partir de sua f\u00f3rmula:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
As inc\u00f3gnitas A e B s\u00e3o obtidas a partir das coordenadas do vetor de dire\u00e7\u00e3o da reta, pois o coeficiente A \u00e9 a segunda coordenada do vetor, e o coeficiente B \u00e9 a primeira coordenada do sinal alterado do vetor:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
A equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita da reta ser\u00e1, portanto, a seguinte:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Basta, portanto, encontrar o coeficiente C. Para isso, devemos substituir na equa\u00e7\u00e3o da reta um ponto que sabemos que pertence \u00e0 reta e resolver a equa\u00e7\u00e3o resultante: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Portanto, a equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita, geral ou cartesiana da reta \u00e9: <\/p>\n<\/p>\n
Nesta p\u00e1gina voc\u00ea descobrir\u00e1 como a equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita da reta, tamb\u00e9m chamada de equa\u00e7\u00e3o geral ou cartesiana da reta, \u00e9 calculada. Al\u00e9m disso, voc\u00ea poder\u00e1 ver v\u00e1rios exemplos e poder\u00e1 at\u00e9 praticar com exerc\u00edcios em linha reta resolvidos passo a passo. Qual \u00e9 a equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita, geral ou cartesiana da reta? Lembre-se de que a …<\/p>\n
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